5.1.2 复数的几何意义 课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第五章　复数 1.2　复数的几何意义 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.了解复平面的概念. 2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 3.掌握复数模的概念,会求复数的模. 4.掌握共轭复数的概念及几何意义. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　复平面 如图,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可以用点Z(a,b)表示.这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为　　　　,y轴称为　　　　.显然,实轴上的点都表示实数;除了_______　　　　外,虚轴上的点都表示纯虚数.  实轴 虚轴 原点 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)实轴上的点表示实数.(　　) (2)虚轴上的点表示虚数.(　　) (3)复数在复平面中对应点的纵坐标为复数的实部.(　　) 2.虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗? √ × × 提示 不是. 知识点二　复数的几何意义 1.复数与点的对应 复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,即 复数z=a+bi 　 　复平面内的点Z(a,b). 2.复数与向量的对应 如图,复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量 =(a,b)也是一一对应的, 即复数z=a+bi　 　 平面向量 . 只有向量的起点在原点时才有这种一一对应关系 名师点睛 1.复数的实质是有序实数对. 2.根据复数与复平面内的点一一对应,复数与平面向量一一对应,可知复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量 之间的关系可用图表示. 过关自诊 [人教A版教材习题]在复平面内,O是原点,向量 对应的复数是2+i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量 对应的复数; (2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数. (2)点B(2,-1)关于虚轴的对称点C的坐标为(-2,-1),则点C对应的复数是-2-i. (1)点A(2,1)关于实轴的对称点B的坐标为(2,-1),则向量 对应的复数为2-i. 知识点三　复数的模 定义:向量 的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|. 由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|= 　　　　　.  如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模 =|a|(a的绝对值). 虽然两个复数一般不能比较大小,但它们的模是非负实数,可以比较大小. 名师点睛 1.模的几何意义:复数模的几何意义就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离,也就是向量 的模,即|z|=| |. 2.两个复数相等,其模必相等;但模相等的两个复数未必相等. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)复数的模一定是正实数.(　　) (2)若z1=z2,则|z1|=|z2|.(　　) (3)若z1>z2,则|z1|>|z2|.(　　) (4)若|z1|=|z2|,则z1=z2.(　　) 2.[人教A版教材习题]求复数z1=3+4i及 的模,并比较它们的模的大小. × √ × × 知识点四　共轭复数 若两个复数的实部　　　　,而虚部互为　　　　　　,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用 表示.当z=a+bi(a,b∈R)时, =a-bi.显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等.另外,当复数z=a+bi的虚部b=0 时,有 =z.也就是说,任意一个实数的共轭复数仍是它本身,反之亦然. 相等　 相反数 名师点睛 1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d. 2.共轭复数的特点 (1)在复平面内,表示两个共轭复数的点到坐标原点的距离相等. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等.(　　) (2)在复平面内,表示共轭复数的点关于虚轴对称.(　　) 2.(2023北京东城)在复平面内,复数z对应的点Z如图所示,则z的共轭复数 =(　　)  A.1+2i　 B.1-2i C.2+i D.2-i √ × 解析 由题图可知,z=2+i,故 =2-i. D 重难探究·能力素养全提升 探究点一　复数与点的对应关系 【例1】 求实数a分别取何值时,复数 对应的点Z满足下列条件: (1)在复平面的第二象限内. (2)在复平面内的实轴上方. 变式探究(1)本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在实轴上时,实数a的值. 解 因为点Z在实轴上, 所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5. 故当a=5时,点Z在实轴上. (2)本例中条件不变,如果点Z在直线x+y+7=0上,求实数a的值. 规律方法　利用复数与点的对应关系的解题步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 探究点二　复数与复平面内向量的对应 【例2】 在复平面上,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点. (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 规律方法　 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量 =(a,b). 2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得. 3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对应的复数改变. 变式训练1四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i. (1)求点D对应的复数; (2)求△ABC的边BC上的高. 解 (1)复平面内A,B,C对应点的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1).设点D的坐标为(x,y), 即x-1=2,y-3=2,解得x=3,y=5, 故点D(3,5),其对应的复数为3+5i. (2)因为B(0,-1),C(2,1), 所以直线BC的方程为x-y-1=0, 探究点三　复数的模及其应用 角度1.复数的模的几何意义 【例3】 设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)|z|=2; (2)1≤|z|≤2. 解 (1)(方法一)|z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆. (方法二)设z=a+bi(a,b∈R),由|z|=2,得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆. 不等式|z|≤2的解集对应圆|z|=2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|≥1的解集对应圆|z|=1及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集,对应满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界. 规律方法　解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离. 变式训练2若复数z满足|z|≤ ,则z在复平面所对应的图形的面积为　 .  2π　 角度2.复数的模的计算 【例4】 (1)已知复数z1=6-5i,z2=-2+3i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=(　　) A A.|z1|>|z2| B.|z1|<|z2| C.|z1|=|z2| D.不能确定 A 规律方法　1.在计算与模有关的问题时,首先分清复数的实部与虚部,若给出的复数不是标准形式,要先化为标准形式再利用公式 求解. 2.复数z=a+bi(a,b∈R)的模对应的点的集合是以原点为圆心, 为半径的圆. 变式训练3(1)复数z1=a+2i,z2=-2+i,若|z1|<|z2|,那么实数a的取值范围是　　　　　.  (-1,1) (2)已知复数z=3+ai,且|z|<4,则实数a的取值范围为　　　　　.  (方法二)利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内(不包括边界). 由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合, 探究点四　共轭复数及其应用 【例5】 设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析 由z=-3+2i,得 =-3-2i,则在复平面内 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 规律方法　本节内容对共轭复数的要求有两点:一是会利用定义写出已知复数的共轭复数;二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系. 变式训练4已知i是虚数单位,复数z=1+i,则 的实部与虚部之和为(　　) A.1 B.0 C.-2 D.2 B 解析 =1-i,实部为1,虚部为-1, 所以实部与虚部之和为1+(-1)=0. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系; (2)复数的模及几何意义; (3)共轭复数. 2.方法归纳:待定系数法、数形结合. 3.常见误区:虚数不能比较大小,虚数的模可以比较大小. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.(多选)给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的是(　　) A.(3,1) B.(-2,0) C.(0,4) D.(-1,-5) ACD 解析 易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的点对应的复数为虚数,B中的点对应的复数为实数.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的集合对应的图形为(　) A.一个圆 B.一条线段 C.两点 D.两个圆 A 解析 ∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0, ∴|z|=3,∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心,3为半径的一个圆. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.已知a∈R,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则复数a-i在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 ∵复数z=(a2-1)+(a+1)i是纯虚数, ∴a2-1=0,且a+1≠0,故a=1. 故复数a-i=1-i,在复平面内对应的点(1,-1)所在的象限为第四象限. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.已知0<a<3,复数z的实部为a,虚部为2,则|z|的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -6-8i -6+8i　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,则下列说法正确的是(　　) A.z不可能为纯虚数 B.若z的共轭复数为 ,且z= ,则z是实数 C.若z=|z|,则z是实数 D.|z|可以等于 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.定义:复数b+ai是复数a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是　　　　　.  -2+i　 解析 由a+2i=1-bi,得a=1,b=-2,所以复数z=a+bi=1-2i,故复数z=1-2i的转置复数是-2+i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.[2023陕西宝鸡金台期中]已知m∈R,i是虚数单位,复数z=m2+m-2+(m2-1)i. (1)若z是纯虚数,求m的值; (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,求m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.设z=x+yi(x,y∈R),若1≤|z|≤ ,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 11.已知复数z1=1+cos θ+isin θ,z2=1-sin θ+icos θ,且两复数的模的平方和不小于2,求θ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解由已知得, |z1|2=(1+cos θ)2+sin2θ=2+2cos θ, |z2|2=(1-sin θ)2+cos2θ=2-2sin θ. 因为|z1|2+|z2|2≥2, 即2+2cos θ+2-2sin θ≥2,cos θ-sin θ≥-1, 解 由于向量是以原点为始点,故终点A的坐标为(2,1). |z|= z2=i 解 |z1|==5,|z2|=,所以|z1|>|z2|. |z|=|| (2)相关结论:①z·=|z|2=||2;②. z=+(a2-2a-15)i(a∈R) 解 (1)因为点Z在复平面的第二象限内, 则解得a<-3. 所以a的取值范围为(-∞,-3). (2)因为点Z在实轴上方,则 即(a+3)(a-5)>0,解得a>5,或a<-3. 所以a的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞). 解 因为点Z在直线x+y+7=0上, 所以+a2-2a-15+7=0, 即a3+2a2-15a-30=0, 所以(a+2)(a2-15)=0,故a=-2或±. 所以当a=-2或±时,点Z在直线x+y+7=0上. (1)求向量对应的复数; 解 (1)由已知得=(1,4),=(0,-3),=(2,0),因此=(1,1), =(1,-4), 故对应的复数为1+i,对应的复数为1-4i. (2)由已知得=(1,4),=(0,-3),=(2,0), 所以=(1,7),=(2,3).由平行四边形的性质得=(3,10),而=(0,-3),于是点D(3,7),其对应的复数为3+7i. 由,得(x-1,y-3)=(2,2), 所以点A到直线BC的距离d=, 故BC边上的高为. (2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组 解析 |z|≤说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离小于等于,所以点Z的集合是以原点为圆心,为半径的圆及其内部,故所求图形的面积S=2π. A. B.5 C. D.3 解析 由题意得A(6,-5),B(-2,3),则线段AB的中点C的坐标为(2,-1),其对应的复数z=2-i,则|z|=. (2)已知复数z1=sin-icos,z2=i,则|z1|与|z2|的大小关系为(　　) 解析 因为|z1|= =, |z2|==1, 且>1,所以|z1|>|z2|. |z|= 解析 因为|z1|=,|z2|=,|z1|<|z2|,所以,解得-1<a<1. -<a< 解析 (方法一)∵z=3+ai(a∈R),∴|z|=. 由已知得32+a2<42,∴a2<7,∴a∈(-). |AB|=2,由图可知-<a<. (2,) 解析 由题意可知z=a+2i.根据复数的模的定义,得|z|=.而0<a<3,故2<|z|<. 5.复数4+3i与-2-5i分别表示向量,则向量表示的复数是　　　　,其共轭复数是　 .  解析 由题得=(4,3),=(-2,-5).又 =(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i.其共轭复数是-6+8i. 6.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,则所得向量对应的复数是(　　) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i 解析 复数3-i对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,则对应的点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i. 解析 当a=0,b=1时,此时z=i为纯虚数,A错误; 若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,因此b=0,B正确; 由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确; 由|z|=可得a2+b2=,又a+b=1,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,无解,即|z|不可以等于,D错误. 故选BC. 解 (1)若z=m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数, 则解得m=-2. (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限, 则解得-2<m<-1, ∴m的取值范围是(-2,-1). 解|w|=|z|, 而1≤|z|≤,故≤|w|≤2, 所以w对应点的集合是以原点为圆心,和2为半径的圆所夹圆环(含内外圆周),其面积S=π[22-()2]=2π. 所以cosθ+≥-,所以2kπ-≤θ+≤2kπ+,k∈Z. 所以2kπ-π≤θ≤2kπ+,k∈Z. 所以θ的取值范围是2kπ-π,2kπ+,k∈Z. $$