习题课 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章　三角函数 习题课2　函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.能够利用五点法作出正弦函数和余弦函数的图象. 2.掌握正弦函数、余弦函数图象的变换原理,并能解决相关问题. 3.能够根据所给函数的图象求正弦函数、余弦函数的解析式. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的常用方法 1.代入法:把图象上的一个已知点代入(A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(注意交点在上升区间上还是在下降区间上). 名师点睛 1.A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半. 2.ω由周期得到:(1)函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期;(2)函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心之间的距离也是函数的半个周期;(3)一条对称轴与其相邻的一个对称中心之间的距离为函数的 个周期. 3.求φ的值时最好选用最值点求. “峰点”时ωx+φ= +2kπ,k∈Z,“谷点”时ωx+φ=- +2kπ,k∈Z. 也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点. 升零点(图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=2kπ,k∈Z; 降零点(图象下降时与x轴的交点)时,ωx+φ=π+2kπ,k∈Z. 过关自诊 如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一部分,则它的一个解析式 为(　　) D 知识点二　图象变换的两种主要途径 1.先平移后伸缩: 2.先伸缩后平移: 名师点睛 1.当φ=kπ,k∈Z时,y=sin(x+φ)是奇函数,当φ=kπ+ ,k∈Z时,y=sin(x+φ)是偶函数. 2.当φ=kπ,k∈Z时,y=cos(x+φ)是偶函数,当φ=kπ+ ,k∈Z时,y=cos(x+φ)是奇函数. 3.若函数f(x)的图象对称轴为x=a,则有f(2a-x)=f(x)成立,反之也成立. 4.求函数y=Asin(ωx+φ)的最值时,一定要弄清函数定义域,不要认为sin(ωx+φ)总是满足-1≤sin(ωx+φ)≤1. 过关自诊 D 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 【例1】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(　　) B 规律方法　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式的常用方法 (1)升降零点法,由ω= 即可求出ω;求φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ. (2)代入最值法,将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ. 变式训练1 D 探究点二　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换 【例2】 说明函数y=-2sin(2x- )+1的图象是由函数y=sin x的图象经过怎样变换得到的. 规律方法　正、余弦函数图象变换的两种方法及两个注意事项 (1)两种方法:方法一是先平移,后伸缩;方法二是先伸缩,后平移. (2)两个注意事项:①两种变换中左右平移的单位长度不同,分别是|φ|和| |,但平移方向是一致的.②虽然两种平移的单位长度不同,但平移时平移的对象也不同,所以得到的结果是一致的. B 探究点三　函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用 解 因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x), 即函数f(x)的图象关于y轴对称, 所以f(x)在x=0时取得最值,即sin φ=1或-1. 因为0≤φ≤π,所以解得φ= . 由f(x)的图象关于点M对称, 规律方法　正、余弦函数图象与性质的综合问题的求解思路 先将函数y=f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)根据图象确定函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)三角函数的图象变换及其应用; (3)三角函数的性质的综合应用. 2.方法归纳:数形结合、转化与化归、特 殊点法. 3.常见误区:(1)易弄错图象变换中的平移方向;(2)根据图象求函数解析式时容易用错关键点,尤其用代入法求φ时一定要注意检验是否合题意. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.已知将函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移 个单位长度,这样得 到的曲线和y=2sin x的图象相同,则函数y=f(x)的解析式为　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解(1)列表取值:描出五个关键点并用光滑的曲线连接,得到一个周期的简图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分自变量、函数值如下表所示,下列结论正确的是(　　) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解(1)因为A>0,所以由题意知A=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 (1)试求这条曲线的函数解析式; (2)写出函数的单调区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点-,0作为突破口.“五点法”中的ωx+φ的值具体如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0; “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=; “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π; “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=; “第五点”为ωx+φ=2π. A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 解析 由题图可知,A=,T==π, 所以ω==2,所以y=sin(2x+φ). 将点代入上式,得sin, 所以φ-+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z, 当φ=时,y=sin,故选D. y=sin x的图象y=sin(x+φ)的图象y=sin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)的图象. y=sin x的图象y=sin ωx的图象y=sin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)的图象. 将函数y=2sin2x+的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数 为(　　) A.y=2sin　 B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析 由题意得周期T=π,右移T=后得y=2sin=2sin的图象.故选D. A.f(x)=2sinx+ B.f(x)=2sinx+ C.f(x)=2sinx+ D.f(x)=2sin2x+ 解析 由题图可知,A=2,T=2×--=4π,故=4π,解得ω=.所以f(x)=2sinx+φ. 把点-,2代入可得2sin×-+φ=2, 即sinφ-=1,所以φ-=2kπ+(k∈Z), 解得φ=2kπ+(k∈Z). 又0<φ<π,所以φ=.所以f(x)=2sinx+. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则f的值为(　　) A.-　 B.-　 C.-　 D.-1 解析 由图象可得A=,最小正周期T=4×=π,则ω==2.由f=sin+φ=-,|φ|<,得φ=,则f(x)=sin2x+,所以f =sin=sin=-1. 解 (方法一　先伸缩后平移): y=sin x的图象y=-2sin x的图象y=-2sin 2x的图象 y=-2sin2x-的图象y=-2sin2x-+1的图象. (方法二　先平移后伸缩): y=sin x的图象y=-2sin x的图象y=-2sinx-的图象 y=-2sin2x-的图象y=-2sin2x-+1的图象. 变式训练2将函数y=sinx+的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式为(　　) A.y=sin2x+ B.y=sin C.y=sin D.y=sin 解析 将函数y=sinx+的图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数y=sinx++=sinx+的图象,再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=sinx+的图象,因此变换后所得图象对应的函数解析式为y=sin. 【例3】 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,求φ和ω的值. 可知sin=0,所以ω+=kπ,k∈Z, 解得ω=,k∈Z. 又f(x)在区间上是单调函数, 所以T≥π,即≥π.所以ω≤2, 又ω>0,所以当k=1时,ω=;当k=2时,ω=2. 故φ=,ω=2或. 变式训练3已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; (2)当x∈0,时,求函数f(x)的最大值和最小值. 解 (1)因为函数f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2. 又因为f(x)的图象关于直线x=对称, 所以2×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z, 又-≤φ<,所以φ=-.综上,ω=2,φ=-. (2)由(1)知f(x)=sin2x-, 当x∈0,时,2x-∈-, 所以,当2x-,即x=时,f(x)max=; 当2x-=-,即x=0时,f(x)min=-. 1.把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=sinx+的图象, 则f(x)为(　　) A.sinx+ B.sinx+ C.sinx+ D.sinx- 解析 用x-代换选项中的x,化简得到y=sinx+,就是f(x),代入选项C, 有f(x)=sinx-=sinx+. 2.设函数f(x)=sin2x+,x∈0,,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3的值为(　　) A.π B. C. D. 解析 因为f(x)=sin(2x+),x∈[0,],由2x+得x=,则x1+x2=2×;由2x+得x=,则x2+x3=2×.故x1+2x2+x3=(x1+x2)+(x2+x3) =,故选C. 3. (多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则以下关于f(x)性质的叙述正确的是(　　) A.最小正周期为π B.是偶函数 C.直线x=-是其图象的一条对称轴 D.点-,0是其图象的一个对称中心 解析 由图象可知,A=2,设函数y=f(x)的最小正周期为T,则,则T=π,ω==2,此时,f(x)=2sin(2x+φ),f=2sin+φ=2,得sin+φ=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以当k=0时,φ=-,所以f(x)=2sin2x-,A选项正确;该函数既不是奇函数,也不是偶函数,B选项错误;f-=2sin-=-2,C选项正确;f-=2sin-=-2sin =-1≠0,D选项错误. f(x)=sin(2x-) 解析 y=2sin x图象向右平移个单位长度得y=2sinx-,然后把横坐标缩短为原来的一半得y=2sin2x-, 纵坐标再缩短为原来的得f(x)=sin2x-. 5.已知函数f(x)=3sinx-,x∈R. (1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图; (2)先把函数f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数f1(x)的图象;然后把函数f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f2(x)的图象;再把函数f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式. x- 0 π 2π x f(x) 0 3 0 -3 0 (2)将f(x)=3sinx-的图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)=3sinx+-=3sinx的图象. 把f1(x)=3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)=3sinx的图象,把f2(x)=3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)得到g(x)=sinx的图象. 所以g(x)的解析式为g(x)=sinx. 6.(多选)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则(　　) A.g(x)在0,上的最小值为- B.g(x)在0,上的最小值为-1 C.g(x)在0,上的最大值为 D.g(x)在0,上的最大值为1 解析 将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数 g(x)=sin2x+, 因为x∈0,,所以≤2x+, 所以-≤sin2x+≤1, 所以g(x)max=1,g(x)min=-. A.函数的解析式为f(x)=2sin2x++1 B.函数f(x)图象的一条对称轴为x=- C.-,2是函数f(x)的一个对称中心 D.函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向下平移2个单位长度所得的函数为偶函数 x ωx+φ 0 π 2π f(x) 3 1 解析 对于A,由表格数据可得,Asin+B=A+B=3,Asin +B=-A+B=1,解得A=1,B=2,由ω+φ=ω+φ=2π,解得ω=2,φ=,所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+)+2,故选项A不正确;对于B,令2×(-)++kπ,解得k=-1∈Z,所以x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,故选项B正确;对于C, 2×(-)+=kπ,解得k=0∈Z,所以(-,2)是函数f(x)的一个对称中心,故选项C正确;对于D,函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得y=sin[2(x+)+]+2=sin(2x+π)+2=2-sin 2x,再向下平移2个单位长度得y=2-sin 2x-2=-sin 2x是奇函数,故选项D不正确.故选BC. 8.[2021全国乙,理7]把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,则f(x)=(　　) A.sin B.sinC.sin2x- D.sin2x+ 解析 逆向考虑:y=sinx-的图象y=sinx+的图象y=sin的图象. 9.已知f(x)=Asin(A>0)的最大值为6. (1)求A. (2)将函数y=f(x)的图象先向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在区间上的值域. (2)由(1)得f(x)=6sin. 将函数y=f(x)的图象先向左平移个单位长度得到 y=6sin=6sin的图象, 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=6sin的图象,因此g(x)=6sin.因为x∈, 所以4x+. 故g(x)在区间上的值域为[-3,6]. 10.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,0,若φ∈-. 解(1)依题意,A=,T=4×=4π, 因为T==4π,ω>0,所以ω=.所以y=sinx+φ. 又因为曲线上的最高点为, 所以sin+φ=1.所以φ+=2kπ+,k∈Z. 因为-<φ<,所以φ=.所以y=sinx+. (2)令2kπ-x+≤2kπ+,k∈Z, 得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为4kπ-,4kπ+(k∈Z). 令2kπ+x++2kπ,k∈Z, 所以4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为 4kπ+,4kπ+(k∈Z). $$