习题课 正弦函数、余弦函数的图象与性质课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 习题课1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.理解函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)中参数A,ω,φ的意义. 2.会画正弦函数、余弦函数的图象,并能够借助图象研究函数的性质. 3.进一步培养学生的数形结合、分类讨论及化归思想的意识. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象 1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 ωx+φ 2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的图象 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的图象时,要确定该函数的五个关键点,如下表所示: 0 π 2π 名师点睛 1.正弦函数、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期; 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时要注意A和ω的符号,尽量化成ω>0,A>0的形式,避免出现混淆. 过关自诊 A 知识点二　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的性质 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R) 定义域 R 值域 　　　  对称性 对称中心　　 　　　　  对称轴　 　　　　　  奇偶性 当φ=kπ,k∈Z时是　　函数;  当φ= +kπ,k∈Z时是　　函数  单调性 通过整体代换可求出其单调区间 单调递增区间和单调递减区间均为无限个,但不能分别并起来 [-A,A] 奇 偶 名师点睛 在研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质时,注意运用整体代换的思想.例如,它在ωx+φ= +2kπ,k∈Z时取得最大值,在ωx+φ= +2kπ,k∈Z时取得最小值. 过关自诊 1.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　) A D 重难探究·能力素养全提升 探究点一　正弦函数、余弦函数的周期性 A.①②③④ B.①③④ C.②④ D.①③ A 规律方法　正弦函数、余弦函数最小正周期的求解方法 (1)定义法:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都 有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期. (2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期 (3)图象法:求含有绝对值符号的正弦函数、余弦函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期. π 探究点二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 C 规律方法　与正弦函数、余弦函数的奇偶性相关的结论 (1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+ ,k∈Z;若为奇函数,则有φ=kπ,k∈Z. (2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ,k∈Z;若为奇函数,则有φ=kπ+ ,k∈Z. 变式训练2已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的(　　) A.充分条件,不是必要条件 B.必要条件,不是充分条件 C.充分且必要条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件 B 探究点三　正弦函数、余弦函数的对称性 规律方法　正弦函数、余弦函数图象的对称轴和对称中心的求解方法 求正弦函数、余弦函数图象的对称轴及对称中心,须先把所给正弦函数、余弦函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再把 (ωx+φ)整体看成一个变量.若求函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称轴,则只需令ωx+φ= +kπ,k∈Z,求x.若求函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标,则只需令ωx+φ=kπ,k∈Z,求x. A 探究点四　正弦函数、余弦函数的单调性 【例4】 求函数y=sin( -2x)的单调递减区间. 规律方法　求正弦函数、余弦函数单调区间的两种方法 (1)代换法:将比较复杂的正弦函数、余弦函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用正、余弦函数的单调性列不等式求解. (2)图象法:画出正弦函数、余弦函数曲线,结合图象求它的单调区间. 探究点五　正弦函数、余弦函数的值域 规律方法　求正弦函数、余弦函数的值域常见的几种类型 (1)形如y=Asin(ωx+φ)+k的值域问题,需要求得ωx+φ的范围,再求值域; (2)形如y=asin2x+bsin x+c的函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域,此时需要注意t的取值范围; (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域. 变式训练5求下列函数的值域: (1)y=3-2cos 2x,x∈R; (2)y=cos2x+2sin x-2,x∈R. 解 (1)因为-1≤cos 2x≤1, 所以-2≤-2cos 2x≤2. 所以1≤3-2cos 2x≤5,即1≤y≤5. 所以函数y=3-2cos 2x,x∈R的值域为[1,5]. (2)y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2. 因为-1≤sin x≤1,所以函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0]. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)五点(作图)法的应用; (2)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象; (3)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质及应用. 2.方法归纳:数形结合、整体代换、分类讨论. 3.常见误区:对五点(作图)法中关键点顺序把握不清;忽视函数的定义域及对参数的讨论. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)若存在区间[a,b](a,b∈R,且a<b),使得y=f(x)在区间[a,b]上至少含有6个零点,在满足上述条件的区间[a,b]中,求b-a的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 (1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若x∈[0,π]时,函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 函数y=sin2x-在区间-,π上的简图是(　　) 解析 令x=0,得y=sin-=-,排除B,D.当x∈-,0时,-≤2x-≤-,在此区间上函数不会出现最高点,排除C,故选A. (,0),k∈Z x=,k∈Z A.y=cos2x+B.y=sin2x+ C.y=2sinx+D.y=2cosx+ 解析 函数y=cos2x+=-sin 2x,最小正周期为π,且其图象关于点,0(k∈Z)对称,当k=0时为关于原点.故选A. 2.下列函数中,周期为π且在0,上是减函数的是(　　) A.y=sinx+ B.y=cosx+ C.y=sin 2x D.y=cos 2x 解析 对于函数y=cos 2x,T=π,当x∈0,时,2x∈[0,π],y=cos 2x是减函数.故选D. 【例1】 在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+,④y=sin2x-中,最小正周期为π的函数为(　　) 解析 因为y=cos|2x|=cos 2x, 所以该函数的周期为=π; 由函数y=|cos x|的图象易知其周期为π; 函数y=cos2x+的周期为=π; 函数y=sin2x-的周期为=π,故最小正周期为π的函数是①②③④. T=. 变式训练1若x=是函数f(x)=sinωx-,x∈R的一个零点,且0<ω<10,则函数f(x)的最小正周期为　　　　.  解析 依题意知,f=sin=0,即=kπ,k∈Z,整理得ω=8k+2,k∈Z. 又因为0<ω<10,所以0<8k+2<10,得-<k<1, 而k∈Z,所以k=0,ω=2, 所以f(x)=sin2x-,f(x)的最小正周期为π. 【例2】 若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=(　　) A. B. C. D. 解析 由f(x)=sin是偶函数,可得=kπ+,k∈Z,即φ=3kπ+(k∈Z),又φ∈[0,2π],所以φ=. 解析 f(x)是奇函数时,φ=+kπ(k∈Z),充分性不成立;φ=时,f(x)=Acosωx+=-Asin ωx,为奇函数,必要性成立.所以“f(x)是奇函数”是“φ=”的必要条件,不是充分条件. 【例3】 已知函数y=sin(2x+φ)-<φ<的图象关于直线x=对称,则φ的值为　　　　　.  - 解析 由题意可得sin=±1,解得+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z). 因为-<φ<,所以k=0,φ=-. 变式训练3已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象(　　) A.关于点,0对称 B.关于直线x=对称 C.关于点,0对称 D.关于直线x=对称 解析 由T=π知ω==2, 所以函数f(x)=sin2x+. 函数f(x)的对称轴满足2x++kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z); 函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x+=kπ(k∈Z), 解得x=-(k∈Z).故选A. 解 y=sin-2x=-sin2x-,故由2kπ-≤2x-≤2kπ+,解得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).所以函数的单调递减区间为kπ-,kπ+π(k∈Z). 变式训练4已知ω>0,函数f(x)=sinωx+在区间,π上单调递减,则ω的取值范围是　　　　.  []　 解析 由<x<π,得ω+<ωx+<πω+,由题意知(ω+,πω+)⊆(+2kπ,+2kπ)(k∈Z),且≥2×(π-),则且0<ω≤2,故≤ω≤. 【例5】 函数f(x)=3sin2x-在区间0,上的值域为　　　　.  [-,3] 解析 由0≤x≤,得-≤2x-,所以-≤sin2x-≤1,即-≤3sin2x-≤3,所以函数f(x)的值域为-,3. 1.函数y=cos2x+是(　　) 解析 函数y=cos2x+=-sin 2x,故为奇函数且最小正周期为=π.故选A. 2.函数y=sinx++cos-x的最大值为(　　) A.2 B. C. D.1 解析 因为cos-x=sinx+,所以y=sinx++cos-x=2sinx+,显然其最大值为2.故选A. 3.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于(　　) A. B. C.2 D.3 解析 因为ω>0,-≤x≤,所以-≤ωx≤. 由已知条件知-≤-,所以ω≥. 4.函数f(x)=-1sin x的部分图象大致形状是(　　) 5.[2021全国甲,文15]已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f=　　　　　.  - 6.已知函数f(x)=2sin+1. (1)当x=时,求f(x)的值; 解(1)当x=时,f(x)=2sin+1=2sin(3π)+1=2sin π+1=1. (2)f(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-,k∈Z或x=kπ-π,k∈Z, 即函数f(x)的零点间隔依次为. 故若y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点, 则b-a的最小值为2×+3×. 7.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点,0中心对称,且-<φ<,则函数 y=fx+为(　　) A.奇函数且在0,内单调递增 B.偶函数且在0,内单调递增 C.偶函数且在0,内单调递减 D.奇函数且在0,内单调递减 解析 因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点,0中心对称,所以+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z. 又因为-<φ<,所以φ=-,则y=fx+=cos2x+-=cos2x+ =-sin 2x,所以该函数为奇函数且在区间0,上单调递减,故选D. 8.[2021新高考Ⅰ,4]下列区间中,函数f(x)=7sinx-单调递增的区间 是(　　) A.0, B.,π C.π, D.,2π 解析 由题意知x-,k∈Z,即x∈,k∈Z.当k=0时,函数f(x)=7sin(x-)的单调递增区间为, 因为0,∈, 所以0,是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A. 9.(多选)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则(　　) A.g(x)在0,上的最小值为- B.g(x)在0,上的最小值为-1 C.g(x)在0,上的最大值为 D.g(x)在0,上的最大值为1 10.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中0<φ<2π,若f(x)≤f对x∈R恒成立,且 f>f(π),则φ等于　　　　.  解析 由f(x)≤f对x∈R恒成立可知x=是函数f(x)的对称轴,所以2×+φ=+kπ,k∈Z, 即φ=+kπ,k∈Z,由f>f(π), 得sin(π+φ)>sin(2π+φ),所以-sin φ>sin φ, 即sin φ<0, 又因为0<φ<2π,所以π<φ<2π, 所以当k=1时,φ=. 11.已知函数f(x)=asinx++a+b. 解(1)当a=-1时,f(x)=-sinx++b-1, 令2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), 所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ+,2kπ+,k∈Z. (2)因为0≤x≤π,所以≤x+,所以-≤sin(x+)≤1,依题意知a≠0. ①当a>0时,所以a=3-3,b=5. ②当a<0时,所以a=3-3,b=8. $$