1.4.3 诱导公式与对称、1.4.4 诱导公式与旋转课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.借助单位圆理解诱导公式的推导方法. 2.理解、掌握并熟记诱导公式. 3.能够利用诱导公式解决三角函数的求值、化简与证明问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　特殊角的终边的对称关系 1.角-α的终边与角α的终边关于　　　对称;  2.角α±π的终边与角α的终边关于　　　　对称;  3.角π-α的终边与角α的终边关于　　　　对称.  名师点睛 理清角度之间的关系,是学好诱导公式的前提.因此学习正弦函数、余弦函数时,应结合正弦函数、余弦函数的定义,明确角-α,α±π,π-α与角α的终边的对称关系. x轴 原点 y轴 过关自诊 1.(2k+1)π-α(k∈Z)的终边与2kπ+α(k∈Z)的终边有何对称关系? 提示 (2k+1)π-α=2kπ+π-α(k∈Z)的终边与2kπ+α(k∈Z)的终边关于y轴对称.将问题转化为角π-α与α的终边的关系. 2.填空. y轴 原点 原点 知识点二　正弦函数、余弦函数的诱导公式 对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z). sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α. sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. sin(α+π)=sin(π+α)=-sin α,cos(α+π)=cos(π+α)=-cos α. sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α. sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式. 利用公式可将任意角的三角函数转化为[0, ]内的三角函数 名师点睛 诱导公式的记忆方法 将任意角归纳为k· ±α,k∈Z的形式,则诱导公式的记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”: (1)“变”与“不变”是指互余的两个角的正弦函数名、余弦函数名改变. (2)“奇”“偶”是对k· ±α中的整数k来讲的. (3)“象限”指k· ±α中,将α看作锐角时,k· ±α所在象限,再根据“一全正,二正弦,三全负,四余弦”的符号规律确定原函数值的符号. 过关自诊 1.[人教A版教材例题]利用公式求下列三角函数值: (1)cos 225°; 2.证明: 重难探究·能力素养全提升 探究点一　给角求值问题 【例1】 计算:sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°). 规律方法　求值问题中角的转化方法 任意负角的三角函数→ 任意正角的三角函数→0~2π的角的三角函数→锐角三角函数 变式训练1求值:(1)sin 1 320°; 探究点二　给值(式)求值问题 【例2】 (1)已知sin(π+α)=-0.3,则sin(2π-α)=　　　　　.  -0.3 解析 ∵sin(π+α)=-sin α=-0.3,∴sin α=0.3,∴sin(2π-α)=-sin α=-0.3. 规律方法　解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系,从而灵活选择诱导公式求解,一般可从两角的和、差的关系入手分析,解题时注意整体思想的运用. 探究点三　诱导公式的综合应用 (2)若α=-1 860°,求f(α)的值. 规律方法　1.所谓化简,就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能简单,也就是项数尽可能少,次数尽可能低,函数的种类尽可能少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值. 2.利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,当三角函数式中含有kπ±α, π±α(k∈Z)时,要注意讨论k为奇数或偶数. 变式训练2已知sin α=-2cos α,求: 探究点四　诱导公式在三角形中的应用 规律方法　三角形中隐藏的两点内容 (1)在△ABC中,有A+B+C=π, ,因此在解决三角形中的正弦函数、余弦函数问题时,要注意充分利用诱导公式. (2)在三角形中,当cos C=cos B时,一定有C=B;若sin C=sin B,也一样能得到C=B. 变式训练3在△ABC中,求证: (1)sin(2A+B+C)=-sin A; 证明 (1)因为A+B+C=π, 所以sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin A,原式成立. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)特殊角的终边的对称关系; (2)正弦函数、余弦函数的诱导公式; (3)利用正弦函数、余弦函数的诱导公式进行化简、求值与证明. 2.方法归纳:公式法、角的构造、数形结合. 3.常见误区:函数符号的变化,角与角之间的联系与构造. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.计算cos(-780°)的值是(　　) C 解析 因为cos(-780°)=cos 780°=cos(2×360°+60°)=cos 60°= , 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.在△ABC中,cos(A+B)的值等于(　　) A.cos C B.-cos C C.sin C D.-sin C B 解析 由于A+B+C=π,所以A+B=π-C. 所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 7.(多选)在三角形ABC中,下列结论正确的是(　　) A.sin(A+B)=sin C B.cos(A+B)=cos C AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)且f(4)=3,则f(2 022)=　　　　　, f(k)=　　　　　(k∈Z).  3 -3 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3, ∴f(2 022)=asin(2 022π+α)+bcos(2 022π+β)=asin α+bcos β=3.当k为偶数时,设k=2n,n∈Z, 则f(k)=asin(kπ+α)+bcos(kπ+β)=asin α+bcos β=3; 当k为奇数时,设k=2n+1,n∈Z, 则f(k)=asin(kπ+α)+bcos(kπ+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asin α-bcos β=-3. 综上,f(k)=±3,k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)角与角-的终边关于　　　　　对称;  (2)角与角的终边关于　　　对称;  (3)角与角-的终边关于　　　　　　对称.  sinα+=sin+α=cos α,cosα+=cos+α=-sin α. sin-α=cos α,cos-α=sin α. (3)sin-=-sin=-sin5π+=--sin=. (2)sin; (3)sin-. 解 (1)cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-. (2)sin=sin2π+=sin=sinπ-=sin. (1)sin-α=-cos α; (2)cos+α=sin α. 证明 (1)sin-α=sinπ+-α=-sin-α=-cos α. (2)cos+α=cosπ++α=-cos+α=sin α. 解 原式=sin260°-cos 0°+tan 45°-cos230°+sin 30°=-1+1-. (2)cos. 解 (1)sin 1 320°=sin(3×360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-. (2)cos=cos=cos=cos(π-)=-cos=-. (2)已知cos-α=,则cos+α=　　　　　.  - 解析 cos+α=cosπ--α=-cos-α=-. 变式探究若本例(2)中的条件不变,如何求cosα-? 解 cosα-=cos-α=cos2π+-α=cos-α=. 【例3】 已知α是第四象限角,且f(α)=. (1)若cos,求f(α)的值; 解 f(α)=. (1)∵cos,∴cos(α-+2π)=, ∴cos, ∴sin α=-,∴f(α)==-5. (2)当α=-1 860°时,f(α)==-. (1)的值; (2)的值. 解 (1)原式==-. (2)原式==-3. 【例4】 在△ABC中,若sin=sin,试判断△ABC的形状. 解 因为A+B+C=π,所以A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B. 又sin=sin,所以sin=sin, 所以sin=sin,所以cos C=cos B. 又B,C为△ABC的内角, 所以C=B, 所以△ABC为等腰三角形. (2)sin=cos. (2)因为A+B+C=π,所以, 于是sin=sin=cos. A.- B.- C. D. 2.sin的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析 sin=sin=sin=-sin=-.故选B. 3.已知sin,则cos的值为(　　) A. B. C.- D.- 解析 已知sin, 则cos=cos=sin. 故选A. 5.化简:=　　　　　.  解析 原式==-1. 6.已知cos-α=,则cos+α=　　　　　,sin-α=　　　　　.  - 解析 cos+α=cosπ--α=-cos-α=-. sin-α=sin+-α=cos-α=. C.sin=cos D.cos=cos 解析 在三角形ABC中,A+B+C=π,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故选项A正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,故选项B错误;sin=sin=cos,故选项C正确;cos=cos=sin,故选项D错误. 8.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=(　　) A. B. C.0 D.- 解析 f=f+sin=f+sin+sin =f+sin+sin+sin=2sin+sin-=. 9.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,-,那么cos-α等于(　　) A.- B.- C. D. 解析 由题得cos(-α)=-sin α=-.故选D. 11.是否存在角α,β,α∈-,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos-β, cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明 理由. 注:对任意角α,有sin2α+cos2α=1成立. 解假设存在角α,β满足条件, 则由题可得 由①2+②2得sin2α+3cos2α=2. 由sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos α=±. 因为α∈-,所以α=±. 当α=时,cos β=,因为0<β<π,所以β=; 当α=-时,cos β=, 因为0<β<π, 所以β=,此时①式不成立,故舍去. 所以存在α=,β=满足条件. $$