第二十四章圆单元复习题2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上册人教版 圆单元复习 类型之一　垂径定理及其推论 1.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA长为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为(　　) 图1 A. B. C. D. 2.已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8 cm,则AC的长为 (　　) A.2 cm B.4 cm C.2 cm或4 cm D.2或4 cm 3.如图2,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. 图2 类型之二　圆心角与圆周角 4.[内江] 如图3,点A,B,C,D在☉O上,∠AOC=120°,B是的中点,则∠D的度数是(　　) 图3 A.30° B.40° C.50° D.60° 5.[台州] 如图4,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为　　　　.  图4 6.如图5,在☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC. 求证:(1)=; (2)AE=CE. 图5 7.如图6所示,C为半圆上一点,=,过点C作直径AB的垂线CP,P为垂足,弦AE交CP于点D.求证:AD=CD. 　图6 类型之三　与圆有关的计算 8.如图7,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB',则点A运动的路径的长为 (　　) 图7 A.π B.2π C.4π D.8π 9.[德州] 若一个圆锥的底面半径是2 cm,母线长是6 cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角是　　　　度.  10.[柳州] 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片,则这个正方形纸片的边长应为　　　　.  类型之四　点、直线与圆的位置关系 11.已知☉O的半径为4 cm,A为线段OP的中点,当OP=7 cm时,点A与☉O的位置关系是 (　　) A.点A在☉O内 B.点A在☉O上 C.点A在☉O外 D.不能确定 12.设☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离OP=m,且m使得关于x的方程2x2-2x+m-1=0有实数根,则直线l与☉O的位置关系是 (　　) A.相离或相切 B.相切或相交 C.相离或相交 D.无法确定 类型之五　切线的判定与性质 13.如图8,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆经过点D,交BC于点E. (1)求证:AC是☉O的切线; (2)若OB=10,CD=8,求BE的长. 图8 14.[安徽] 如图9,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F,BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E. (1)求证:△CBA≌△DAB; (2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB. 图9 类型之六　数学活动 15.如图10,已知☉O的直径AB=12 cm,AC是☉O的弦,过点C作☉O的切线交BA的延长线于点P,连接BC. (1)求证:∠PCA=∠B; (2)已知∠P=40°,点Q在优弧上,从点A开始按逆时针方向运动到点C停止(点Q与点C不重合),当△ABQ与△ABC的面积相等时,求动点Q所经过的弧长. 图10 详解 1．C　[解析] 如图，过点C作CM⊥AD，垂足为M，则AM＝MD. ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5.∵AC·BC＝AB·CM，∴CM＝.∵AC＝3，在Rt△ACM中，利用勾股定理可求得AM＝.∵AM＝MD，∴AD＝.故选C. 2．C　[解析] 连接AC，AO， ∵⊙O的直径CD＝10 cm，∴OA＝OD＝OC＝5 cm.∵AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm)． 当点C的位置如图①所示时，OM＝＝＝3(cm)， ∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)， ∴AC＝＝＝4 (cm)； 当点C的位置如图②所示时，同理得OM＝3 cm. ∵OC＝5 cm，∴MC＝OC－OM＝5－3＝2(cm)． 在Rt△AMC中，AC＝＝＝2 (cm)．故选C. 3．解：(1)如图所示： 　　　 (2)连接OE交BC于点F，连接OC，CE，如图． 由(1)得∠BAE＝∠CAE， ∴＝，∴OE⊥BC. ∵EF＝3，OE＝5， ∴OF＝2. 在Rt△OCF中，CF＝＝＝. 在Rt△ECF中，CE＝＝＝. 4．A 5．52°　[解析] ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵∠ABC＝64°， ∴∠ADC＝116°. ∵点D关于AC的对称点是点E， ∴∠ADC＝∠AEC＝116°. 又∵∠AEC＝∠ABC＋∠BAE， ∴∠BAE＝52°. 6．证明：(1)如图，连接AO，BO，CO，DO. ∵AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOD＝∠BOC， ∴＝. (2)∵＝， ∴AD＝BC. 又∵∠ADC＝∠ABC，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE≌△CBE， ∴AE＝CE. 7．证明：如图，连接AC. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠DCB＝90°. ∵CP⊥AB于点P， ∴∠B＋∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝∠B. ∵＝，∴∠B＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD. 8．B　[解析] ∵△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′， ∴∠AOA′＝90°， ∴点A运动的路径的长为＝2π. 9．120 10．5 　[解析] 先根据题意画出图形，再连接OB，OC，过点O作OE⊥BC，如图．设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE＝BE＝，再由勾股定理求得a＝5 . 11．A 12．B　[解析] 因为方程有实数根，所以Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×2(m－1)≥0，解得m≤2，所以直线l与⊙O相切或相交． 13．解：(1)证明：连接OD，如图所示． ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2. ∵OB，OD均为⊙O的半径， ∴OB＝OD， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴OD∥BC， ∴∠ODA＝∠C＝90°， 即OD⊥AC. 又∵OD是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． (2)过圆心O作OF⊥BE于点F，如图所示， 则∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°， ∴四边形ODCF是矩形，∴OF＝CD＝8. 在Rt△BOF中，OB＝10，OF＝8， 根据勾股定理可得OB2＝BF2＋OF2， 即102＝BF2＋82，解得BF＝6(负值不合题意，舍去)． 由垂径定理可知F为BE的中点， ∴BE＝2BF＝12. 14．证明：(1)∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝∠BDA＝90°. 在Rt△CBA与Rt△DAB中， ∴Rt△CBA≌Rt△DAB. (2)方法一：∵BE＝BF，又由(1)知BC⊥EF，∴BC平分∠EBF. ∵AB为半圆O的直径，BE为切线， ∴BE⊥AB，即∠ABE＝90°， ∴∠DAC＝∠DBC＝∠CBE＝90°－∠E＝∠CAB， ∴AC平分∠DAB. 方法二：∵BE＝BF，∴∠E＝∠BFE. ∵AB为半圆O的直径，BE为切线， ∴BE⊥AB， ∴∠CAB＝90°－∠E＝90°－∠BFE＝90°－∠AFD＝∠CAD，∴AC平分∠DAB. 15．解：(1)证明：如图，连接OC. ∵PC是⊙O的切线，OC为半径， ∴∠PCO＝90°， ∴∠PCA＋∠OCA＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OCB＋∠OCA＝90°，∴∠OCB＝∠PCA. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠PCA＝∠B. (2)如图，∵∠P＝40°，∴∠COP＝50°. ∵△ABQ与△ABC的面积相等， ∴∠AOQ1＝50°， ∴动点Q所经过的弧长＝＝π(cm)； 或者∠AOQ2＝130°，∴动点Q所经过的弧长＝＝π(cm)； 或者∠BOQ3＝50°，∴动点Q所经过的弧长＝＝π(cm)． ∴动点Q所经过的弧长是π cm或π cm或π cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$