1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义、1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.会求任意角的正弦函数值、余弦函数值. 3.能结合单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质,会求一些简单的函数的性质. 4.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆. 2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作 v=sin α;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作 u=cos α. 正弦v=sin α、余弦u=cos α分别是以角α的大小为自变量,以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数,其定义域为全体实数,其值域为实数的子集合. 单位圆是前提条件 3.设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α= ,cos α= ,其中r=　　 　　.  名师点睛 对正弦函数和余弦函数定义的理解 (1)正弦函数和余弦函数都是函数,它们满足函数的定义,可以看成是从角(弧度制)的集合到一个比值的集合的对应. (2)正弦函数和余弦函数是用单位圆来定义的,所以正弦函数和余弦函数的定义域是实数集R. (3)正弦函数和余弦函数是一个比值,也是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即正弦函数值和余弦函数值的大小只与角有关. 过关自诊 1.[人教B版教材例题]已知角α的终边经过点P(2,-3),求sin α,cos α和tan α. 2.[人教B版教材例题]求 的正弦、余弦和正切. 知识点二　正弦函数、余弦函数的基本性质 根据正弦函数v=sin x和余弦函数u=cos x的定义,不难看出它们具有以下基本性质: (1)定义域都是　　　　;  (2)最大值都是　　,最小值都是　　　,值域都是　　　　　;  (3)它们都是周期函数,其周期都是　　　 　　,最小正周期都是　　　　;  (4)正弦函数v=sin x在区间　　　　　　　　　　上单调递增,在区间 　　　　　　　　　上单调递减;余弦函数u=cos x在区间______________　　　　　　　　　上单调递增,在区间　　　　　　　　上单调递减.  R 1 -1 [-1,1] 2kπ(k∈Z,且k≠0)　 2π [2kπ-π,2kπ],k∈Z　 [2kπ,2kπ+π],k∈Z 名师点睛 正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值或余弦函数值,却有无穷多个角与之对应. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)对于任意角α,sin α,cos α都有意义.(　　) (2)余弦函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数.(　　) (3)存在实数x,使得sin x=- .(　　) 2.能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调递增的? √ √ × 提示 不能,右半圆可以表示无数个区间,只能说正弦函数在每一个区间 知识点三　正弦函数值和余弦函数值的符号 正弦函数值和余弦函数值的符号是根据正弦函数和余弦函数定义和各象限内的坐标符号确定的.正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号.正弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号如图所示. 名师点睛 类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α + + - - cos α + - - + 过关自诊 1.[人教B版教材例题]确定下列各值的符号. 解 (1)因为260°是第三象限角,所以cos 260°<0. (3)由-672°20'=47°40'+(-2)×360°,可知-672°20'是第一象限角,所以tan(-672°20')>0. 2.设sin θ<0且tan θ>0,确定θ是第几象限角. 解 因为sin θ<0,所以θ的终边在第三、四象限,或y轴负半轴上;又因为 tan θ>0,所以θ的终边在第一、三象限. 因此满足sin θ<0且tan θ>0的θ是第三象限角. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　根据正弦函数、余弦函数的定义求值 规律方法　利用正弦函数和余弦函数的定义求一个角的正弦函数值和余弦函数值有以下几种情况: (1)若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出正弦函数值和余弦函数值; (2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x; (4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论. 变式训练1(1)在单位圆中,若α=-π,则sin α=　　　　,cos α=　　　　.  0 -1 解析 由于α=-π,因此角α终边与单位圆交点是(-1,0).故sin α=0,cos α=-1. (2)已知角α的终边落在直线 x+y=0上,求sin α,cos α的值. 探究点二　正弦函数、余弦函数值的符号判断及应用 【例2】 如果点P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 规律方法　正弦函数值、余弦函数值的符号判断方法 一个角的正弦函数值、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,二正弦,三全负,四余弦”,即第一象限角的正弦函数值、余弦函数值全为正值,第二象限角的正弦函数值为正值,第三象限角的正弦函数值、余弦函数值全为负值,第四象限角的余弦函数值为正值. 变式训练2若sin α>0,cos α<0,则角α的终边所在象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 解析 因为sin α>0,所以角α的终边在第一或第二象限或y轴的正半轴上.因为cos α<0,所以角α的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴上,综上可知,角α的终边在第二象限. 探究点三　正弦函数、余弦函数的定义域问题 【例3】 求下列函数的定义域: 规律方法　1.求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制. 2.要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集. 探究点四　正弦函数、余弦函数的最值、值域问题 (2)已知函数y=asin x+1的最大值为3,求它的最小值. 解 当a>0时,ymax=a×1+1=3,得a=2, ∴当sin x=-1时,ymin=2×(-1)+1=-1; 当a<0时,ymax=a×(-1)+1=3,得a=-2, ∴当sin x=1时,ymin=-2×1+1=-1. 综上,函数y=asin x+1的最小值为-1. 规律方法　1.求正弦函数、余弦函数的值域或最值时应注意定义域,解题时可借助图象结合函数的单调性进行分析. 2.对于含有参数的函数求值域或最值,应注意对参数分类讨论. 探究点五　正弦函数、余弦函数的单调性问题 【例5】 求下列函数的单调区间. (1)y=sin x,x∈[-π,π]; (2)y=cos x,x∈[-π,π]. (2)y=cos x在x∈[-π,π]上的单调递增区间为[-π,0],单调递减区间为[0,π]. 规律方法　利用单位圆有助于理解记忆正弦函数、余弦函数的单调区间,特别注意不连贯的单调区间不能并. D (2)函数y=sin 2x的单调递减区间是(　　) B 本节要点归纳 1.知识清单: (1)正弦函数与余弦函数的定义及求法; (2)正弦函数值与余弦函数值在各象限内的符号; (3)正弦函数、余弦函数的基本性质. 2.方法归纳:转化与化归、分类讨论、数形 结合. 3.常见误区:(1)正弦函数值、余弦函数值的大小只与角的大小有关,与终边上的点的位置无关;(2)单调区间漏写k∈Z;(3)特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 1.下列三角函数值的符号判断不正确的是(　　) A.cos(-280°)<0 B.sin 500°>0 A 解析 ∵-280°=-360°+80°,∴-280°是第一象限角, ∴cos(-280°)>0; ∵500°=360°+140°,∴500°是第二象限角,∴sin 500°>0; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.已知角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=- ,则b的值为(　　) A.3 B.-3 C.±3 D.5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.如图所示,直线l的倾斜角为 ,且与单位圆交于P,Q两点,则点P的横坐标是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.点P(sin 2 022°+cos 2 022°,sin 2 022°·cos 2 022°)位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 解析 因为2 022°=360°×5+222°, 222°为第三象限角,所以sin 2 022°<0,cos 2 022°<0, 所以sin 2 022°+cos 2 022°<0, sin 2 022°·cos 2 022°>0, 所以P(sin 2 022°+cos 2 022°,sin 2 022°·cos 2 022°)位于第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知函数f(x)=-sin x. (1)试写出f(x)的单调区间; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 A.c>a>b B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(多选)下列说法正确的是(　　) A.y=|sin x|的定义域为R B.y=3sin x+1的最小值为1 C.y=-sin x为周期函数 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.在平面直角坐标系中,已知角的始边与x轴非负半轴重合,顶点与原点重合,且终边上有一点P的坐标为(-2,3),则2sin α+cos α=(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.在赵爽弦图中直角三角形中较小的锐角记为α,大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,则sin α=(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.已知一电子狗从点P(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达点Q,则电子狗在点Q的坐标为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)判定函数f(x)是否为周期函数; (2)求函数f(x)的单调递增区间; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 C 解 设x=2,y=-3,则r=.于是sin α==-,cos α=,tan α==-. 解 如图所示,在的终边上取点P,使得OP=2.作PM⊥Ox,则在Rt△OMP中,∠POM=π-. 因此MP=1,OM=,从而可知P的坐标为(-,1), 因此sin,cos=-,tan=-. ,k∈Z [2kπ+,2kπ+],k∈Z [2kπ-,2kπ+](k∈Z)上单调递增. (1)cos 260°;(2)sin-;(3)tan-672°20';(4)tan. (2)因为-是第四象限角,所以sin-<0. (4)由+2π,可知是第三象限角,所以tan>0. 【例1】 (1)在单位圆中,若角α=,求sin α与cos α的值; 解 由于α=,其终边在第三象限,设终边与单位圆的交点坐标为(x,x)(x<0),则2x2=1,x=-,即交点坐标是.因此,sin α=-,cos α=-. (2)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=x,求sin θ的值. 解 由题意知r=,由三角函数定义得cos θ=. 又cos θ=x,∴x.∵x≠0,∴x=±1. 当x=1时,P(1,3),此时sin θ=.当x=-1时,P(-1,3), 此时sin θ=.综上,sin θ的值为. (3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,首先求r=; 解 直线x+y=0,即y=-x,经过第二、四象限.在第二象限取直线上的点 (-1,),则r==2,所以sin α=,cos α=-. 在第四象限取直线上的点(1,-),则r==2,所以sin α=-, cos α=. 解析 因为点P位于第二象限,所以从而有所以角θ的终边在第三象限,故选C. (1)y=; (2)y=lgsin x-+. 解 (1)自变量x应满足2sin x-≥0,即sin x≥.图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围,即x≤x≤2kπ+,k∈Z. (2)由题意知,自变量x应满足不等式组则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,∴{x≤x<2kπ+,k∈Z}. 变式训练3函数y=的定义域为　　　　 　.  {x≤x≤2kπ+,k∈Z} 解析 要使有意义,则必须满足2sin x+1≥0, 即sin x≥-,如图,知x的取值范围是x≤x≤2kπ+,k∈Z. 【例4】 (1)求函数y=cos x的值域. 解 ∵y=cos x在区间-,0上单调递增,在区间0,上单调递减, ∴当x=0时,ymax=1, 当x=时,ymin=cos=-, ∴y=cos x的值域为-,1. 变式训练4函数y=2+cos x,x∈的值域为　　　　　.  [,3] 解析 当x∈-时,cos x∈-,1,所以2+cos x∈,3, 所以函数y=2+cos x,x∈-的值域为,3. 解 (1)y=sin x在x∈[-π,π]上的单调递增区间为-,单调递减区间为 -π,-,,π. 变式训练5(1)函数y=cos x的一个单调递增区间为(　　) A. B.(0,π) C. D.(π,2π) 解析 当x∈-,0时,y=cos x单调递增;当x∈(0,π)时,y=cos x单调递减;当x∈(π,2π)时,y=cos x单调递增.故选D. A.+2kπ,+2kπ(k∈Z) B.kπ+,kπ+(k∈Z) C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z) D.kπ-,kπ+(k∈Z) 解析 由2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z), ∴y=sin 2x的单调递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z). C.sin-<0 D.cos>0 ∵-=-2π+,∴-是第三象限角,∴sin(-)<0; ∵=4π+,∴是第一象限角,∴cos>0. 解析 因为角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-, 所以r=,cos α==-,解得b=3. A. B.- C. D.- 解析 因为cos=-,故选B. 5.=-2,则θ所在象限为(　　) 解析 =-2,得cos θ<0,sin θ>0,故θ所在象限为第二象限.故选B. 6.已知锐角α的终边交单位圆于点P,则sin α=　　　　　, cos α=　　　　　.  解析 由题意得cos α=. 又角α为锐角,所以α=60°,所以sin α=. 7.若sin 2α=,α∈,则满足条件的角α的集合是　　　　.  {} 解析因为α∈0,,所以2α∈(0,π). 又sin 2α=,所以2α=或2α=,解得α=或α=,故α∈. (2)若f(x)在-,a上单调递减,求实数a的取值范围. 解(1)∵f(x)=-sin x, 根据正弦函数y=sin x的单调性可知, f(x)的单调递减区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z),单调递增区间为 2kπ+,2kπ+(k∈Z). (2)∵f(x)在-上是单调递减的, ∴-,a⊆-,即-<a≤. ∴a的取值范围是-. 9.已知a=cos,b=sin,c=0.3-2,则(　　) 解析 因为1>cos>cos=sin>sin>0,c=0.3-2=>1,所以c>a>b. D.y=sin x-1的单调递增区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z) 解析 A,C显然正确;对于B,y=3sin x+1的最小值为-3+1=-2,故B错误;对于D,y=sin x-1的单调递增区间为2kπ-,2kπ+,k∈Z,故D错误. A. B.- C. D.- 解析 由已知r=,则sin α=,cos α=,所以2sin α+cos α =,故选C. A. B. C. D. 解析 设直角三角形较长的直角边长为x,较短的直角边长为y,由题意可知,大正方形的边长为5,小正方形的边长为1,由题意可得解得故sin α=.故选C. 　 解析 如图,从点P(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q,则 ∠QOM=. 又OQ=1,所以|OM|=,|QM|=. 又点Q在第三象限,故Q. 14.已知函数f(x)=. (3)当x∈时,求f(x)的值域. 解(1)函数f(x)的定义域是R. 因为f(x+2π)==f(x),所以f(x)是周期函数. (2)由正弦函数的基本性质,可知在区间2kπ-,2kπ+(k∈Z)上,函数y=sin x是单调递增的,而此时函数h(x)=2-sin x是单调递减的,从而可知此时函数f(x)是单调递增的,故可知函数f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z). (3)设t=sin xx∈-,则t∈-,1,所以1≤2-t<,则≤1. 故f(x)的值域为. 15.函数y=2sin的一个单调递增区间是(　　) A.- B.- C.-,- D.- 解析 因为函数y=2sin t的单调递减区间为2kπ+,2kπ+,k∈Z,所以2kπ+-x≤2kπ+,k∈Z,即--2kπ≤x≤--2kπ,k∈Z.所以当k=0时,函数的一个单调递增区间为-,-.故选C. $$