1.7.3 正切函数的图象与性质课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 7.3　正切函数的图象与性质 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.能够正确画出正切函数的图象. 2.会通过正切函数的图象研究其性质. 3.能运用正切函数的图象与性质解决问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　正切函数的图象 1.正切函数y=tan x的图象: 2.正切函数的图象称作　　　　　　　　.  3.正切函数的图象特征:正切曲线是被相互平行的直线x= +kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线. 正切曲线 过关自诊 1.正切函数y=tan x的图象与直线x=kπ,k∈Z有公共点吗? 提示 有.两个图象交点的横坐标为kπ(k∈Z),即为函数y=tan x的零点. 2.画出函数y=|tan x|的图象. 知识点二　正切函数的性质 性质 y=tan x 定义域 　　　　　　　　　　　　  值域 　　  奇偶性 　　函数  单调性 单调递增区间:　 　　　　　　 单调递减区间:　　　  周期性 最小正周期是　　  对称中心 包含(kπ,0),k∈Z和(kπ+ ,0),k∈Z两类 R 奇 无 π 名师点睛 3.正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是单调递增的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间. 过关自诊 1.[人教B版教材例题]求函数y=tan(x- )的定义域. 2.求函数y=tan 3x的周期. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　正切函数的定义域与值域问题 【例1】 求下列函数的定义域和值域: 规律方法　求正切函数定义域的方法及注意事项: 求与正切函数有关的函数定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解. 解形如tan x>a的不等式的步骤: 探究点二　正切函数图象的应用 【例2】 解不等式tan x≥-1. 规律方法　利用正切函数图象解不等式的方法 解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周期为π. 探究点三　正切函数的单调性问题 角度1.求正切函数的单调区间 规律方法　y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解 ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 角度2.比较大小 【例4】 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小. 规律方法　运用正切函数单调性比较大小 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内; (2)运用单调性比较大小关系. 探究点四　正切函数的周期性、奇偶性问题 (2)判断函数y=sin x+tan x的奇偶性. 规律方法　与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为 ,常常利用此公式来求函数的周期. (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系. A.4　　B.3 C.2 D.1 C A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 A 本节要点归纳 1.知识清单: (1)正切函数的图象的画法; (2)正切函数的性质; (3)正切函数图象和性质的应用. 2.方法归纳:整体代换、换元法. 3.常见误区:函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的最小正周期 ;函数y=tan x在定义域内不单调. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 1.sin 2·cos 3·tan 4的值为(　　) A.负数 B.正数 C.0 D.不存在 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(多选)下列说法正确的是(　　) A.正切函数是周期函数,最小正周期为π B.正切函数的图象是连续的 C.直线x=kπ+ (k∈Z)是正切曲线的渐近线 D.把y=tan x,x∈ 的图象向左、右平行移动kπ(k∈Z)个单位长度,得到的图象与y=tan x重合 ACD 解析 正切函数是周期函数,周期为kπ(k∈Z),最小正周期为π;正切曲线是由相互平行的直线x= +kπ(k∈Z)(称为渐近线)所隔开的无穷多支曲线组成的,故A,C,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.给出下列四个结论: 其中正确结论的序号是　　　　.  ①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 7.若tan 2=a,tan 3=b,tan 5=c,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.若不等式tan x>a在x∈ 上恒成立,则a的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,1] C.(-∞,-1) D.(-∞,-1] D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)求f(x)的定义域和最小正周期; (2)求f(x)的单调区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解由y=|tan x|得,y= 其图象如图: 　 (-+2kπ,+kπ),k∈Z　 1.正切函数y=tan x的定义域是x∈Rx≠+kπ,k∈Z,值域是R. 2.正切函数y=tan x的最小正周期是π.一般地,函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的最小正周期是T=.若不知ω正负,则该函数的最小正周期为T=. 解 令u=x-,则y=tanx-可以化成y=tan u. 因为y=tan u中,u≠+kπ,k∈Z,所以x-+kπ,k∈Z,即x≠+kπ,k∈Z, 所以函数y=tanx-的定义域为xx≠+kπ,k∈Z. 解 令u=3x,则y=tan 3x可以化成y=tan u. 由y=tan u的周期为π可知,对任意u,当它增加到且至少要增加到u+π时,对应的函数值才重复出现,因为u+π=3x+π=3x+, 这说明对任意x,当它增加到且至少要增加到x+时,y=tan 3x的函数值才重复出现,这就说明y=tan 3x的周期为. (1)f(x)=tan; (2)f(x)=. 解 (1)依题意得x-≠kπ+,k∈Z,所以x≠2kπ+,k∈Z. 所以函数的定义域是. 由正切函数的值域可知该函数的值域也是R. (2)依题意-tan x≥0,所以tan x≤. 结合函数y=tan x的图象可知,在上,满足tan x≤的角x应满足 -<x≤, 所以函数y=的定义域为{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z},其值域为[0,+∞). 变式训练1求函数y=的定义域. 解 依题意有tan x-1≠0,所以tan x≠1. 所以x≠kπ+,k∈Z. 又x≠kπ+,k∈Z,故函数定义域为 . 解 作出y=tan x在区间-上的图象,如图所示. 令y=-1,得x=-,所以在区间上满足不等式 tan x≥-1的x的取值范围为. 由正切函数的周期性可知,原不等式的解集为kπ-,kπ+,k∈Z. 变式训练2(1)求满足-<tan x≤1的x的集合; (2)求不等式tan2x+≥-1的解集. 解 (1)根据正切函数的图象可知,在区间-上,满足-<tan x≤1的x的取值范围是-,而正切函数的周期是kπ,k∈Z. 故满足-<tan x≤1的x的集合是xkπ-<x≤kπ+,k∈Z. (2)由正切函数的图象,可知-+kπ≤2x++kπ,k∈Z,解得-≤x<,k∈Z, 所以原不等式的解集为x-≤x<,k∈Z. 【例3】 求函数y=tan的单调区间. 解 y=tan=-tan, 由-+kπ<x-+kπ(k∈Z)得-π+4kπ<x<3π+4kπ,k∈Z, 所以函数y=tan的单调递减区间是(-π+4kπ,3π+4kπ)(k∈Z). -+kπ 变式训练3函数y=3tan的单调递减区间为　　　　　　　　　　　　.  (k∈Z) 解析 y=3tan=-3tan,令kπ-<kπ+(k∈Z), ∴4kπ-<x<4kπ+(k∈Z),∴函数y=3tan的单调递减区间为 4kπ-,4kπ+(k∈Z). (1)tan与tan; (2)tan与tan. 解 (1)因为tan=tan,tan=tan, 又0<,y=tan x在0,上单调递增, 所以tan<tan,即tan<tan. (2)因为tan=-tan,tan=-tan, 又0<,y=tan x在0,上单调递增, 所以tan>tan,所以-tan<-tan, 即tan<tan. 变式训练4比较大小:tan和tan. 解 ∵tan=-tan=tan, tan=-tan=tan, 又0<,y=tan x在上单调递增, ∴tan<tan,即tan>tan. 【例5】 (1)求函数f(x)=tan2x+的最小正周期; 解 函数f(x)的最小正周期为T=, 所以f(x)=tan2x+的最小正周期是. 解由题意可得,函数的定义域为xx≠kπ+,k∈Z,关于原点对称, 因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),所以函数y=sin x+tan x是奇函数. T= 变式训练5(1)已知函数f(x)=3tanωx-(ω>0)的最小正周期为,则ω=(　　) 解析 因为ω>0,所以T=,所以ω=2,故选C. (2)函数f(x)=是(　　) 解析 要使函数f(x)有意义,必须满足即x≠kπ+,且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函数f(x)的定义域关于原点对称. 又f(-x)==-=-f(x), 所以f(x)=是奇函数. T= 解析 因为<2<π,所以sin 2>0.因为<3<π,所以cos 3<0.因为π<4<,所以tan 4>0.所以sin 2·cos 3·tan 4<0. 2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为, 则f()的值是(　　) A.0 B.1 C.-1 D. 解析 由题意,可知T=,所以ω==4,即f(x)=tan 4x,所以f=tan4× =tan π=0,故选A. 3.关于函数y=tan,下列说法正确的是(　　) A.是奇函数 B.在区间上单调递减 C.为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π 解析 当x=0时,y=tan(-)≠0,则函数y=tan(2x-)为非奇非偶函数,故A错误;若x∈(0,),则2x-∈(-),所以函数y=tan(2x-)在(0,)上单调递增,故B错误;周期T=,故D错误;当x=时,y=tan=tan 0=0,故C正确.故选C. 5.函数y=tan的单调递减区间为　　　　　　　　　　　　　.  (k∈Z) 解析 y=tan=-tan. 由-+kπ<3x-+kπ(k∈Z), 得-<x<(k∈Z). 故函数y=tan的单调递减区间为-(k∈Z). ①sin->sin-;②cos->cos-;③tan >tan ; ④tan >sin . 解析 ∵tan 5=tan(5-π),<5-π<2<3<π, 且函数y=tan x在区间上单调递增, ∴tan(5-π)<tan 2<tan 3, ∴tan 5<tan 2<tan 3,即c<a<b. 解析 因为函数y=tan x在区间上单调递增, 所以tan x>tan=-1,所以a≤-1. 9.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”,“平行曲线”具有性质:任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等.已知函数f(x)=tan(ω>0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2 022相交于A,B两点,且|AB|=2,则f=(　　) A. B. C.-3 D.--3 解析 由题意知,函数f(x)的最小正周期T=|AB|=2,所以=2,解得ω=,所以f(x)=tan,所以f=tan=tan. 10.若函数y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的值是　　　　　.  -　 解析 令2x+θ=(k∈Z),由对称中心为,得θ=(k∈Z). 又θ∈,故θ=-. 11.[2023山东济宁期末]已知函数f(x)=-tanx-. 解 (1)对于函数f(x)=-tanx-, 应有≠kπ+,k∈Z,解得x≠2kπ+,k∈Z, 所以函数的定义域为xx≠2kπ+,k∈Z, 故函数的最小正周期为=2π. (2)令kπ-<kπ+,k∈Z,则2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,所以函数的单调递减区间为2kπ-,2kπ+,k∈Z,无单调递增区间. 12.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z. (1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值; (2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围. 解(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=x-2-. ∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上, ∴当x=时,f(x)min=-; 当x=-1时,f(x)max=. (2)由题可知g(x)=x-+2tan θ, ∵g(x)为奇函数, ∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z. (3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ. ∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数, ∴-tan θ≥或-tan θ≤-1, 即tan θ≤-或tan θ≥1, ∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z, 故θ的取值范围是-+kπ,-+kπ∪+kπ,+kπ,k∈Z. $$