辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期期初考试数学模拟试题（2）

辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题(2) 高二数学 试题考查范围:必修三、必修四 试卷难度:偏难 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量满足,且,则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 2. 已知x,y为非零实数,向量,为非零向量,则“”是“存在非零实数x,y,使得”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 若复数,则复数对应的点在第( )象限 A.一 B.二 C.三 D.四 4. 已知a,b,c为三条不同的直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的有几项( ) ①若,则 ②若,则 ③若,则 ④若,则 A.1 B.2 C.3 D.4 5. 在中,角的对边分别为,若,又的面积,且,则( ) A. B. C. D. 6. 如图,棱长为1的正方体中,为线段的中点,,分别为体对角线和棱上任意一点,则的最小值为( ) A. B. C.2 D. 7. 复数是虚数单位在复平面内对应点为,设是以轴的非负半轴为始边,以所在的射线为终边的角,则,把叫做复数的三角形式,利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算,,例如:,,复数满足:,则可能取值为( ) A. B. C. D. 8. 设函数在上至少有两个不同零点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 点为所在平面内一点,则( ) A.若,则点为 的重心 B.若,则点为 的垂心 C.若.则点为 的垂心 D.在中,设,那么动点的轨迹必通过 的外心 10. 已知函数,则( ) A.若相邻两条对称轴的距离为,则 B.当的最小正周期为,时, C.当时,的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为 D.若在区间上有且仅有两个零点,则 11. 如图,ABCD是边长为5的正方形,半圆面APD⊥平面ABCD.点P为半圆弧上一动点(点P与点A,D不重合).下列说法正确的是( ) A.三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形 B.三棱锥P-ABD体积的最大值为 C.异面直线PA与BC的距离为定值 D.当直线与平面所成角最大时,平面截四棱锥外接球的截面面积为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑,简称“解放碑”,位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带,是抗战胜利的精神象征,是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图:在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为、点处测得其顶点的仰角为30 ,若米,且,则解放碑的高度_米. 13. 已知点均位于同一单位圆上,且,若,则的取值范围为 . 14. 已知函数,是一个零点,是一个对称轴,且在上单调,求 的最大值_. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 在中,角的对边分别为,已知. (1)若,求的值; (2)若是锐角三角形,求的取值范围. 16. (本小题满分15分) 在中,分别为角的对边,且有 (1)求角; (2)若的内切圆面积为,当的值最小时,求的面积. 17. (本小题满分15分) 如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,,E是的中点. (1)求证:平面平面; (2)若二面角的余弦值为,求a的值; (3)在(2)的条件下求直线与平面所成角的正弦值. 18. (本小题满分17分) 已知函数(,)的图象两邻对称轴之间的距离是,若将的图象先向右平移单位,再向上平移1个单位,所得函数为奇函数. (1)求函数的解析式; (2)若对任意,恒成立,求实数取值范围; (3)若函数的图象在区间(且)上至少含有30个零点,在所有满足条件的区间上,求的最小值. 19. (本小题满分17分) 定义函数的“源向量”为,非零向量的“伴随函数”为,其中为坐标原点. (1)若向量的“伴随函数”为,求在的值域; (2)若函数的“源向量”为,且以为圆心､为半径的圆内切于正(顶点恰好在轴的正半轴上),求证:为定值; (3)在中,角的对边分别为,若函数的“源向量”为,且已知,求的取值范围. 高二数学试卷 第 5 页(共 4 页) 高二数学试卷 第 6 页(共 4 页) 学科网(北京)股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题（2） 高二数学 参考答案 试题考查范围：必修三、必修四 试卷难度：偏难 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A B C C D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AD ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．9 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）； （2）． 16．（1）； （2）． 17．（1）证明见解析； （2） 2；   （3）． 18．（1）； （2）； （3） 19．（1）； （2）45（证明见解析）； （3） 高二数学试卷答案 第 1 页 （共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中2024-2025学年度上学期期初考试模拟试题（2） 高二数学（教师版） 试题考查范围：必修三、必修四 试卷难度：偏难 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据数量积相关运算，，与同向的单位向量为，进而转化求解即可. 【详解】解：因为，且，所以， 即，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 2． 已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简得到得到，共线且方向相同，存在非零实数x，y，使得得到，共线，得到答案. 【详解】，故，整理得到，即， 故，共线且方向相同， 存在非零实数x，y，使得，故，共线， 即“”是“存在非零实数x，y，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3． 若复数，则复数对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】根据周期性得到,得到答案. 【详解】， 故复数z对应的点在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4． 已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的有几项（    ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用线面平行判定定理和性质定理，结合直线平行的传递性可判断A；由线面垂直判定定理可判断B；由面面平行的判定定理可判断C；根据面面垂直性质定理可判断D. 【详解】对于①，因为，所以，又，，所以，所以，①正确； 对于②，当时，直线不一定垂直于，②错误； 对于③，由面面平行的判定定理可知，③正确； 对于④，由面面垂直性质定理可知，若直线时，直线不一定垂直于，④错误. 故选：B 5． 在中，角的对边分别为，若，又的面积，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则， 即，即，即； 又，得；综上.则，即. 由，平方知， 故选． 6． 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】转化，利用三点共线来求得的最小值. 【详解】设是的中点， ，所以， 所以. 对任一点，的最小值是到直线的距离， 过作，交于， 过作，交于，连接， 由于，所以平面，所以， 由于，所以平面，所以， 则，所以. ， ， 所以， 当三点共线，也即是的中点，是与的交点时， 取得最小值为，所以的最小值为. 故选：C 7． 复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式. 8． 设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令得，并得到，从小到大将的正根写出，因为，所以，从而分情况，得到不等式，求出答案. 【详解】令得， 因为，所以， 令，解得或， 从小到大将的正根写出如下： ，，，，，……， 因为，所以， 当，即时，，解得， 此时无解， 当，即时，，解得，此时无解， 当，即时，，解得， 故， 当，即时，，解得， 故， 当时，，此时在上至少有两个不同零点， 综上，的取值范围是. 故选：A 【点睛】方法点睛:在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 点为所在平面内一点，则（   ） A．若，则点为△的重心 B．若，则点为△的垂心 C．若．则点为△的垂心 D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心 【答案】AD 【分析】根据三角形四心的定义，结合向量数量积的几何意义，对题目中的四个选项逐一进行运算判断，判断出点在△中的特殊位置，即可得到答案． 【详解】A．由于，其中为的中点，可知为边上中线的三等分点（靠近线段），故为△的重心；选项A正确. B．向量，，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为△的内心；选项B错误. C．是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故为△的外心．选项C错误. 对于D，设是的中点，， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过△的外心.选项D正确. 故选：AD. 10． 已知函数，则（    ） A．若相邻两条对称轴的距离为，则 B．当的最小正周期为，时， C．当时，的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为 D．若在区间上有且仅有两个零点，则 【答案】ACD 【分析】先对原函数化简；对于A，直接求出即可；对于B，求出在指定区间的最值，判断即可；对于C，直接求出平移后的函数解析式即可；对于D，由整体法直接求出的取值范围即可. 【详解】由题意知：， 对于A，，所以，所以，故A正确； 对于B，由，所以，由，， 所以当时，即时，， 当，即时，， 故B错误； 对于C，当时， 的图象向右平移个单位长度， 得到函数解析式为，故C正确； 对于D，若在区间上有且仅有两个零点，则， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 11． 如图，ABCD是边长为5的正方形，半圆面APD⊥平面ABCD．点P为半圆弧上一动点（点P与点A，D不重合）．下列说法正确的是（    ） A．三棱锥P－ABD的四个面都是直角三角形 B．三棱锥P－ABD体积的最大值为 C．异面直线PA与BC的距离为定值 D．当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为    【答案】AC 【分析】利用面面垂直和线面垂直的性质可得，由平面几何知识可证明，，，由此可判断选项A； 当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积取得最大值，求解即可判断选项B； 证明为异面直线与的距离，即可判断选项C； 过点作于点，连接，确定为直线与平面所成的角，利用平面几何知识，表示出，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．由题意可得正方形的中心即为四棱锥的外接球的球心，可得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】对于A选项，因为底面为边长是4的正方形，则， 又半圆平面，半圆平面，平面， 则半圆， 又平面， 故， 则为直角三角形， 所以， 因为是圆的直径， 则， 故为直角三角形， 所以， 因为， 则是直角三角形， 所以， 在中，， 则， 所以为直角三角形， 故三棱锥的每个侧面三角形都是直角三角形， 故选项A正确； 对于B选项，在三棱锥中，半圆面， 则是三棱锥的高， 当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积取得最大值， 三棱锥的体积取得最大值为， 故选项B错误； 因为半圆面平面，，半圆面平面， 所以半圆面，又半圆面，所以，又， 所以为异面直线与的距离，所以异面直线与的距离为定值；故C正确； 对于D选项，取的中点，由选项A中的解析可得，， 所以点为四棱锥外接球的球心，    过点作于点，连接，如图所示，      因为半圆面平面，半圆面平面， 故平面， 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角， 设，则，， 在中，， ， 所以， 故， 令，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 则， 所以直线与平面所成最大角的正弦值为， 则， 所以球心到面的距离满足， 设截面半径为，则有，所以截面面积为，故D错误； 故选：AC． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体外接球的理解与应用，空间角、空间几何体的体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于难题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为、点处测得其顶点的仰角为30°，若米，且，则解放碑的高度__________米． 【答案】 【解析】设，则 在中：，则 得到米， 故答案为． 13． 已知点均位于同一单位圆上,且,若,则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，则，即，所以.因为点均位于圆上,所以为直径.又，所以 ，则,所以点在圆心为、半径为的圆上. ，所以当与同向时，取最大值；当与反向时,取最小值，所以的取值范围为， 故答案为． 14． 已知函数，是一个零点，是一个对称轴，且在上单调，求ω的最大值______． 【答案】9 【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴， ∴，即，（n∈N） 即ω＝2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（，）上单调，则， 即T，解得：ω≤12， 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z， ∵|φ|， ∴φ， 此时f（x）在（，）单调，满足题意； 故ω的最大值为9． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分13分） 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的值； （2）若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题意利用余弦定理即可求解. （2）先利用余弦定理、正弦定理、两角和差公式得，再把化简到同一个角的三角函数，最后利用正弦函数的单调性确定取值范围. 【详解】（1）在中，，据余弦定理可得， 又，故，即， 又，故，得. （2）在中，据余弦定理可得， 又，故，即， 又，故. 据正弦定理，可得， 所以， 即， 所以，， 因为，所以，或， 即或（舍）. 所以. 因为是锐角三角形，所以得， 所以，故， ，所以的取值范围是． 16． （本小题满分15分） 在中，分别为角的对边，且有 （1）求角； （2）若的内切圆面积为，当的值最小时，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为，从而求得；结合可求得结果；（2）根据内切圆面积可知内切圆半径为，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到，代入余弦定理中可得到与的关系，利用基本不等式可构造不等式求得，从而得到当时，取得最小值，将代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（1）               （2）由余弦定理得： 由题意可知：的内切圆半径为 如图，设圆为三角形的内切圆，，为切点 可得：，     ， 化简得（当且仅当时取等号） 或 又    ，即， 当且仅当时，的最小值为 此时三角形的面积： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到利用两角和差余弦公式化简求值、根据三角函数值求角、余弦定理的应用、三角形中最值问题的求解等知识；解题关键是能够灵活应用三角形内切圆的性质构造出三边之间的关系，代入余弦定理中，利用基本不等式求得两边之积的最值. 17． （本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，底面，，E是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求a的值； （3）在（2）的条件下求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析      （2） 2       （3） 【分析】（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论； （2）以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量方法，由二面角的余弦值为建立方程求得的值. （3）在（2）条件下利用向量求得和平面所成角的正弦值. 【详解】（1） 平面平面 因为,所以 取的中点为，则可得,则 所以,所以, 所以,又，所以平面. 因为平面，所以平面平面． （2）以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则.设，则 设为面法向量．则 即，取， 设为面的法向量，则， 即，取，则 依题意，则． （3）由（2）可得． 设直线与平面所成角为，则 即直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取 1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内. 2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标. 3、求：求出所需平面的法向量 4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值 5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案. 18． （本小题满分17分） 已知函数（，）的图象两邻对称轴之间的距离是，若将的图象先向右平移单位，再向上平移1个单位，所得函数为奇函数. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数取值范围； （3）若函数的图象在区间（且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 由,得，则, 则奇函数，所以，又，则， 故．*（4分） 【小问2详解】 由于，则，， 故, 而恒成立,即， 整理可得，令， 设，设且， 则， 由于，则， 即在上递增，故， 故，即m取值范围是． *（9分） 【小问3详解】 由题意知， 由得, 故或, 求得或， 故函数的零点为或, ∴相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则a和b都是零点，此时在区间分别恰有个零点， 所以在区间是恰有29个零点，从而在区间上至少有一个零点， ∴， 另一方面，在区间上恰有30个零点， 因此的最小值为．*（17分） 19． （本小题满分17分） 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点. （1）若向量的“伴随函数”为，求在的值域； （2）若函数的“源向量”为，且以为圆心､为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； （3）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）45（证明见解析）； （3） 【解析】 （1）函数的“源向量”为，所以，，则，则当时， 则当时，，所以函数的值域为 （2）法（一） 则的源向量为，圆内切于正， 则，又因为，所以 法（二）因为，则，则，又） 且，从而，，， 则 （3）函数的“源向量”为，则，则 则 则又，即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述：，换元令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围. 法（二）： （为的中点）， 且，所以，外接圆 从而 其中，且，并且 当接近时：接近0，当时，，综上所述 从而， 即的取值范围. 另解求的取值范围：外接圆 所以，记 在中：， 其中，即，所以. 高二数学试卷 答案与解析 第 1 页（共 14 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$宁省善通高中024-2025学年上学期期韧考试操根试盟《2) ■ ■ ■ ■ 高二数学泥卡 请在各题日的者股区城内作著，因出边魔的若案人效 请在各想日的苦是区城内件若，趋出边粗的苦离无发 性 西。解著题《共7分》 16.《本小是满分5分》 海顶家集 5惠小题满种口分】 条形码粘贴处 团 中书中弹物号一 年神海佛中带年有有向单每单年中运 为时钟年中布：48特一84一钟的中年中5，转线 时条球+华B4ea国与线 第一园分遗择里（其58分） 项角国销某值油 ■■■■=■■■=■■■■■ 13411海调1 卡快1行#1 表1肉1Li)8 144411614b1 年快11s0 141e4010 11*1i41tt4e 4.44g41 44a11卡1tD ■■■■■■■■ 第二部分非透掉面 第用得和男色字进等平笔书写) 三.填空夏《每小赠5分，共5分》 12 此区域内禁止答题 适在各题日的苦整区城内作茶。越出造有的答真效 请在各蜡日的溶区城内作著、吊出边机的馨案无效 库在备酸日的答能区域内作苦错出道和的活黄无数 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 圆 ■ ■ ■ 请在各鞋甘的舌髓区徒内作若，植出洁和的苦来无效 清在吉最日的苦差区城内作苦，超出造座的苦来无效 满在岳碰目的苦提丝域内作苦。相出结可的苦我无效 1?(小本题端分5分) 保本个垂满分17分) 从（本小里满分17分） ■ 讲在券是日的溶题区城内作物、5出边知的行溶数无鲨 请在各酒日活登区城内作苦，超出边烧的苦案无效 通在各题日的苦罐区铺内件若，娃二达朝物活真无胶 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■