1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.会用五点法画正弦函数的图象. 2.能够根据正弦函数的图象求满足条件的角的范围. 3.能结合正弦函数的图象理解正弦函数的性质. 4.会求正弦函数的定义域、值域、最值. 5.会求正弦函数的单调区间,能根据单调性比较大小. 6.会判断有关函数的奇偶性. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　正弦函数的图象 1.正弦函数图象的作法 (1)几何法:借助单位圆获得对应的正弦函数值. (2)五点法:根据正弦曲线的基本性质,描出　　　　,　　　　,　　　　, ,　　　　这五个关键点,然后用光滑曲线将它们顺次连接起来就得到正弦函数的简图.  (0,0) (π,0) (2π,0) 2.正弦函数的图象 正弦函数y=sin x,x∈R的图象称作正弦曲线,如图所示. 名师点睛 “五点法”中的“五点”是指函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.“五点法”只是画出y=sin x在区间[0,2π]上的图象,若x∈R,可将正弦函数在区间[0,2π]上的图象通过左右平移,每次平移2π个单位长度,得到y=sin x,x∈R的图象.这是作正弦函数以及下一节余弦函数图象最常用的方法. 过关自诊 [人教A版教材例题]画出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象. 解 按五个关键点列表 描点并将它们用光滑的曲线连接起来, 如图所示. 知识点二　正弦函数y=sin x的性质 函数 y=sin x 定义域 R   可写作(-∞,+∞) 值域 　　　  奇偶性 　　函数  单调性 在区间　　　　　　　　　　　　上都单调递增;  在区间　　　　　　　　　　　　上都单调递减  周期性 最小正周期是　　　  [-1,1] 奇 2π 最值 当　　　　　　　　　　时,y取最大值1;  当　　　　　　　　　　时,y取最小值-1  对称轴 x= +kπ,k∈Z 对称中心 (kπ,0),k∈Z  对称中心是一个点,不是横坐标 名师点睛 1.并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一. 2.正弦曲线是中心对称图形,其对称中心坐标为(kπ,0),k∈Z,即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴是直线x=kπ+ ,k∈Z,对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值. 3.判断与正弦函数有关的函数奇偶性时,必须先检查定义域是不是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)y=|sin x|,x∈R与y=sin|x|,x∈R均是周期函数,且周期为π.(　　) (2)对于函数y=msin x+n(m≠0),当且仅当sin x=1时,取最大值ymax=m+n;当且仅当sin x=-1时,取最小值ymin=-m+n.(　　) (3)在锐角范围内,角越大,其正弦函数值越大.(　　) (4)对于正弦函数,相邻两个零点的距离大小恰好为该函数的一个周期.(　) 2.[人教B版教材例题]已知sin x=t-3,x∈R,求t的取值范围. × × √ × 解 因为-1≤sin x≤1,所以-1≤t-3≤1, 由此解得2≤t≤4. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　用五点法作正弦函数图象 【例1】 利用“五点法”画出函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象. 解 列表: 描点,并用光滑的曲线连接起来,得函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象如图所示. 规律方法　用五点法画函数y=Asin x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤 (1)列表: (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来. 变式训练1作出函数y=-2sin x(0≤x≤2π)的图象. 解 列表: 描点,并用光滑的曲线连接起来,如图. 探究点二　根据正弦函数的图象求角的范围 解 作出y=sin x在区间[0,2π]上的图象,如图所示. 规律方法　利用正弦函数的图象求解满足sin x≥a(≤a)的x的取值范围的 步骤 (1)作出正弦函数在区间[0,2π]上的图象; (2)作直线y=a与函数图象相交; (3)在区间[0,2π]上确定x的取值范围; (4)根据正弦函数周期性确定最终范围. 变式训练2求满足下列条件的角的集合. 探究点三　利用正弦函数图象判断方程根的个数 【例3】 判断方程sin x=lg x根的个数. 解 画出函数y=sin x和y=lg x的图象,如图所示.由图象可知两图象有3个交点,因此,原方程有3个实数根. 规律方法　与正弦函数相关方程根的个数问题探究 (1)关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法,将函数根的个数问题转化为函数图象的交点的个数问题. (2)正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标都是-1,在作图时要注意这种有界性. (3)在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经过的某些关键点是否包含. 变式训练3判断方程sin x=- ,x∈[0,2π]根的个数. 解 画出直线y=- 和y=sin x在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知两图象有2个交点,因此原方程有2个实数根. 探究点四　正弦函数单调性的应用 角度1.求正弦函数的单调区间 【例4】 (1)函数y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　　　　　　.  (2)若x∈[0,π],则函数y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　　　.  规律方法　1.结合y=sin x的图象,熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间. 2.对形如y=asin x+b(a≠0)的形式的函数,当a>0时,其单调性与y=sin x的单调性相同;当a<0时,其单调性与y=sin x的单调性相反. 变式训练4函数y= sin x+1的单调递减区间为　　　　　　　　　　.  角度2.利用正弦函数单调性比较大小 【例5】 比较下列三角函数值的大小: (2)sin 196°与cos 156°. (2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,cos 156°=cos(180°-24°) =-cos 24°=-sin 66°,∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,∴sin 16°<sin 66°, ∴-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°. 规律方法　1.比较sin α与sin β的大小,可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值,再借助于正弦函数的单调性来进行比较. 2.比较sin α与cos β的大小,常把cos β转化为sin( ±β)后,再依据单调性来进行比较. 3.当不能将两角转化到同一单调区间上时,还可以借助于图象或值的符号来进行比较. 变式训练5比较sin 194°与cos 110°的大小. 解 ∵sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 110°=cos(180°-70°)=-cos 70°=-sin(90°-70°)=-sin 20°, 由于0°<14°<20°<90°, 而y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,∴sin 14°<sin 20°, ∴-sin 14°>-sin 20°,即sin 194°>cos 110°. 探究点五　正弦函数的周期性、奇偶性 A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为π的偶函数 A 规律方法　求正弦函数周期和判断奇偶性的方法 (1)求正弦函数周期的方法 ①定义法:利用周期函数的定义求解. ②图象法:通过观察函数图象求其周期. (2)判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系. 变式训练6若函数y=2sin x+a-1是R上的奇函数,则a的值为(　　) A.-1 B.1 C.0 D.2 B 解析 依题意f(0)=0,即a-1=0,故a=1. 经检验a=1符合题意.故a的值为1. 探究点六　正弦函数的值域、最值 【例7】 (1)求函数y=3-2sin x的最大值和最小值,并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x的集合. (2)求函数y=-2sin2x+5sin x-2的值域. 因为-1≤sin x≤1, 所以ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9,ymax=-2×12+5×1-2=1. 故函数y=-2sin2x+5sin x-2的值域是[-9,1]. 规律方法　求正弦函数值域或最值的常用方法 (1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质. (2)求形如y=a+bsin x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b. (3)求形如y=Asin2x+Bsin x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解. 变式训练7(1)函数y=sin2x-3sin x+2的最小值为(　　) A.2 B.0 C.- D.6 B 本节要点归纳 1.知识清单: (1)“五点法”作图; (2)正弦函数的基本性质; (3)正弦函数图象的应用. 2.方法归纳:数形结合、转化与化归、换元法. 3.常见误区:单调区间漏写k∈Z;求值域时忽视sin x本身的范围. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 A 级 必备知识基础练 1.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 2.函数y=2+sin x,x∈(0,4π]的图象与直线y=2的交点的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 D 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y=2+sin x,x∈(0,4π],直线y=2的图象(如图所示),可得两图象的交点共有4个,故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 3.函数y=-sin2x+sin x+1的最大值为(　　) A.2 B. C.1 D.0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 4.(多选)下列函数是奇函数,且在区间[-1,1]上单调递增的是(　　) A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x+1| C.f(x)=ex-e-x AC 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 5.已知函数f(x)=2sin x+1,若f(x)的图象过点( ,m),则m=　　　　　;若f(x)<0,则x的取值集合为　　　 　　　　　.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 B 级 关键能力提升练 6.(多选)下列说法中正确的是(　　) AC 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7.[2023陕西西安月考]关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法: ①对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数; ②存在φ,使f(x)是偶函数; ③存在φ,使f(x)是奇函数; ④对任意的φ,f(x)都不是偶函数. 其中错误的是　　　　　(填序号).  ①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 C 级 学科素养创新练 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1+sin x 1 2 1 0 1 ,k∈Z ,k∈Z　 x=2kπ+,k∈Z x=2kπ+,k∈Z 3.[人教B版教材例题]不求值,比较sin-和sin-的大小. 解 因为sin-=-sin=-sin4π+=-sin, sin-=-sin=-sin4π+=-sin=-sinπ-=-sin, 又因为y=sin x在区间-内递增,且-,所以sin<sin,因此sin->sin-. x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 -2+sin x -2 -1 -2 -3 -2 x 0 π 2π y=sin x 0 1 0 -1 0 y=Asin x+b b A+b b -A+b b (2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b),,(2π,b)五个点. x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 -2sin x 0 -2 0 2 0 【例2】 利用正弦函数的图象,求满足<sin x≤的x的取值范围. 作出直线y=,根据特殊角的正弦值,可知该直线与函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为;作出直线y=,可知该直线与函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为.则<sin x≤在区间[0,2π]上的解集为. 由正弦函数的周期性可知,不等式<sin x≤的解集为,k∈Z. (1)sin x≥;(2)sin x≤-. 解 如图,作直线y=,y=-及y=sin x的图象. (1)在[0,2π]内满足sin x≥的角x的取值范围为≤x≤,所以由正弦函数的周期性知,满足sin x≥的角x的集合为. (2)同理,满足sin x≤-的角x的集合为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z. [-+2kπ,+2kπ](k∈Z) 解析 当-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z时,y=-3sin x+1单调递减, ∴y=-3sin x+1的单调递减区间为-+2kπ,+2kπ(k∈Z). [0,] 解析 ∵-+2kπ,+2kπ(k∈Z)∩[0,π]=0,, ∴当x∈[0,π]时,y=-3sin x+1的单调递减区间为0,. [+2kπ,+2kπ],k∈Z　 解析y=sin x+1的单调递减区间为+2kπ,+2kπ,k∈Z. (1)sin-与sin-; 解 (1)∵sin-=-sin,sin-=-sin2π+=-sin, 由于, 且y=sin x在上单调递减, ∴sin>sin,∴-sin<-sin, 即sin-<sin-. 【例6】 函数y=cos是(　　) 解析 因为y=cos=sin x, 所以该函数是周期为2π的奇函数. 解 因为-1≤sin x≤1, 所以当sin x=-1,即x=2kπ+,k∈Z时,y取得最大值5,相应的自变量x的集合为. 当sin x=1,即x=2kπ+,k∈Z时,y取得最小值1,相应的自变量x的集合为. 解 y=-2sin2x+5sin x-2=-2. 解析 设sin x=t,-1≤t≤1,则有y=t2-3t+2=,因此,当t=1,即sin x=1时,函数y=sin2x-3sin x+2取最小值0. (2)函数y=sin x,x∈的值域为　　　　　.  解析 当x∈时,函数y=sin x单调递增, 所以sin x∈; 当x∈时,函数y=sin x单调递减, 所以sin x∈,所以值域为. 解析 利用五点法作图,函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的图象一定过点(0,1),,(π,1),,(2π,1),故B项正确. 解析 令t=sin x,t∈[-1,1],则y=-t2+t+1=-t-2+, 当t=时,ymax=. D.f(x)=sinx+cosx+ 解析 对于A,f(x)=sin x是奇函数,由正弦函数的图象可知f(x)=sin x在[-1,1]上单调递增,符合题意;对于B,f(x)=-|x+1|既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意;对于C,f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故f(x)为奇函数,且在[-1,1]上单调递增,符合题意;对于D,f(x)=sinx+cosx+,所以f(-x)=sin-x+· cos-x+=sin-x+cos-x+=cosx+sinx+=f(x),故函数f(x)=sinx+cosx+是偶函数,不符合题意.故选AC. 　 解析 当x=时,f(x)=2sin+1=3,∴m=3.由f(x)<0,即sin x<-, 作出y=sin x在[0,2π]上的图象,如图所示. 由图知x的取值集合为x+2kπ<x<+2kπ,k∈Z. A.函数y=cos是奇函数 B.函数y=sin x在-上的值域为- C.直线x=是函数y=sin的一条对称轴 D.若α,β均为第一象限角,且α>β,则sin α>sin β 解析 A中,y=cos=sin x为奇函数,故A正确; B中,由y=sin x在上的图象可知,y∈[-,1],故B错误; C中,当x=时,y=sin=sin=-1,故C正确; D中,若α=,β=,则sin α=,sin β=,故D不正确. 解析 φ=0时,f(x)=sin x是奇函数. φ=时,f(x)=cos x是偶函数. 8.(多选)设函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为-1,,则以下结论正确的 是(　　) A.b-a的最小值为 B.b-a的最大值为 C.a不可能等于2kπ-(k∈Z) D.b不可能等于2kπ-(k∈Z) 解析 由图象知,b-a的最大值为(如a=-,b=);在b-a取最大值的情况下,固定左(或右)端点,移动右(或左)端点,必须保证取-1的最小值点在[a,b]内,所以b-a的最小值为,b可能等于2kπ-(k∈Z).若a=2kπ-(k∈Z),则由图象可知函数的最大值为的情况下,最小值不可能为-1.所以a不可能等于2kπ-(k∈Z).故选ABC. $$