培优课2 数列的求和问题课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 培优课2　数列的求和问题 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 重难探究·能力素养速提升 探究点一　分组法求和 【例1】 已知在正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和. 解 (1)设数列{an}的公比为q(q>0), ∴an=a1·qn-1=2×2n-1=2n. (2)bn=log22n=n,设{an+bn}的前n项和为Sn, 则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn) =(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn) =(2+22+…+2n)+(1+2+…+n) 规律方法　1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列{cn}的通项公式为 其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{cn}的前n项和. 变式训练1已知在等差数列{an}中,Sn+2=Sn+2n+3(n∈N+). (1)求an; 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,∵Sn+2=Sn+2n+3(n∈N+), 所以Sn+2-Sn=an+1+an+2=2n+3, 可得an+2+an+3=2n+5, 两式相减可得2d=2,所以d=1; 所以an+1+an+2=an+1+an+2=2n+3, 可得an=n. 探究点二　裂项相消法求和 【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=2,S4=16,{an+1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若an>0,设bn=log2(3an+3),求数列 的前n项和. 解 (1)设等比数列{an+1}的公比为q,其前n项和为Tn, 因为S2=2,S4=16,所以T2=4,T4=20, 当q=-2时,a1=-5,所以an+1=(-4)×(-2)n-1=-(-2)n+1. 规律方法　把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的. 常见的拆项公式: 变式训练2在①Sn>0, -a3=4,②数列 的前3项和为6,③an>0且a1,a2,a4+2成等比数列这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a1=1,　　　　　.  (1)求an; (2)设 ,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)选条件①:设等差数列{an}的公差为d, 则由 -a3=4得(a1+d)2-(a1+2d)=4,将a1=1代入,解得d=2或d=-2, 因为Sn>0,所以d=2,所以an=2n-1. 选条件②:设等差数列{an}的公差为d, 选条件③:设等差数列{an}的公差为d, 则由a1,a2,a4+2成等比数列得(a1+d)2=a1(a1+3d+2), 将a1=1代入得d2-d-2=0,解得d=2或d=-1, 因为an>0,所以d=2,所以an=2n-1. 探究点三　错位相减法求和 【例3】 设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项. (1)求{an}的公比; (2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和. 解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3, 即2a1=a1q+a1q2. 所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2. 故{an}的公比为-2. (2)记Sn为{nan}的前n项和. 由(1)及题设可得,an=(-2)n-1. 所以Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1, -2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n. 规律方法　1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时要注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. 变式训练3已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列. (1)求数列{anbn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. 解 (1)∵an=3n-1, ∴a1=1,a2=3,a3=9. ∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15, ∴3b2=15,则b2=5.设等差数列{bn}的公差为d, 又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列, ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2. ∵bn>0,∴d=-10应舍去,∴d=2, ∴b1=3,∴bn=2n+1. 故anbn=(2n+1)·3n-1,n∈N+. (2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,① 3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,② ①-②,得 -2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n =3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n =3n-(2n+1)3n=-2n·3n. ∴Tn=n·3n,n∈N+. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 1.已知数列{an}的通项公式an=log3 ,设其前n项和为Sn,则使Sn<-4成立的最小正整数n等于(　　) A.83 B.82 C.81 D.80 C 解析 由题意可得an=log3 =log3n-log3(n+1), 故Sn=log31-log32+log32-log33+…+log3n-log3(n+1)=-log3(n+1)<-4, 即log3(n+1)>4,解得n>34-1=80, 所以使Sn<-4成立的最小正整数n等于81. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.1 B.2 C.3 D.4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3. [探究点二](多选题) 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且 恒成立,则λ的值不可能是(　　) A.1 B.0 C.-1 D.2 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点二]设 ,数列{an}的前n项和Sn=9,则n=　　　　.  99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5 000　 解析 由题意得S100=a1+a2+…+a99+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+…+a100) =(0+2+4+…+98)+(2+4+6+…+100)=100×50=5 000. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6. [探究点三]已知在等差数列{an}中,a4=0,a1+a2=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)若cn=3nan,求数列{cn}的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)因为cn=(n-4)3n, 所以Sn=-3×31+(-2)×32+(-1)×33+…+(n-5)×3n-1+(n-4)×3n, 所以3Sn=-3×32+(-2)×33+(-1)×34+…+(n-5)×3n+(n-4)×3n+1, 两式相减得-2Sn=-3×31+32+33+34+…+3n-(n-4)×3n+1, 所以-2Sn=-12+(3+32+33+34+…+3n)-(n-4)×3n+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. [探究点二]已知数列 是等比数列,a1=1且a2,a3+2,a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 (1)设数列 的公比为q, ∵a1+1=2, ∵2(a3+2)=a2+a4,∴2(2q2+1)=2q-1+2q3-1, ∴4q2+2=2q+2q3-2, 即4(q2+1)=2q(q2+1),解得q=2. ∴an+1=2·2n-1=2n, ∴an=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.(多选题) 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,bn=log2an+1,则(　　) A.数列{an}是等比数列 B.an=(-2)n-1 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.已知数列{3n+1}与数列{4n-1},其中n∈N+.它们的公共项由小到大组成新的数列{an},则{an}前25项的和为(　　) A.3 197 B.3 480 C.3 586 D.3 775 D 解析 数列{3n+1}(n∈N+)的各项为:4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…, 数列{4n-1}(n∈N+)的各项为:3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,…, 由题意可知,数列{an}的各项为:7,19,31,…, 所以数列{an}为等差数列,且首项为7,公差为19-7=12, 因此,数列{an}的前25项的和为7×25+ =3 775.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,am+n=aman,则S6=(　　) A.12 B.27-1 C.27 D.27-2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1(n∈N+),则数列{nan}的前n项和Tn为　　　　　　.  (n-1)2n+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.设等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30,则an=　　　　　,数列 的前n项和为　　　　.  2n+1 解析 设数列{an}的公差为d. ∵a6+a8=30=2a7,∴a7=15,∵a7-a2=5d,a2=5, ∴d=2,∴an=a2+(n-2)d=2n+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.已知{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且a1=1,b1=3,a2+b2=7,a3+b3=11. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设cn= ,n∈N+,求数列{cn}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.已知函数f(x)= (x∈R),正项等比数列{an}满足a50=1,则 f(ln a1)+f(ln a2)+…+f(ln a99)的值是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 因为数列{an}是等比数列, 所以a1a99=a2a98=…=a49a51= =1, 即ln a1+ln a99=ln a2+ln a98=…=ln a49+ln a51=2ln a50=0. 所以f(ln a1)+f(ln a99)=f(ln a2)+f(ln a98)=…=f(ln a49)+f(ln a51)=2f(ln a50)=1. 设S99=f(ln a1)+f(ln a2)+f(ln a3)+…+f(ln a99),① 又S99=f(ln a99)+f(ln a98)+f(ln a97)+…+f(ln a1),② ①+②,得2S99=99,所以S99= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 17.已知首项为-2的等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}满足 Sn=2n(log2bn-2)(n∈N+),b3=8. (1)求an与bn; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)解 设等差数列{an}的公差为d, 由题意知S3=2×3×(log2b3-2)=2×3×(3-2)=6, 因为S3=a1+a2+a3=3a2=6,解得a2=2, 所以d=a2-a1=2-(-2)=4, 因为Sn=2n(log2bn-2)(n∈N+), 所以2n2-4n=2n(log2bn-2),解得bn=2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18.已知正项数列{an},其前n项和为Sn,an=1-2Sn(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 则解得 = =2n+1-2+n2+n. cn= (2)设bn=求{bn}的前2n项和T2n. (2)由(1)知an=n,所以bn= T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n) =[3+5+7+…+(2n+1)]+32+34+…+32n = =n(n+2)+. {} 所以an=-1或an=-(-2)n+1-1. 易知q≠1,所以T2==4,① T4==20,② 由得1+q2=5,解得q=±2.当q=2时,a1=, 所以an+1=×2n-1=; (2)因为an>0,所以an=-1, 所以bn=log2(3an+3)=n+1, 所以, 所以数列{}的前n项和为()+()+…+()=. (1); (2)); (3). bn= 则=a1+(n-1)d, 由数列的前3项和为6及a1=1得3+d=6,解得d=2,所以an=2n-1. (2)由(1)得bn=], 所以Tn=b1+b2+…+bn=[1-+…+]=[1-]=. 可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n. 所以Sn=. =3+2×-(2n+1)3n 2. [探究点二]已知正项数列{an}满足a1=1,()()=4,数列{bn}满足,记{bn}的前n项和为Tn,则T20的值为(　　) S4=S5,S6=21,若+…+<λ an= 解析 an=, 故Sn=-1++…+-1=9.解得n=99. 5.[探究点一]已知数列an=其前n项和为Sn,则S100=　　　　.  解 (1)设{an}的公差为d,由已知得解得 所以{an}的通项公式为an=n-4. =-12+-(n-4)×3n+1=, 所以Sn=. ∴ (2)bn=, ∴Sn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=+() +…+()+=1-. 8.已知数列{an}的通项公式an=2n+1,n∈N+,由bn=所确定的数列{bn}的前n项的和是(　　) A.n(n+2) B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7) 解析 ∵a1+a2+…+an=(2n+4)=n2+2n, ∴bn=n+2,∴{bn}的前n项和Sn=. C.+…+ D.{an+bn}的前n项和为Tn=2n-1+ 解析 因为am+n=aman,取m=1,则有an+1=a1an=2an,所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以S6==27-2.故选D. 12.(多选题)已知数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=(n∈N+),则下列说法正确的有(　　) A.a1= B.数列{an}为等比数列 C.若bn=a2n,则数列{bn}的前n项和为[1-] D.若cn=an(n≥2),则c2+c3+c4+…+cn+1= {} 　　 ∴), ∴{}的前n项和为(1-+…+)=(1-)=. 解 (1)设等比数列{an}的公比为q≠0,等差数列{bn}的公差为d, 因为a1=1,b1=3,a2+b2=7,a3+b3=11,an=a1qn-1,bn=b1+(n-1)d, 所以 解得 因为q≠0,所以 所以an=2n-1,bn=2n+1. (2)因为cn=,n∈N+,所以cn=, 则Tn=+…+,所以Tn=+…+. 两式相减得Tn=+…+, 则Tn=+2, 即Tn=+2[1-]-,解得Tn=10-, 所以数列{cn}的前n项和Tn=10-. 解 因为f(x)=,所以f(x)+f(-x)==1. (2)设cn=,记数列{cn}的前n项和为Tn,证明:当n∈N+时,Tn<-. 故an=(-2)+(n-1)×4=4n-6,Sn==2n2-4n, (2)证明 cn=, 当n=1时,T1=-<-, 当n=2时,T2=-<-, 当n≥3时,cn=, 所以Tn≤-+…+=-=-<-. (2)设bn=(-1)n,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)由已知an=1-2Sn,① 所以有an+1=1-2Sn+1,② ②-①,得an+1-an=-2an+1, 所以, 所以数列{an}是公比为的等比数列. 又a1=1-2S1=1-2a1,所以a1=,所以an=()n. (2)由(1)得bn=(-1)n(+2n)=(-1)n·3n+(-1)n·2n,当n为奇数时,Tn=(-3+32-33 +34-…-3n)+2(-1+2-3+4-…-n)=+2()+2() =-n-1=-n. 当n为偶数时,Tn=(-3+32-33+34-…+3n)+2(-1+2-3+4-…+n)=+2[]+2()=+n=. 综上所述,Tn= $$