1.7.1 正切函数的定义、1.7.2 正切函数的诱导公式课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 7.1　正切函数的定义　7.2　正切函数的诱导公式 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求正切函数值. 2.理解并熟记正切函数的诱导公式. 3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　正切函数的定义 1.定义 角的终边不能在y轴上 2.正切函数值在各象限中的符号 由正切函数的定义知:当角 α的终边在第一和第三象限时,正切值为　　;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为　　.  正 负 名师点睛 1.若一个角的某一个正切函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,首先要根据已知的正切函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解. 2.化简三角函数式的常用技巧 减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin α,cos α的分式问题,常采用分子分母同除以cosnα(n∈N+),将被求式化为关于tan α的式子. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)若sin xtan x>0,则x为第一象限角.(　　) × × 2.拓展—正切线 如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为角α的正切线. 知识点二　正切函数的诱导公式 tan(kπ+α)=tan α(k∈Z);tan(-α)=-tan α;tan(π+α)=tan α;tan(π-α)=-tan α; 名师点睛 1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”. 2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想. 3.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取. 过关自诊 [人教A版教材例题]化简 解 tan(-α-180°)=tan[-(180°+α)]=-tan(180°+α)=-tan α, cos(-180°+α)=cos[-(180°-α)]=cos(180°-α)=-cos α, 重难探究·能力素养全提升 探究点一　正切函数定义的应用 【例1】 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值. 规律方法　利用正切函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时,常用的解题方法有以下两种: 方法一,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正切函数的定义求出相应的正切函数值. 方法二,注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦函数值 (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. D 探究点二　正切函数诱导公式的应用 角度1.利用正切函数的诱导公式求值 规律方法　利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法 (1)正切函数的诱导公式通常结合已知角求值,即“知角求值”,关键是利用诱导公式将任意角的正切函数值转化为锐角,通常是特殊角的正切函数值. (2)“给值求值”时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择恰当的诱导公式求值. A.5　 　B.-5 　　C.25 　　D.0 A 角度2.利用正切函数的诱导公式化简或证明 规律方法　求正切函数值的流程图: 任意角的正切函数值→0~2π的角的正切函数值→锐角的正切函数值 用正切函数的诱导公式化简、证明的总体原则: (1)“切化弦”,函数名称尽可能化少. (2)“大化小”,角尽可能化小. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)正切函数的定义; (2)正切函数的诱导公式. 2.方法归纳:整体代换、换元法. 3.常见误区:将正切函数的定义域误认为实数集;诱导公式易忽视角的取值限制. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-2,a),若α=120°,则a的值为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.sin 135°+cos 225°+tan(-120°)=　　　　.  解析 sin 135°+cos 225°+tan(-120°) =sin(180°-45°)+cos(180°+45°)-tan 120° =sin 45°-cos 45°+tan 60° = . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 7.已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),则tan(180°-α)的值是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 10.(多选)下列说法正确的是(　　) A.正切函数是周期函数,最小正周期为π B.正切函数的图象是连续的 C.直线x=kπ+ (k∈Z)是正切曲线的渐近线 D.把y=tan x,x∈ 的图象向左、右平行移动kπ(k∈Z)个单位长度,得到的图象与y=tan x重合 ACD 根据函数的定义,比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}. tan+α=-;tan-α=. . 所以原式==-cos α. 解 r==5|a|, 若a>0,则r=5a,角α在第二象限, sin α=,cos α==-, tan α==-; 若a<0,r=-5a,角α在第四象限, sin α=-,cos α=,tan α=-. sin α= . 变式训练1若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α= (　　) A.-　　　　　　　　　B. C. D.- 解析 cos α=,解得y=±4,又y<0,所以y=-4,故tan α=-. 【例2】 (1)已知cos,且|φ|<,则 tan φ=________; -　 解析 因为cos=-sin φ=,所以sin φ=-.因为|φ|<,所以φ=-, 所以tan φ=tan=-tan=-. (2)已知tan,则tan=　　　.  - 解析 tan=tan=-tan=-. 变式训练2(1)若tan=-5,则tan等于(　　) 解析 因为tan=-tan(α+)=-5,所以tan=5, 即tan=5,故tan=5. (2)求值:. 解因为tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1, tan(-30°)=-tan 30°=-, tan 750°=tan(720°+30°)=tan 30°=, tan(-45°)=-tan 45°=-1, 所以原式==2+. 【例3】 求证:=-tan α. 证明 原式左边= = =-tan α=右边.故原式得证. 变式训练3化简: . 解 原式==-1. 1.若tan(π+α)=-,则tan(3π-α)的值为(　　) A. B.2 C.- D.-2 解析 由已知得tan(π+α)=tan α=-, 因此,tan(3π-α)=-tan α=. A.-2 B.±2 C.2 D. 解析 因为终边经过点(-2,a),且α=120°, 所以tan 120°==-,解得a=2,故选C. 3.已知a=sin ,b=tan ,c=log4,则(　　) 解析 因为,所以<sin <1,tan >1,又log4, 所以b>a>c.故选B. 5.若α的终边经过点(-1,2),则tan(α+)+=　　　　　.  解析 由题意知tan α=-2,则tan=--tan α=+2=. 6.已知角α的终边经过点P(4,-3),则sin α=　　　　　,tan =　　　　　.  - 解析 α的终边经过点P(4,-3),则sin α==-,tan α=-, tan=tan=-. A.- B.- C.± D.± 解析 因为角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0), 所以tan α=,所以tan(180°-α)=-tan α=-. 8.已知角α的终边过点(m,-2),若tan(π+α)=,则m=(　　) A. B.-10 C.10 D.- 解析 因为tan(π+α)=tan α=,角α的终边过点(m,-2),得tan α=,解得m=-10.故选B. 9.化简:=　　　　.  解析 =1. $$