第04讲 解三角形（九大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第04讲 解三角形 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）正弦定理、余弦定理及其变形 （2）三角形的面积公式并能应用 （3）实际应用 2024年I卷第15题，13分 2024年II卷第15题，13分 2024年甲卷第11题，5分 2023年I卷II卷第17题，10分 2023年甲卷第16题，5分 2023年乙卷第18题，12分 2022年I卷II卷第18题，12分 高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主． 复习目标： （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形． （2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． （3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：基本定理公式 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ； ； ． 8 知识梳理·基础回归 知识点1：基本定理公式 定理 正弦定理 余弦定理 变形 （1），，； （2），，； ； ； ． 9 知识梳理·基础回归 知识点1：基本定理公式 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 10 知识梳理·基础回归 知识点2：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 11 知识梳理·基础回归 知识点2：相关应用 （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 12 知识梳理·基础回归 知识点3：实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 13 知识梳理·基础回归 知识点3：实际应用 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 14 知识梳理·基础回归 知识点3：实际应用 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 15 【典例1-1】（2024·浙江·模拟预测）在中，分别为角的对边，若，，，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】由，可得，根据进而求出，， 由可得，， 则， 由正弦定理可知，又因为，解得，， 由正弦定理可得．故选：B． 题型一：正弦定理的应用 题型突破·考法探究 【典例1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由正弦定理， 因为， 展开化简 ， 又．故选：B．     题型一：正弦定理的应用 题型突破·考法探究 【变式1-1】（2024·广东东莞·模拟预测）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由，可得， 解得，所以为等边三角形， 故外接圆直径为 所以． 题型一：正弦定理的应用 题型突破·考法探究 【典例2-1】在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 题型二：余弦定理的应用 题型突破·考法探究 【典例2-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，其中，，角B= ． 【答案】 【解析】根据余弦定理：得 ， 即， 因为，所以， 所以，又，得，   题型二：余弦定理的应用 【方法技巧】 （1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边． （2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 题型突破·考法探究 【变式2-1】已知分别为的内角的对边，且 ．角 ． 【答案】 【解析】在中，由余弦定理得，，代入得 ， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则． 题型二：余弦定理的应用 题型突破·考法探究 【典例3-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【解析】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，． 故选：A． 题型三：判断三角形的形状 题型突破·考法探究 【典例3-2】在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【解析】在中，已知 由正弦定理得， 所以即 又，则，则， 所以所以该三角形为等腰三角形． 故选：B．   题型三：判断三角形的形状 【方法技巧】 （1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形． （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形． 题型突破·考法探究 【变式3-1】在中，若，则这个三角形是 ． 【答案】等腰或直角三角形 【解析】因为， 所以，， ，则，所以，， 即，所以，， ，即， 整理可得，即或， 因此，为等腰或直角三角形． 故答案为：等腰或直角三角形． 题型三：判断三角形的形状 题型突破·考法探究 【变式3-2】（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形．故选：D 题型三：判断三角形的形状 题型突破·考法探究 【典例4-1】在中内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则由正弦定理得． 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则． 故选：C． 题型四：正、余弦定理的综合运用 题型突破·考法探究 【典例4-2】（2024·山东·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 即，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以， 即， 因为，所以，所以．   题型四：正、余弦定理的综合运用 【方法技巧】 先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解． 题型突破·考法探究 【变式4-1】（2024·四川绵阳·一模）中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 即．， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得：． 因为， 所以，整理得：， 则，所以. 题型四：正、余弦定理的综合运用 题型突破·考法探究 【典例5-1】已知向量． （1）求的取值范围； （2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域． 【解析】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以． （2）由题意得 ，可得， 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型突破·考法探究 【典例5-1】已知向量． （1）求的取值范围； （2）记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域． 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则， 所以函数的值域是． 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型突破·考法探究 【典例5-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数． （1）当时，求的取值范围； （2）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足，求的面积． 【解析】（1）由题意得， ． ∵，∴，     ∴． 故当时，的取值范围是． （2）∵， ∴由（1）得，∴． 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型突破·考法探究 【典例5-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数． （1）当时，求的取值范围； （2）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足，求的面积． 又，∴，∴． ∵，且，∴， ∴，   ∴由正弦定理得，，  ∴．  【方法技巧】 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中．通过利用正弦定理和余弦定理，可以方便地求解三角形的边长和角度．同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以进一步简化计算过程，提高解题效率． 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型突破·考法探究 【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为． （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围． 【解析】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象， 则， ，， 当，即时，最大值， 所以； 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型突破·考法探究 【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为． （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围． （2）， ，则，所以，，所以，， ， 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型突破·考法探究 【变式5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为． （1）求的值； （2）在锐角中，若，求的取值范围． 是锐角三角形，由， 解得， 所以，，， 则． 题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 题型突破·考法探究 【典例6-1】中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为 ．      【答案】74 【解析】由题设及图知： ，则， 在中m． 故答案为：74 题型六：解三角形的实际应用 题型突破·考法探究 【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及．从点C测得，已知山高，则山高 m． 【答案】 【解析】在中，因为， 所以， 在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得． 【方法技巧】 根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解． 题型六：解三角形的实际应用 题型突破·考法探究 【变式6-1】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m． 【答案】 【解析】因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高． 题型六：解三角形的实际应用 题型突破·考法探究 【典例7-1】记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的面积． 【解析】（1）证明：由及正弦定理得：， 整理得，． 因为，所以， 所以或，所以或（舍）， 所以． （2）由及余弦定理得：， 整理得， 又因为，可解得， 则，所以△是直角三角形，所以△的面积为． 题型七：倍角关系 题型突破·考法探究 【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足． （1）求证：； （2）若，求． 【解析】（1）证明：因为，由正弦定理，得 ， 所以，所以． 又因为，，所以或． 若，又，所以，与a，b，c互不相等矛盾， 所以． （2）由（1）知，所以． 因为，所以，则， 可得． 题型七：倍角关系 题型突破·考法探究 【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足． （1）求证：； （2）若，求． 又因为 所以． 因为，所以，所以， 所以，解得，又，得．  【方法技巧】 解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式．这些公式允许我们通过已知的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值． 题型七：倍角关系 题型突破·考法探究 【变式7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）的内角所对的边分别为，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以，故， 由正弦定理可得，所以，又， 所以，又，所以，，故 由勾股定理可得， 所以，故选：A． 题型七：倍角关系 题型突破·考法探究 【典例8-1】设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理，即，所以， 因为不唯一，即有两解，所以且，即， 所以，所以，即； 故选：A 题型八：三角形解的个数 题型突破·考法探究 【典例8-2】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】由正弦定理得， 因为有唯一解，当时，即， 唯一，符合题意，得； 当时，有两个值，不唯一，不合题意； 当时，， 所以，唯一，符合题意，得． 所以的取值范围为或． 【方法技巧】 三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 题型八：三角形解的个数 题型突破·考法探究 【变式8-1】在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由图可得，要使有两解，则， 即，解得． 故答案为：． 题型八：三角形解的个数 题型突破·考法探究 【典例9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，满足，，且，则边 ． 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得：， 所以，由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得：，， 所以，即 题型九：三角形中的面积与周长问题 题型突破·考法探究 【典例9-2】记的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长 【解析】（1）由 又得 其中,化简得 又得．即 因为是三角形的内角，所以． （2）由，得， 由余弦定理，得， 得，得， 所以的周长为．   题型九：三角形中的面积与周长问题 【方法技巧】 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 题型突破·考法探究 【变式9-1】（2024·山东青岛·三模）设三角形的内角、、的对边分别为、、 且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 【解析】（1）因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． （2）由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为． 题型九：三角形中的面积与周长问题 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023年北京高考数学真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． C B C 2 50 05 课本典例·高考素材 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求A； （2）若a=2，的面积为，求b，c的值． 【解析】（1）由及正弦定理得 ． 因为， 所以． 由于， 所以． 又，故． （2）由题得的面积，故 ①． 而，且，故 ②， 由①②得． 52 2．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． 【解析】①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1,β1； B点到M，N的俯角α2,β2；A，B的距离 d………． ②第一步：计算AM．由正弦定理AM=dsinα2sinα1+α2； 第二步：计算AN．由正弦定理AN=dsinβ2sinβ2-β1； 第三步：计算MN．由余弦定理MN=AM2+AN2-2AM×ANcosα1-β1 53 3．的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，， 【解析】证明：根据余弦定理得， 所以， 所以， 同理可得，． 54 06 易错分析·答题模板 02 易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制 易错分析：在解答过程中易忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思路受阻或解答出现增解现象． 【易错题1】在中，，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【易错题2】在中，已知，，，则角__________． 答题模板：利用边角关系解三角形 1、模板解决思路 如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理． 2、模板解决步骤 第一步：结合正弦定理、余弦定理将关系式中的角化边或者边化角． 第二步：化简上一步所得的式子，结合已知条件和余弦定理与正弦定理来进一步求解． D   02 【经典例题1】中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求； （2）若且的面积为，求边长． 【解析】（1）中，， 由正弦定理得， 又， 所以， 由于，，有， 所以，又，则，所以． （2）由（1）， 而， 由正弦定理有，从而，， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为， 由已知的面积为，可得，所以． 02 【经典例题2】中， 角A， B， C所对应的边分别是a， b， c， 且 （1）求A； （2）若， 求BC边上高的最大值． 【解析】（1）因为 由正弦定理得， 因为，所以， 所以 因为，所以， 所以，所以， 因为所以，． （2）因为，， 由余弦定理得： ，即， 因为即，即，， 设中BC边上高为，则，所以， 即BC边上高的最大值为．   感谢观看 THANK YOU $$