5.2.2 复数的乘法与除法、5.2.3 复数乘法几何意义初探课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第五章　复数 2.2　复数的乘法与除法 2.3　复数乘法几何意义初探 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.掌握复数的乘法与除法,能够进行复数的乘、除运算. 2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算. 3.能在复数范围内解有关方程问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　复数的乘法及其运算律 1.定义复数的乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数的乘法满足结合律、交换律及乘法对加法的分配律,即对任意z1,z2,z3∈C,有 (1)结合律:(z1·z2)·z3=　　　　;   　　　注意与向量的数量积进行区分 (2)交换律:z1·z2=　　　　;  (3)乘法对加法的分配律:z1·(z2+z3)=　　　　+　　　　.  3.互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数(或其共轭复数)模的平方.即若z=a+bi(a,b∈R),则z· =|z|2=| |2=a2+b2. z1·(z2·z3) z2·z1 z1·z2 z1·z3 名师点睛 1.对复数乘法的三点说明 (1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1). (2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用. (3)常用结论:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2 (a,b∈R);③(1±i)2=±2i. 2.共轭复数的性质 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个复数的积仍是复数.(　　) (2)实数a=0是复数(a+i)(1-i)(a∈R)的实部与虚部相等的充要条件.(　　) 2.[人教A版教材习题]在复数范围内解方程9x2+16=0. √ √ × 知识点二　复数范围内一元二次方程的解法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0,b2-4ac<0)在复数范围内的根 当a,b,c∈R且a≠0,Δ=b2-4ac<0时,有一对虚根 名师点睛 复数集内一元二次方程的解法 类型 实系数一元二次方程 复系数一元二次方程 Δ的作用 可以用来判断根的情况 不能用来判断根的情况 求根公式 适用 适用 韦达定理 适用 适用 过关自诊 [人教A版教材习题]已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值. 解 因为2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根, 所以2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0, 整理得(10-3p+q)+(2p-24)i=0. 知识点三　复数的除法 给定复数z2,若存在复数z,使得z2·z=1,则称z是z2的倒数,记作z=　　　.  　z=0时没有倒数 名师点睛 复数除法的运算要领是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母成为一个实数,这与作根式除法时的分母“有理化”的处理类似,呈现形式如下: 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个复数的商仍是复数.(　　) (2)两个复数进行除法运算,分母不能为0.(　　) √ √ D B 知识点四　in的周期性 对于复数z,定义它的乘方zn= ,根据乘法的运算律,实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和正整数m,n,有zm·zn=　　　　,(zm)n=　　　　,(z1·z2)n=　　　　.  一般地,对任意自然数n,有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. zm+n　 zmn　 名师点睛 关于复数周期运算的常见结论 过关自诊 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)i4=1.(　　) (2)i4n-1=i.(　　) (3)i2n=-1.(　　) √ × × *知识点五　复数乘法几何意义初探 重难探究·能力素养全提升 探究点一　复数的乘法与除法运算 【例1】 计算下列各题: (1)(1-2i)(3+6i); (2)(5-2i)2; 解 (1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15; (2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i; 规律方法　1.复数乘法运算的技巧 (1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项. (2)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致. (3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等. (4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式 =zmn(m,n∈Z)进行转化 求解. 2.复数除法运算的技巧 (1)根据复数的除法,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. (2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式. 变式训练1计算下列各题: (1)(1+i)(1-i)+(-1+i); 解 (1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i. 探究点二　i的乘方的周期性及应用 【例2】 (1)i为虚数单位,i607的共轭复数为(　　) A.i B.-i C.1 D.-1 A 解析 因为i607=i4×151+3=i3=-i, 所以其共轭复数为i.故选A. (2)计算i1+i2+i3+…+i2 023+i2 024=　 .  解析 因为i1+i2+i3+i4=0,所以i1+i2+i3+…+i2 023+i2 024 =(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 017+i2 018+i2 019+i2 020)+(i2 021+i2 022+i2 023 +i2 024)=0. 0 变式探究若将(2)中的i全部变为 ,其结果如何? 规律方法　虚数单位i的周期性 (1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+),n也可以推广到整数集. (2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+). 探究点三　与复数有关的方程问题 【例3】 求解下列问题: (1)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,求a+b的值; (2)已知关于x的方程x2+kx+k2-2k=0有一个模为1的虚根,求实数k的值. 解 (1)当a=0时,解得b∉R,不符合题意,所以原方程为一元二次方程. 因为实系数的一元二次方程虚根成对(互为共轭复数), 所以1±i为方程的两个根, 规律方法　实系数一元二次方程的虚根是成对出现的,即若复数a+bi(a,b∈R,b≠0)是实系数一元二次方程的根,则其共轭复数a-bi是该方程的另一根. 变式训练2已知关于x的一元二次方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实根b,求实数a,b的值. 探究点四　复数乘法几何意义初探 变式探究若将z3后面表达式中的3变为4,其结果如何? 规律方法　求解此类题目关键是要理解所求复数表示的向量是如何由已知复数所表示的向量旋转得到的,可利用数形结合的方法,将已知或所求复数所表示的向量在复平面内表示出来,可直观地观察旋转的角度. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)复数的乘法及运算律; (2)复数的除法运算; (3)在复数范围内解方程; (4)i的运算性质. 2.方法归纳:分母“实数化”、配方法、求根公式法. 3.常见误区:分母“实数化”时忽视i2=-1造成运算错误. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 1.复数(1+2i)(2-3i)的共轭复数是(　　) A.8-i B.8+i C.-8-i D.-8+i A 解析 根据复数的运算法则,可得(1+2i)(2-3i)=2-3i+4i-6i2=8+i,所以其共轭复数是8-i.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(1+i)20-(1-i)20的值是(　　) A.-1 024 B.1 024 C.0 D.512 C 解析 ∵(1+i)2=2i,∴(1+i)4=-4.∵(1-i)2=-2i, ∴(1-i)4=-4,∴(1+i)20-(1-i)20=(-4)5-(-4)5=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为 ,则(　　) A.|z|= B.z的实部是2 C.z的虚部是1 D.复数 在复平面内对应的点在第一象限 ABD z的实部为2,故B正确; z的虚部是-1,故C错误; 复数 在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.设复数 ,其中i为虚数单位,则1+ω+ω2+ω3=　　　　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　,ab=　　　.  5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.若z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,其中a∈R,则 等于　　　　　.  i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.复数 ,则1+z+z2=　　　　　.  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.若z是关于x的方程2x2+mx+3-m2=0(m∈R)的一个虚根,则|z|的取值范围是　　　　　.  C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设z=a+bi(a,b∈R),则(1)z+=2a,z-=2bi;(2)z=⇔z∈R;(3). (3)若z1,z2∈C,且=0,则z1=z2=0.(　　) 解方程化为x2=-,因为=-, 所以方程9x2+16=0的根为x=±i. x1=,x2=,x1+x2=-,x1x2=. 则解得 z2=c+di的倒数i,这里要求c,d不能同时为0,即z2≠0. 　利用能迅速将分母实数化 对任意的复数z1=a+bi(a,b∈R)和非零复数z2=c+di(c,d∈R),规定复数的除法=z1·,即除以一个复数,等于乘这个复数的倒数.因此 =(a+bi)·(i)=i. 2.已知z=,则z+=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. B.1 C. D.3 解析 ∵z=i, ∴z+i+i=3.故选D. 3.=(　　) A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i 解析 =-1+i. (1)=-i,=i;(2)=-i. 设复数z1=a+bi(a,b∈R)所对应的向量为. 若z2=(a+bi)·c(c>0)所对应的向量为,则与c的数乘,即是将沿原方向伸长(c>1)或压缩(0<c<1)c倍得到的. z3=(a+bi)·i所对应的向量为,则是将逆时针旋转得到的. 过关自诊 在复平面内,复数z1=a+bi,z2=z1·(3i),z3=z1·(3i)2(a,b∈R),它们对应的向量分别为,如何直观地理解之间的位置关系呢? 解 是将沿原方向伸长3倍且逆时针旋转得到的;是将沿原方向伸长9倍且逆时针旋转π得到的. (3). (3)=-i. (2); (3)(1+i)3. (2)i. (3)(1+i)3=(1+i)2(1+i)=(-2+2i)·(1+i)=-2-6=-8. 解 因为=i, 所以+()2+()3+…+()2 023+ =i1+i2+i3+…+i2 023+i2 024=0. 所以 所以 故a+b=-1. (2)由题意得Δ=k2-4(k2-2k)=-3k2+8k<0⇒k<0或k>.设两个根为z1,z2,则z2=,|z2|=|z1|=1, 所以z1·z2=k2-2k=1,解得k1=1-,k2=1+, 所以k=1-. 解 因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根, 所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故 解得a=b=3. 【例4】 在复平面内,复数z1=a+bi,z2=z1·(),z3=z1·(2i)3(a,b∈R),它们对应的向量分别为,如何直观地理解之间的位置关系呢? 解 是将沿原方向压缩倍且逆时针旋转得到的; 因为z3=z1·(2i)3=-8iz1,所以是将沿原方向伸长8倍且逆时针旋转得到的. 解 因为z3=z1·(2i)4=16z1,所以是将沿原方向伸长16倍得到的. 2.设a是实数,且是实数,则a的值为(　　) A. B.1 C. D.2 解析 ∵i,()∈R,∴=0,解得a=1. 4.(多选)设i是虚数单位,若复数a2-(a∈R)是纯虚数,则a的值可能为(　　) A. B.- C.3 D.-3 解析 因为a2-=a2-=a2-(3+i)=a2-3-i,故由题设a2-3=0,解得a=±.故选AB. 解析 由(1+i)z=3+i,得z==2-i,∴|z|=,故A正确; ω=-i 解析 因为ω=-i,所以ω2=-i,ω3=-i-i=1, 则1+ω+ω2+ω3=1-i-i+1=1. 解析 由已知(a+bi)2=3+4i, 即a2-b2+2abi=3+4i. 从而有解得 则a2+b2=5,ab=2. 8.设复数z=i,其中i是虚数单位,是z的共轭复数,下列判断中错误的是(　　) A.z =1 B.z2= C.z是方程x2-x+1=0的一个根 D.满足zn∈R的最小正整数n为3 解析 ∵z=i,∴z2=i2=-i,i, z3=z2·z=-ii=-1. 对于A,z·=ii=1,故A正确; 对于B,z2=-,故B错误; 对于C,i2-i+1=-i-i+1=0,则z是方程x2-x+1=0的一个根,故C正确; 对于D,z=i,z2=-i,z3=-1,故D正确.故选B. 解析 因为z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,所以a2-1=0,且a-1≠0,解得a=-1,因此=i. z=- 解析 z=-=-= -i. ∴1+z+z2=1-i+=1-i+=0. 11.在复平面内,复数z1=a+bi,z2=z1·,z3=z1·(i2 025)(a,b∈R),它们对应的向量分别为,如何直观地理解之间的位置关系呢? 解因为z2=z1·=z1·, 所以是将沿原方向压缩倍得到的; 因为z3=z1·(i2 025)=z1·i, 所以是将逆时针旋转得到的. (]　 解析 因为z是关于x的方程2x2+mx+3-m2=0(m∈R)的一个虚根,所以=a-bi为方程的另一个根,Δ<0, 即m2-8(3-m2)<0,得0≤m2<, 因为z=a+bi,=a-bi是方程2x2+mx+3-m2=0的两个根,所以z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=,所以|z|=. 因为0≤m2<,所以,所以,即, 所以|z|的取值范围为. $$