1.8 三角函数的简单应用课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 §8　三角函数的简单应用 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.了解常见的三角函数模型. 2.初步体会利用三角函数研究简单的实际问题. 3.通过对三角函数模型的简单应用的学习,初步学会由图象求函数解析式的方法. 基础落实·必备知识全过关 知识点　解答三角函数应用题的基本步骤 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题. (1)审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型.有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,注意挖掘一些隐含条件. (2)建模:在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题的要求,这样便将实际问题转化成了数学问题. (3)解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决. (4)回归实际问题:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题中进行检验. 名师点睛 1.三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用. 2.三角函数模型的三种模式 在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述.如气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力的变化等.研究这些应用问题,主要有以下三种模式:①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题;②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析式,再解决其他问题;③搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数解析式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题. 过关自诊 [人教A版教材例题] 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面高度为120 m,转盘直径为110 m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30 min. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动t min后距离地面的高度 为H m,求在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式; (2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度; (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差h(单位:m)关于t的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到0.1). 解 如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　已知三角函数解析式解决实际问题 【例1】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题: (1)求函数p(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)画出函数p(t)的草图; (4)求出此人的血压在血压计上的读数. 描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示: (4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg. 规律方法　用建模方法解决函数图象与解析式问题 解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=Asin(ωx+φ)的性质相结合,转化为数学问题再解决. 变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0). (1)根据图中数据求函数解析式; (2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰? 探究点二　已知函数模型确定函数解析式 【例2】 如图,风车叶轮的最高顶点离地面14.5 m,叶轮旋转所成圆的直径为14 m,风叶轮以每分钟旋转2周的速度匀速转动,叶轮顶点从离地面最低点经15 s后到达最高点.以叶轮顶点离地面的高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin[ω·(t-b)]+c来表示,求参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式. 因为叶轮旋转所成圆的直径为14 m,所以叶轮顶点应该在离圆心上下、左右7 m范围内变化,即函数振幅a=7. 规律方法　三角函数解析式的求法 求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式时,一定要清楚影响A,ω,φ,b的因素, ,ω与周期有关,φ可用特殊点来求,当已知A,b时,也可以根据相位对应法列出方程组求ω,φ的值. 变式训练2 右图为某地一天从6时到14时的温度变化曲线,其图象近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0). (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的一个函数解析式; (3)请预测16时的温度(精确到1 ℃). 解 (1)由题图知,这段时间的最大温差是30-10=20(℃). (2)因为题图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的半个周期的图象. (3)根据(2)中得出的解析式知,当x=16时,y=20+5 ≈27,即16时的温度约为27 ℃. 探究点三　建立三角函数模型解决实际问题 【例3】 如图为一辆观览车示意图,该观览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h m. (1)求h(单位:m)与θ(单位:rad)之间的函数解析式; (2)设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h(单位:m)与t(单位:s)之间的函数解析式. 规律方法　解三角函数应用问题的基本步骤 变式训练3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求函数y=Acos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于1.25 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动. 即12k-2<t<12k+2,k∈Z. 因为0≤t≤24,故当k的值分别为0,1,2时可得0≤t<2或10<t<14或22<t≤24. 所以一天内有8个小时的时间可供冲浪运动. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)已知三角函数解析式解决实际问题; (2)构造三角函数模型解决实际问题. 2.方法归纳:数学建模、数形结合. 3.常见误区:选择三角函数模型时,最后结果忘记回归实际生活. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 A 级 必备知识基础练 1.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　) A.该质点的运动周期为0.8 s B.该质点的振幅为1 cm C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大 D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零 ABD 解析 由题图可知, =0.7-0.3=0.4,所以T=0.8;最小值为-1,所以振幅为1 cm;在0.1 s和0.5 s时,质点到达运动的端点,所以速度为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 2.如图所示的是一个半径为3米的水轮,水轮的圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(单位:米)与时间t(单位:秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2,则(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 等边三角形　 1 2 3 4 5 6 7 8 4.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用 求:(1)开始时的电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间. 1 2 3 4 5 6 7 8 5.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为 ,当秒针从P0(注:此时t=0 s)开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:s)的函数解析式为(　　) B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 6.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示 成时间t(单位:s)的函数,则d=　　　　 　,其中t∈[0,60].  1 2 3 4 5 6 7 8 7.春节期间,某地昼夜气温呈周期性变化,温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,-π<φ≤π),且在每天凌晨2时达到最低温度-3 ℃,在下午14时达到最高温度9 ℃,从2时到14时为半个周期. (1)求这段时间气温随时间变化的函数解析式. (2)这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0 ℃? 注:一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含). 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 C 级 学科素养创新练 8.在某景区的一家专门为游客提供住宿的客栈中,工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多,浪费很严重.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增,在8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的 关系; (2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物? 1 2 3 4 5 6 7 8 解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=1,2,…,12. 根据①,可知这个函数的周期是12; 由②,可知f(2)为最小值,f(8)为最大值,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200; 由③,可知f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500. 1 2 3 4 5 6 7 8 解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为x∈N+,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10. 即客栈在6,7,8,9,10月份要准备400份以上的食物. (1)设t=0 min时,游客甲位于点P(0,-55),以OP为终边的角为-;根据摩天轮转一周大约需要30 min,可知座舱转动的角速度约为 rad/min,由题意可得 H=55sint-+65,0≤t≤30. (2)当t=5时,H=55sin×5-+65=37.5. 所以,游客甲在开始转动5 min后距离地面的 高度约为37.5 m. (3)如图,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示,则∠AOB=.经过t min后甲距离地面的高度为H1=55sin(t-)+65,点B相对于点A始终落后rad,此时乙距离地面的高度为H2=55sin(t-)+65.则甲、乙距离地面的高度差h=|H1-H2|=55|sin(t-)-sin(t-)|=55|sin(t-)+sin(t)|,利用sin θ +sin φ=2sincos,可得h=110|sinsin(t-)|,0≤t≤30.当t-(或),即t≈7.8(或22.8)时,h的最大值为110sin≈7.2. 所以,甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m. 解 (1)因为ω=160π,所以T=(min),所以函数p(t)的周期为 min. (2)此人每分钟心跳的次数为函数的频率f==80(次). (3)列表: t 0 p(t) 115 140 115 90 115 解 (1)由图象可知ymax=900,ymin=700,且A+b=ymax,-A+b=ymin, 所以A==100, b==800,又因为T=12=,所以ω=. 将点(7,900)看作函数的第二个特殊点应有×7+φ=,即φ=-. 因此所求的函数解析式为y=100sin+800. (2)由图象可知,每隔半个周期种群数量就出现一个低谷或一个高峰,又=6.所以从7月1日开始,每隔6天,种群数量就出现一个低谷或一个高峰. 解 因为叶轮每分旋转2周,所以f=. 又因为f=,T=,所以ω=2πf=2π×. 因为叶轮顶点从离地面最低点,经15 s后到达最高点,可得ω(15-b)=,即b=15-.圆心离地面的高度为7.5 m, 所以c=. 综上可得函数解析式为y=7sin. A= 所以A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,T=2×(14-6)=16,ω=,此时y=10sin+20,将代入上式得可取φ=.综上,所求函数的解析式可以为y=10sin(x+)+20,x∈[6,14]. 解 (1)由题意作图,如图所示,过点O作与地面平行的线段ON交☉O于点N,过点B作ON的垂线BM,交ON于点M,当<θ<π时,∠BOM=θ-.h=|OA|+0.8+|BM|=4.8+0.8+|BM|=5.6+4.8sin; 当θ≥0时,上述解析式也适合. 综上所述,函数解析式为h=5.6+4.8sin. (2)点A在☉O上逆时针运动的角速度是 rad/s, 所以t s转过的弧度数为t rad, 所以h=4.8sin+5.6,t∈[0,+∞). 解 (1)由题意知T=12,所以ω=. 由t=0,y=1.5得A+b=1.5;由t=3,y=1.0得b=1.0, 所以A=0.5,b=1,即y=cost+1,t∈[0,24]. (2)由题意知,当y>1.25时才可对冲浪者开放, 所以cost+1>1.25,cost>. 所以2kπ-t<2kπ+,k∈Z, A.ω=,A=3 B.ω=,A=3 C.ω=,A=5 D.ω=,A=5 解析 因为y=Asin(ωx+φ)+2,最高点离平衡位置距离是3,所以A=3.因为水轮每分钟旋转4圈,所以转动一周为一个周期,所以T=15秒,ω=.故ω=,A=3. 3.已知锐角三角形ABC的内角满足(tan B-)2+|2sin C-|=0,则它的形状是　　　　　　　.  解析 因为(tan B-)2+|2sin C-|=0,所以tan B=,sin C=.因为B,C∈(0,π),所以B=60°,C=60°,A=60°或B=60°,C=120°(舍去),所以它的形状是等边三角形. E=220sin来表示. 解(1)当t=0 s时,E=220sin=110(V),即开始时的电压为110 V. (2)T==0.02(s),即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220 V,令100πt+,解得t=.即t= s时第一次取得这个最大值. P0() A.y=sint+,t∈[0,+∞) B.y=sin-t-,t∈[0,+∞) C.y=sin-t+,t∈[0,+∞) D.y=sin-t-,t∈[0,+∞) 解析 由题意可得函数初相为,排除B,D. 又T=60 s且秒针按顺时针旋转,即T==60,所以|ω|=,即ω=-.故选C. 10sin　 解析 解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,可得ω=,所以d=10sin. (2)由y=6sin(x-)+3=0得sin(x-)=-,所以x-=2kπ- x-=2kπ+,k∈Z. 由0≤x<24,解得x=6或x=22,即在每天的6时或22时的气温为0 ℃. 解(1)依题意,解得A=6,b=3. 根据题意,=14-2=12,T=24,则ω=. 又x=2时,y=-3,则6sin×2+φ+3=-3, 且-π<φ≤π,解得φ=-,所以所求的解析式为y=6sinx-+3; 根据上述分析可得=12,故ω=,A=200,B=500-200=300. 当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大, 故sin2×+φ=-1,且sin8×+φ=1. 又|φ|<π,故φ=-. 所以一年中入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为 f(x)=200sinx-+300(x=1,2,…,12). (2)由已知条件,可知200sinx-+300≥400, 化简得sinx-≥,即2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z, $$