1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.掌握y=sin x与y=sin ωx,y=sin(ωx+φ),y=Asin(ωx+φ)(A>0且A≠1,ω>0且ω≠1,φ≠0,x∈R)的图象间的关系,会进行函数图象的变换. 2.会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象,明确A,ω,φ的物理意义. 3.掌握研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的性质的基本方法,会研究其性质. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　三角函数的图象变换 1.左、右伸缩变换 函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有的点的　　　　缩短到原来的　　　(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的　　　　(纵坐标不变)得到的,即 横坐标 2.左、右平移变换 函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向____　　(φ>0)或向　　　(φ<0)平移　　　个单位长度得到的(可简记为左“+”右 “-”),即y=sin ωx y=sin(ωx+φ).  左 左 3.上、下伸缩变换 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将函数y=sin(ωx+φ)图象上的每个点的 　　　　　　伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的　　倍(横坐标不变)得到的, 即y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ). 纵坐标 A 4.上、下平移变换 函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象,可以看作是把函数y=Asin(ωx+φ)图象上的所有点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平移|b|个单位长度得到的(可简记为 上“+”下“-”),即y=Asin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)+b. 名师点睛 函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,参数A,ω,φ,b的变化引起图象的变换:A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;ω的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;φ的变化引起左右平移变换;b的变化引起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右减,上加下减”. 过关自诊 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)由函数y=sin(x+ )的图象得到y=sin x的图象,必须向左平移.(　　) (2)把函数y=sin x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数 y=sin 3x的图象.(　　) (3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(　　) × × × 知识点二　A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响 1.在函数y=sin ωx(ω>0)中,ω决定了函数的周期,T=　　　是函数y=sin ωx的最小正周期,通常称周期的倒数 为　　　.  2.在函数y=sin(ωx+φ)中,φ决定了　　　　时的函数值,通常称φ为　　　　,ωx+φ为　　　　.  3.在函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)中,A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的　　　　以及函数的　　　　　　和　　　　　　,通常称A为　　　　.  频率 x=0 初相 相位 值域 最大值 最小值 振幅 名师点睛 1.A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响. (1)A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系. (2)ω越大,函数图象的周期越小,ω越小,函数图象的周期越大,周期与ω为反比例关系. (3)φ大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) × √ × 2.根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是 ,如何确定函数解析式? 知识点三　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的性质 1.定义域:　　　.  2.值域:　　　　　　.  3.周期:周期函数,最小正周期T=　　　　　.   4.奇偶性:当　　　　　　时,函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数;当φ=_________　　　　 时, 函数y=Asin(ωx+φ)是偶函数;当φ≠　　　　　时,函数y=Asin(ωx+φ)既不是奇函数,也不是偶函数.  R [-A,A] φ=kπ,k∈Z 名师点睛 1.一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个.如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减 的整数倍达到目的. 2.正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期,而是半个周期. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) √ √ × × 知识点四　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象 用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)确定函数的最小正周期T= . (2)令ωx+φ分别等于　　　,　　　,　　　,　　　,　　　,确定该函数的五个关键点.  列表如下: 0 π 2π (3)描点连线,作出函数在一个周期上的图象,再向左、右无限扩展,得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象. 名师点睛 由y=sin x变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的方法 (1)先平移后伸缩: (2)先伸缩后平移: 过关自诊 [人教A版教材例题]画出函数y=2sin(3x- )的简图. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　正弦函数、余弦函数的图象变换 角度1.伸缩变换 变式探究若将本例中“横坐标缩短为原来的 ”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”,其他条件不变,则得到的函数解析式为　 　　　　.  规律方法　对于函数y=sin x,若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍,则得到函数 ,若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍,则得到函数y=Asin x,两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换,纵向伸缩是正比例伸缩变换. 角度2.平移变换 【例2】 函数y=sin(x- )的图象可以看作是由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到的? 规律方法　对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数,再观察x前的系数,当x前的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循左加右减,且从ωx→ωx+φ的平移量为 个单位长度. 角度3.图象变换的综合应用 规律方法　1.已知变换途径及变换后的函数解析式,求变换前函数图象的解析式,宜采用逆变换的方法. 2.已知函数f(x)图象的伸缩变换情况,求变换前后图象的解析式,要明确伸缩的方向及量,然后确定出A或ω即可. 变式训练1将y=sin x的图象怎样变换可得到函数y=2sin(2x+ )+1的图象? 解 (方法一)①把y=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin x的图象; 探究点二　用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 解 列表. 规律方法　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的实质和步骤 (1)实质:利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象. (2)步骤: 第一步,列表. 第二步,在同一坐标系中描出各点. 第三步,用光滑曲线顺次连接这些点,得到图象. 变式训练2用“五点法”作函数y=2sin(x- )+3的图象,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间. 解 列表. 探究点三　函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用 【例5】 已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈R,0<φ<π)在x= 时取得最大值4. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调区间. 规律方法　研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质,主要运用整体代换的思想,将(ωx+φ)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=sin x的性质. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)伸缩变换; (2)平移变换; (3)五点(画图)法; (4)三角函数的性质的综合应用. 2.方法归纳:特殊点法、数形结合法. 3.常见误区:先平移和先伸缩再平移的量不一样;求φ值时容易区分不清单调递增区间上的零点和单调递减区间上的零点. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 级 必备知识基础练 A.1 B.2 C.3 D.4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.将函数y=sin 2x的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数是(　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.下列函数中,图象的一部分如图所示的是(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 8π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y=sin x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y=sin xy=sin ωx.  　 　 2.当A<0,或ω<0时,应先用诱导公式将x的系数或正、余弦函数符号前的数化为正数,再确定初相φ.如函数y=-sin(2x-)的初相不是φ=-. (1)函数y=-2sin(x+)的振幅是-2. (　　) (2)函数y=sin的初相为,相位为x+. (　　) (3)函数y=sin 4x的频率为. (　　) ,周期是,初相是 提示 A=,ω=3,φ=,故函数解析式为y=sin. ,k∈Z φ为的偶数倍　 φ为的奇数倍 +kπ,k∈Z 5.单调性:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的单调递增区间可由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z解得;单调递减区间可由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z解得.当ω<0时,求单调区间一定要运用诱导公式将x的系数化为正,然后结合函数式求解. (1)函数y=sinx+的图象的对称轴方程是x=+kπ,k∈Z. (　　) (2)函数y=sinx的最小正周期T=. (　　) (3)y=sinx的最大值为. (　　) (4)函数f(x)=sin的一个对称中心为. (　　) 2.如何求函数y=2sin+1的最值? 提示 sin2x+∈[-1,1],则该函数的最大值为2+1=3,最小值为-2+1=-1. 　 这五个点为P1-,0,P2,A,P3,0,P4,-A,P5,0. 其中P1,P3,P5均为零点(图象与x轴的交点),P2是最大值点,P4是最小值点. 解 先画出函数y=sin x的图象;再把正弦曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sinx-的图象;然后使曲线上各点的横坐标变为原来的,得到函数y=sin3x-的图象;最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍,这里的曲线就是函数y=2sin3x-的图象,如图所示. 下面用“五点法”画函数y=2sin3x-在一个周期T=内的图象. 令X=3x-,则x=X+.列表,描点画图. X 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 【例1】 将函数y=sinx+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的图象的函数解析式为　 .  y=sin(2x+) y=5sin(x+) y=sin 解 函数y=sinx-的图象可以看作是把曲线y=sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的. 变式探究(1)若将本例中y=sinx-改为y=cosx-,其他不变,又该怎样变换? (2)将本例改为:函数y=sin2x-的图象可由y=sin 2x的图象经过怎样变换得到? 解 y=cosx-=sinx-=sinx+,可以看作是把y=sin x上所有的点向左平移个单位长度得到的. 解y=sin2x-=sin 2x-,可由y=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到. || 【例3】 把函数y=f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度,再把横坐标伸长到原来的2倍,再把纵坐标缩短到原来的,所得图象的解析式是 y=2sinx+,求f(x)的解析式. 解 y=2sinx+y=3sinx+y=3sinx+ y=3sinx+=3sinx+=3cos x,所以f(x)=3cos x. ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=2sin 2x的图象; ③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度,得到y=2sin 2x+的图象; ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度,得到y=2sin2x++1的图象. (方法二)①将y=sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度,得到y=sinx+的图象; ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到y=sin2x+的图象; ③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin2x+的图象; ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度,得到y=2sin2x++1的图象. 【例4】 用“五点法”作函数y=2sin,x∈R的图象. x 2x- 0 π 2π y 0 2 0 -2 0 描点、连线成图(如图).利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到y=2sin,x∈R的图象. ωx+φ 0 π 2π x - y 0 A 0 -A 0 x x- 0 π 2π y 3 5 3 1 3 描点、连线作出函数在一个周期内图象; 把此图象左、右扩展即得 y=2sin(x-)+3的图象. 由图象可知函数的定义域为R,值域为[1,5], 周期为T==2π,频率为f=,初相为φ=-,最大值为5,最小值为1. 令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z得原函数的单调递增区间为,k∈Z,令2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z得原函数的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z. 解 (1)由题意知函数f(x)的最小正周期T=. (2)由题意知f(x)max=f=Asin=4,即A=4,sin=1. 因为0<φ<π,所以+φ<,所以+φ=,所以φ=.所以f(x)=4sin. 令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z, 解得≤x≤,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z; 令2kπ+≤3x+≤2kπ+,k∈Z, 解得≤x≤,k∈Z, 所以f(x)的单调递减区间是,k∈Z. 变式训练3已知函数f(x)=2sinωx-(ω>0)的最小正周期是π. (1)求ω; (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 解 (1)函数的最小正周期为T==π,所以ω=2. (2)因为ω=2,所以f(x)=2sin. 又x∈,所以令t=2x-. 由正弦函数的性质,可知y=2sin t在区间-上单调递增;在区间上单调递减.所以当2x-时,f(x)取得最大值f(x)max=2,此时x=;当2x-=-时,f(x)取得最小值f(x)min=-2,此时x=0. 1.函数y=2sin+1的最大值是(　　) 解析 函数y=2sin+1的最大值为2+1=3. 2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f=(　　) A.- B. C. D.- 解析 由=π,得ω=2,此时f(x)=sin. 所以f=sin. 解析 y=sin 2xy=sin 2x-=sin(2x-π)=-sin(π-2x) =-sin 2x. 由于-sin(-2x)=sin 2x,所以是奇函数. A.y=sinx+ B.y=sin2x- C.y=cos4x- D.y=cos2x- 5.若函数f(x)=sinωx-(0<ω<4)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,则ω=(　　) A.2 B. C.1 D.3 解析 函数f(x)=sinωx-(0<ω<4)的图象向左平移个单位长度后的解析式为y=sinωx+-=sinωx+,因为其图象关于y轴对称,所以=kπ+,k∈Z,解得ω=3k+2,k∈Z, 因为0<ω<4,所以ω=2,故选A. 6.已知函数y=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤在一个周期内,当x=时有最大值2,当x=时有最小值-2,则ω=　　　　　,φ=　　　　　.  　　 7.函数y=6sin的振幅是　　　　,周期是　　　　,频率是　　　　,初相是　　　　,图象最高点的坐标是　　　　　　　.  (8kπ+,6),k∈Z　 解析 由题意,得A=6,T==8π,,φ=-. 令=2kπ+,k∈Z, 得x=8kπ+,k∈Z时,函数取得最大值6. - 8.将函数y=1+2sin-3x的图象向下平移一个单位长度,可得函数 　　　　　　的图象;作出所得图象关于x轴的对称图形,可得函数 　　　　　　的图象;再将所得图象上各点的纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的3倍,可得函数　　　　　　的图象;再将此图象向左平移个单位长度,就可得到函数　　　　　　的图象.  y=2sin(-3x) y=2sin(3x-) y=sin(x-) 9.函数f(x)=5sin2x--3的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的? 解先把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,得y=sinx-的图象;再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得 y=sin2x-的图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),得函数y=5sin2x-的图象,最后将所得函数图象向下平移3个单位长度,得函数y=5sin2x--3的图象. 10.将函数f(x)=sin2x-的图象向左平移φ个单位长度,恰与函数 g(x)=sin2x+的图象重合,则φ的取值可能是(　　) A. B. C. D. 解析 将函数f(x)=sin2x-的图象向左平移φ个单位后得 y=sin2(x+φ)-,φ>0,与图象g(x)=sin2x+的图象重合, 所以2φ-+2kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=.故选D. 11.(多选)已知函数f(x)=cos,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.当x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最大值1 C.函数f(x)图象的一个对称中心是 D.将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将图象向右平移个单位长度,则所得到的图象的函数解析式为y=cos 4x 解析 f(x)的最小正周期为T==π,故选项A正确; 当x=kπ-(k∈Z)时,2x+=2kπ(k∈Z), f(x)=cos=cos 2kπ=1,f(x)取得最大值1,故选项B正确; 当x=时,f(x)=cos 2π=1,故选项C不正确; 将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=cos, 再将图象向右平移个单位长度可得y=cos=cos,故选项D不正确. 故选AB. 12.已知函数f(x)=sin,当x∈0,时,关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2=　　　　　,f(x1+x2)=　　　　　.  解析 ∵x∈0,,∴≤2x+, ∴-≤f(x)≤1, 画出f(x)的图象(图略),结合图象知2x1++2x2+=2×=π,则x1+x2=, 则f(x1+x2)=f=sin=sin. 13.设函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,-<φ<0的最小正周期为π,且f=1. (3)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-上的值域. 解(1)由题意,函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π, 所以=π,可得ω=2,所以f(x)=cos(2x+φ). 又由f=1,可得f=cos2×+φ=cos=1, 可得+φ=2kπ,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z. 因为-<φ<0,所以φ=-, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=cos. (2)由(1)知f(x)=cos, 令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以函数f(x)=cos的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z. (3)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数 y=cos2=cos,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=cos,因为x∈-,可得x+∈,π,所以-1≤g(x)≤, 所以函数g(x)的值域为-1,. 14.已知函数f(x)=2sinωx+φ-+1(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为. (1)求f的值; (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间. 解(1)因为f(x)为偶函数,所以φ-=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z.又0<φ<π,所以φ=, 所以f(x)=2sinωx++1=2cos ωx+1. 又因为函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为, 所以T==2×,所以ω=2,所以f(x)=2cos 2x+1, 所以f=2cos2×+1=+1. (2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数fx-的图象, 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍, 纵坐标不变,得到f的图象, 所以g(x)=f=2cos2+1=2cos+1. 当2kπ≤≤2kπ+π,k∈Z,即4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减.所以函数g(x)的单调递减区间是4kπ+,4kπ+,k∈Z. $$