1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 5.2　余弦函数的图象与性质再认识 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.会用五点法画出余弦函数的图象. 2.能够根据余弦函数的图象求满足条件的角的范围. 3.能结合余弦函数的图象理解余弦函数的性质. 4.会求余弦函数的定义域、值域、最值. 5.会求余弦函数的单调区间,能根据单调性比较大小. 6.会判断有关函数的奇偶性. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　余弦函数的图象 左 (0,1) (π,-1) (2π,1) 名师点睛 1.余弦函数图象中五点的确定 y=cos x,x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类:①图象与x轴的交点; 过关自诊 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=cos x的图象与y轴只有一个交点.(　　) (2)函数y=sin x,x∈ 的图象与函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象的形状完全一致.(　　) (3)因为y=cos x,x∈R是偶函数,所以y=cos x+5与y=cos(x+5)均是偶函数.(　) (4)函数y1=|sin x|与y2=|cos x|,x∈R的周期均为 .(　　) √ √ × × 知识点二　余弦函数y=cos x的性质 函数 y=cos x 定义域 　　  值域 　　　  奇偶性 　　函数  单调性 在区间　　　　　　　　上都单调递增;  在区间　　 　　　　　上都单调递减  R [-1,1] 偶 [(2k-1)π,2kπ],k∈Z [2kπ,(2k+1)π],k∈Z 周期性 最小正周期是　　  最值 当　 时,余弦函数取得最大值1;  当　　　 　　时,余弦函数取得最小值-1  对称轴 x=kπ,k∈Z 对称中心 2π　 x=2kπ,k∈Z x=(2k+1)π,k∈Z 名师点睛 1.余弦函数有单调区间,但不是定义域上的单调函数,即余弦函数在整个定义域内不单调. 2.余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图象的最高点或最低点,即此时的余弦函数值取最大值或最小值. 3.利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小. 过关自诊 1.[人教B版教材例题]求下列函数的值域. (1)y=-3cos x+1; (2)y=(cos x+ )2-3. 解 (1)因为-1≤cos x≤1,所以3≥-3cos x≥-3,且-2≤-3cos x+1≤4, 即-2≤y≤4. 当cos x=1时,ymin=-2;当cos x=-1时,ymax=4. 2.判断下列函数的奇偶性. (1)y=cos x+2;(3)y=sin xcos x. 解 (1)把函数y=cos x+2记作f(x)=cos x+2,因为定义域为R, 且f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2=f(x),所以y=cos x+2是偶函数. (2)把函数y=sin xcos x记作f(x)=sin xcos x,因为定义域为R, 且f(-x)=sin(-x)cos(-x)=(-sin x)cos x=-f(x), 所以y=sin xcos x是奇函数. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　用五点法作余弦函数的图象 【例1】 画出函数y=2cos x+3,x∈[0,2π]的图象. 解 (1)列表: (3)连线: 用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示. 规律方法　用五点法画函数y=Acos x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤 (1)列表: (2)描点: (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来. 变式训练1作出函数y=-cos x+1,x∈[0,2π]的图象. 解 (1)列表: (3)连线: 用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示. 探究点二　根据余弦函数的图象求角的范围 【例2】 利用余弦函数的图象,求满足cos x≤ 的x的集合. 规律方法　用余弦函数图象解不等式的步骤 (1)作出余弦函数在区间[0,2π]上的图象; (2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集; (3)根据余弦函数周期确定取值范围. 变式训练2满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的取值范围为　 　　　.  探究点三　求与余弦函数有关的定义域问题 【例3】 (1)已知函数f(x)的定义域为[0,1),求f(cos x)的定义域; (2)求函数f(x)=lg cos x+ 的定义域. 规律方法　利用余弦函数图象处理函数的定义域问题 一些函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到,但同时要注意区间端点的取舍. 探究点四　与余弦函数有关的奇偶性、对称性问题 【例4】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xcos x; 解 (1)定义域为R,且f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos x=-f(x),因此函数f(x)是奇函数. 规律方法　判断与余弦函数有关函数奇偶性的处理方法 (1)判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数既不是奇函数,也不是偶函数. (2)判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,需注意诱导公式的合理运用. 变式训练4函数y=-xcos x的部分图象是下图中的(　　) D 探究点五　余弦函数单调性的应用 【例5】 (1)函数y=3-2cos x的单调递增区间为　　　　　　　　　　.  [2kπ,π+2kπ](k∈Z)　 解析 y=3-2cos x与y=3+2cos x的单调性相反,由y=3+2cos x的单调递减区间为[2kπ,π+2kπ](k∈Z),得y=3-2cos x的单调递增区间为[2kπ,π+2kπ](k∈Z). 规律方法　单调性是对一个函数的某个区间而言的,不同函数,不在同一单调区间内时,应先用诱导公式进行适当转化,转化到同一单调区间内,再利用函数的单调性比较大小. 变式训练5cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　 　　.(用“>”连接)  cos 1>cos 2>cos 3 解析 由于0<1<2<3<π,而y=cos x在(0,π)上单调递减, 所以cos 1>cos 2>cos 3. 探究点六　求与余弦函数有关的值域与最值问题 【例6】 (1)设M和m分别是函数y= cos x-1的最大值和最小值,则M+m=　　　　.  -2 (2)函数y=cos2x-4cos x+5的值域为　　　　　　.  [2,10] 解析 令t=cos x,则-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以当t=-1时,y取得最大值10,当t=1时,y取得最小值2.所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10]. 规律方法　求余弦函数值域的常用方法 (1)求解形如y=acos x+b(a≠0)的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性. (2)求解形如y=acos2x+bcos x+c(a≠0)的函数的最值或值域问题时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性. D 本节要点归纳 1.知识清单: (1)五点(画图)法; (2)余弦函数的性质; (3)余弦函数性质的应用. 2.方法归纳:数形结合、换元法. 3.常见误区:单调区间漏写k∈Z;求值域时忽视cos x本身的范围. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 C.y=-sin x D.y=-cos x ABC 解析 由正弦函数、余弦函数的单调性判断可知选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　) B 解析 用五点作图法作出函数y=-cos x(x>0)的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.函数y=-3cos x+2的值域为(　　) A.[-1,5] B.[-5,1] C.[-1,1] D.[-3,1] A 解析 因为-1≤cos x≤1,所以-1≤-3cos x+2≤5,即函数的值域为[-1,5]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.函数y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围为　　　　　.  (-π,0]　 解析 因为y=cos x在区间[-π,0]上单调递增, 所以-π<a≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (π,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.已知函数y=3cos(π-x),则当x=　　　 　时,函数取得最大值.当 x=　　 　　时,函数取得最小值.  2kπ+π,k∈Z　 2kπ,k∈Z　 解析 y=3cos(π-x)=-3cos x,当cos x=-1,即x=2kπ+π,k∈Z时,y有最大值3;x=2kπ,k∈Z时,y有最小值-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 7.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.使得sin x>cos x正确的一个区间是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.已知函数f(x)=-cos2x+cos x+a+1,a∈R,若对区间[0, ]上任意x,都有f(x)≤1成立,则实数a的最大值为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.若函数f(x)=cos x,x∈[-2π,2π],则不等式xf(x)>0的解集为 　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 11.画出函数y= cos x+ |cos x|的图象,并根据图象讨论其性质. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由图象可知函数具有以下性质: 定义域:R; 值域:[0,1]; 奇偶性:偶函数; 周期性:最小正周期为2π; 　 (,0) (,0) ②图象上的最高点和最低点.y=cos x,x∈[0,2π]与x轴有两个交点,即(,0),(,0),图象上有两个最高点,即(0,1),(2π,1),一个最低点(π,-1). 2.要得到余弦函数y=cos x的图象,只需把正弦函数y=sin x的图象向左平移个单位长度即可,这是利用诱导公式cos x=sin(x+)得出的. [] 因此y=-3cos x+1的值域为-2,4. (2)令t=cos x,则y=t+2-3,t∈[-1,1]. 因为-1≤t≤1时, -≤t+,所以0≤t+2≤,因此-3≤t+2-3≤-. 当t=1时,ymax=-;当t=-时,ymin=-3. 因此y=cos x+2-3的值域为-3,-. x 0 π 2π y=cos x 1 0 -1 0 1 y=2cos x+3 5 3 1 3 5 (2)描点: 在平面直角坐标系中描出(0,5),,(π,1),,3,(2π,5)五个点. x 0 π 2π y=cos x 1 0 -1 0 1 y=Acos x+b A+b b -A+b b A+b 在平面直角坐标系中描出(0,A+b),,(2π,A+b)五个点. x 0 π 2π y=cos x 1 0 -1 0 1 y=-cos x+1 0 1 2 1 0 (2)描点: 在坐标系中描出点(0,0),,(π,2),,(2π,0). 解 作出余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为+2kπ,+2kπ,k∈Z. [0,)∪(,2π]　 解析 画出函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示. 由图象,可知满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的取值范围为0,∪,2π. 解 由题可得0≤cos x<1,所以由余弦函数基本性质可得2kπ-≤x≤2kπ+,且x≠2kπ,k∈Z. 所以所求函数的定义域为2kπ-,2kπ∪2kπ,2kπ+,k∈Z. 解 由题意,得x满足不等式组作出函数y=cos x的图象,如图所示. 所求函数定义域为-5,-π∪-∪π,5. 变式训练3(1)函数y=的定义域是　 　　　.  [-+2kπ,+2kπ],k∈Z 解析 要使函数有意义,只需2cos x-≥0,即cos x≥.由余弦函数图象知(如图), 所求定义域为-+2kπ,+2kπ,k∈Z. (2)函数y=+lg(2sin x-1)的定义域是 　　　 　.  {x}　 解析 要使函数有意义,只要如图所示. cos x≤的解集为x, sin x>的解集为x, 它们的交集x,即为函数的定义域. (2)f(x)=sincos; (3)f(x)=. (2)定义域为R,且f(-x)=sincos=-sincos=-f(x),因此函数f(x)是奇函数. (3)函数应满足1-sin x≠0,即函数的定义域为x,k∈Z,显然定义域不关于原点对称, 因此函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 解析 因为函数y=-xcos x是奇函数,图象关于原点对称,所以排除A,C; 当x∈0,时,y=-xcos x<0,故排除B,选D. (2)比较cos-与cos-的大小. 解cos-=cos-6π+=cos, cos-=cos-6π+=cos, ∵π<<2π,∴cos<cos,即cos-<cos-. 解析 因为cos x∈[-1,1], 所以M=×1-1=-,m=×(-1)-1=-, 所以M+m=-=-2. 变式训练6函数y=cos x≤x≤的最小值、最大值分别为(　　) A.0,1 B.-1,1 C.-,1 D.-1, 解析 由函数y=cos x≤x≤的图象(如图)可知,当x=时,函数y=cos x有最大值;当x=π时,函数y=cos x有最小值-1.故选D. 1.(多选)在区间0,上,下列函数是减函数的是(　　) A.y= B.y=- A.,1 B.(π,1) C.(0,1) D.(2π,1) 5.已知函数y=sinx+,x∈[0,2π],则该函数图象的最低点的坐标为　　 　　.  解析 因为y=sinx+=cos x,x∈[0,2π],所以函数图象的最低点的坐标为 (π,-1). 解析 y=cos x+|cos x|= 根据选项,只有D符合,故选D. A.,π B. C.0, D. 解析 作出y=sin x与y=cos x的图象,如图,由图可知,若sin x>cos x,其中 ,π满足,故选A. A.- B.0 C.2 D. 解析 ∵f(x)≤1在0,上恒成立,∴a≤cos2x-cos x=cos x-2-在0,上恒成立. ∵x∈0,,∴cos x∈[0,1], ∴cos x-2-≥-,当且仅当cos x=, 即x=时取等号,∴a≤-, 则实数a的最大值为-. (-,-)∪(0,)∪(,2π]　 解析 由xf(x)>0,得当x>0时,cos x>0,又x∈[-2π,2π], 解得0<x<<x≤2π; 当x<0时,cos x<0,又x∈[-2π,2π], 解得-<x<-. 故不等式xf(x)>0的解集为-,-∪0,∪,2π. 解y=cos x+|cos x|=利用五点法画出函数在上的图象,如图所示. 将图中的图象左右平移2kπ,k∈Z个单位长度,即得函数y=cos x+|cos x|的图象(图略). 单调性:在区间,k∈Z上单调递减,在区间,k∈Z上单调递增. $$