小升初典型奥数：牛吃草问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

牛吃草问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量． 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量． 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量． 基本公式： 生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量； 牛吃草问题常用到四个基本公式： 牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度． 这四个公式是解决消长问题的基础． 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式． 这类问题的基本数量关系是： 1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量． 2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草． 第二部分 典型例题 例题1：牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？ 【答案】12天 【详解】根据题意，设每头牛每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供21头牛吃的天数． 解：设每头牛每天吃“1”份草． 每天新生草量为： （23×9-27×6）÷（9-6） =（207-162）÷3 =45÷3 =15（份） 原有草量为：27×6-15×6=72（份） 21头牛吃的天数： 72÷（21-15） =72÷6 =12（天） 答：这片牧草可供21头牛吃12天． 例题2：某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？ 【答案】4天 【分析】此题相当于“牛吃草问题”，开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为（160×10－250×6）÷（10－6）＝25，原有砖的数量为：250×6－6×25＝1350。果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350－950＝400原有的砖未用，变成120＋5＝125人来砌砖，还需要：400÷（125－25）＝4（天）。 【详解】设1名工人1天砌砖数量为1。 则每天运来的砖： （160×10－250×6）÷（10－6） ＝100÷4 ＝25 原有砖数： 250×6－6×25 ＝1500－150 ＝1350 120名工人砌10天后还剩的砖︰ 1350－120×10＋10×25 ＝1350－1200＋250 ＝400 400÷（120＋5－25） ＝400÷100 ＝4（天） 答∶还需要4天可以把砖用完。 【点睛】牛吃草问题的基本公式是：生长量＝（较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数）÷（长时间－短时间）；原有草量＝较长时间×长时间牛头数－较长时间×生长量。灵活运用公式解题，是解答本题的关键。 例题3：有三块草地，面积分别是5，15，24亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 【答案】42头 【分析】这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草=10×30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28×45=1260份，所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84份，所以45﹣30=15天，每亩面积长84﹣60=24份；则每亩面积每天长24÷15=1.6份．所以，每亩原有草量60﹣30×1.6=12份，第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃． 【详解】解：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60； 每亩45天的总草量为：28×45÷15=84； 那么每亩每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）=1.6； 每亩原有草量为：60﹣1.6×30=12； 那么24亩原有草量为：12×24=288； 24亩80天新长草量为24×1.6×80=3072； 24亩80天共有草量3072+288=3360； 所以有3360÷80=42（头）． 答：第三块地可供42头牛吃80天． 例题4：甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12名工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28名工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少名工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉） 【答案】36名 【分析】设1个工人1小时搬1份面粉。甲仓库中12个工人5小时搬了份，乙仓库中28个工人3小时搬了份，说明甲仓库的传送机5－3＝2小时多输送了84－60＝24份面粉，即每小时输送24÷2＝12份，仓库中共有面粉份。丙仓库中120份面粉需在2小时内搬完，每小时需搬份，因此需要工人名。 【详解】（份） （份） 5－3＝2（小时） 84－60＝24（份） 24÷2＝12（份） ＝ ＝120（份） （份） ＝ ＝（名） 答：同时还要36名工人。 【点睛】此题利用牛吃草问题的思路解答，解题时要先求出输送机每小时工效，然后解得仓库中共有面粉数，最后回答问题。 第三部分 高频真题 1．牧场上长满了牧草，可供27头牛吃一周，或可供23头牛吃9周，如果牧草每周匀速生长，问原来的草量可供几头牛吃1周？ 2．一个牧场上长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，这片青草可供58头牛吃7周，或供48头牛吃9周，那么，可供多少头牛吃5周？ 3．某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25个人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没人排队。 4．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？ 5．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 6．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级台阶？ 7．林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变） 8．120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？ 9．甲、乙、丙三车同时从地出发到地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度． 10．第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快。有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完。在这7天里，第二群牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？ 11．现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时后能追上．那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？ 12．有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？ 13．12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？ 14．牧场上长满牧草，每天都匀速生长．这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天．问可供21头牛吃几天？ 15．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 16．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把一池水排空，如果同时打开进水阀和两个排水阀，则10分钟能把水池的水排空，问关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟能排空水池的水？ 17．一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 18．牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？ 19．一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？ 20．一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完。假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完？ 21．一个露天水池底部有若干同样大小的进水管，这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水量相同．如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？ 22．食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？ 23．17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？（假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长） 24．2006年夏天，我国某地区遭遇了严重干旱，政府为了解决某村饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。后来由于旱情严重，开动13台抽水机同时供水，请问几小时可以把这池水抽完？ 25．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．求17人几小时可以淘完？ 26．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？ 27．一片匀速生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草两相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 28．有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）。如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排光。问要想在4.5小时内把池内的水全部排光，需同时打开几个出水管？ 29．有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3亩、10亩和24亩，12头牛4星期吃完第一片牧场的草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 30．内蒙古草原的一个牧场有一片青草，这片青草每天都在匀速生长。这片牧草可供24头牛吃12天，可供30头牛吃8天，问可供多少头牛吃4天？ 31．某牧场长满了草，若用17人去割，30天可割尽；若用19人去割，只要24天便可割尽，假设草每天匀速生长，每人每天的割草量相同，问49人几天可割尽？ 32．有一个蓄水池装了根相同的水管，其中一根是进水管，其余根是出水管。开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水。后来，想打开出水管，使池内的水全部排光。如果同时打开根出水管，则小时可排尽池内的水；如果仅打开根出水管，则需小时才能排尽池内的水。若要在小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？ 33．东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？ 34．一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入。当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空。如果打开7个出水口，18小时可以把水排空。如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过多少时间水池刚好被排空？ 35．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养24头牛，那么7天就把草吃完了，请问： （1）如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？ （2）要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？ 36．有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？ 37．用2台同样的抽水机抽干一个有泉水的水库需40小时，用3台这样的抽水机抽干这个水库需24小时，试问，若要8小时抽干这个水库，需要这样的抽水机多少台？(泉水均匀地向水库渗水) 38．一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？ 39．仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？ 40．牧场上一片牧草，可供24头牛吃6周，或者可供18头牛吃10周，假定草的生长速度不变，那么可供15头牛吃几周？ 41．一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完．问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？ 42．假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上资源可供137.5亿人生活112.5年，或可供112.5亿人生活262.5年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多能养活多少亿人？ 43．8头牛和3只羊每天共吃青草136千克，2头牛和2只羊每天共吃青草44千克，李大爷养了6头牛和1只羊每天要准备多少千克的青草？ 44．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入一些水，如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．现在要想在2小时内淘完，需要多少人？ 45．画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间． 46．有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷．每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．第三块草地可供19头牛吃多少天？ 47．北京密云水库建有个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，个小时后水位降至安全线。根据抗洪形势，需要用个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？ 48．有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？ 49．有一片牧场，草每天都在均匀的生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就可以把草吃完；如果放养21头牛，8天可以把草吃完．那么： （1）要让草永远吃不完，最多放养多少头牛； （2）如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 50．由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料．假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是页／天）．如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．公司聘任了若干名打字员，工作8天之后，由于业务减少，每天新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40天才恰好完成打字工作．问：公司聘任了多少名打字员？ 51．有一块牧场，牧草每天均匀生长，这片牧场可供10头牛吃20天，15头牛吃10天；则它可供多少头牛吃4天？ 52．春天养殖厂在夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等） 参考答案： 1．4头 【分析】设1头牛1周吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出原草量，然后确定原来的草量可供几头牛吃1周。 【详解】 （份/周） （份） 4.5份草可供4头牛吃1周。 答：原来的草量可供4头牛吃1周。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，注意牛的头数是整数，所以要采用去尾法取近似值。 2．76头 【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草因为是匀速生长，所以每天这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。由两个用草量的差可知（9-7）周的生长量，即可求出每周新长出的草的量。再将某一组的草总量减去若干周的生长量，即是原有的牧草量。抓住这两个量即可得解。 【详解】解：设1头牛一周吃的草为1份。 58头牛7天吃草：1×58×7﹦406（份） 48头牛9周吃草：1×48×9﹦432（份） 每周新长草的量：（432－406）÷（9－7） ﹦26÷2 ﹦13（份） 原有草量：406－13×7 ＝406-91 ＝315（份） 5周可供牛的头数：（315＋13×5）÷5 ＝（315+65）÷5 ＝380÷5 ＝76（头） 答：这片牧场可供76头牛吃5周。 【点睛】考查了牛吃草问题，解答这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量。 3．3分钟 【分析】一个检票口每分钟能让25个人检票进站，8分钟通过200人，而每分钟有10人前来排队检票，8分钟来了80人，200减去80得到原有120人，然后考虑开两个检票口的情况。 【详解】解： （人） 设x分钟后没有人排队； 答：检票开始后3分钟就没人排队。 【点睛】本题考查的是生活中的牛吃草问题，这里检票口对应牛，人对应草。 4．头 【分析】设1头牛1周吃草量为“1”。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周，相当于1公顷牧场可供2.5头牛吃8周。然后求出1公顷牧场1周新生长的草量及1公顷牧场原有草量，再考虑第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周。 【详解】1公顷牧场1周新生长的草量为： 1公顷牧场原有草量为： 24公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为； 若想维持18周，需要饲养：（头）牛。 答：需要饲养40头牛。 【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，求出1公顷牧场的草速及1公顷牧场原有草量是解题的关键。 5．17人 【详解】略 6．150级 【分析】上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100-90=10（级），多用了6-5=1（分），说明电梯1分钟走10级．由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（级）． 【详解】自动扶梯每分钟走：（20×5-15×6）÷（6-5） =10÷1 =10（级） 自动扶梯共有：（20+10）×5=150（级） 答：扶梯共有150级． 7．33只 【分析】把每只猴吃的野果数量视为1份，23只猴9周吃掉23×9＝207份，21只猴12周吃掉21×12＝252份，那么12周与9周时间相差的252－207＝45份就是12－9＝5周新长的，则每周新长（252－207）÷（12－9）＝15份，原有野果207－15×9＝72份，4周吃完，那么有猴子72÷4＝18只，每周新长的15份可共15只猴子吃，所以一共有猴子18＋15＝33只，据此解答即可。 【详解】设一只猴子一周吃的野果为“”，则野果的生长速度是 ＝45÷3 ＝15， 原有的野果为 ＝8×9 ＝72， 如果要4周吃光野果，则需有 ＝18＋15 ＝33（只） 答：需有33只猴子一起吃。 【点睛】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出野果每天长的份数和原来野果的份数为本题解答的关键。 8．360头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草． 120头牛28天吃掉120×28＝3360份，说明每公顷牧场28天提供3360÷10＝336份牧草； 210头牛63天吃掉210×63＝13230份，说明每公顷牧场63天提供13230÷30＝441份牧草； 每公顷牧场63－28＝35天多提供441－336＝105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105÷35＝3份，原有草量为336－28×3＝252份． 如果是72公顷的牧场，原有草量为252×72＝18144份，每天新长出3×72＝216份， 126天共计提供牧草18144＋126×216＝45360份，可供45360÷126＝360头牛吃126天． 9．39千米/小时 【详解】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度．所以： 卡车速度为：（千米/时） 全程：（千米） 丙车速度为：（千米/时） 10．15头 【分析】15头牛，2天吃完1号牧场也就是3公顷，15头牛，5天吃完2号牧场也就是5公顷；因为要计算草的生长速度，所以，设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷，可得方程：2（15X）＝2（3Y）＋3，5（15X）＝7（5Y）＋5 【详解】解：15头牛，2天吃完1号牧场也就是3公顷，5天吃完2号牧场也就是5公顷；设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷 可得方程： 2×15X＝2×3Y＋3， 30X＝6Y＋3 30X÷3＝（6Y＋3）÷3 10X＝2Y＋1① 5×15X＝7×5Y＋5 75X＝35Y＋5 75X÷5＝（35Y＋5）÷5 15X＝7Y＋1② 由①得：10X×1.5＝（2Y＋1）×1.5 即为：15X＝3Y＋1.5代入②得： 3Y＋1.5＝7Y＋1 3Y＋1.5﹣3Y﹣1＝7Y＋1﹣1﹣3Y 0.5＝4Y 4Y÷4＝0.5÷4 Y＝0.125 把Y＝0.125代入①得： 10X＝2×0.125＋1 10X÷10＝1.25÷10 X＝0.125 设第2群牛有n头，可得方程 7×0.125n＝7×7×0.125＋7 7×0.125n÷7÷0.125＝（7×7×0.125＋7）÷7÷0.125 n＝15 答：第二群牛有15头。 【点睛】本题属于典型的牛吃草问题，解答时认真分析所给的条件，根据条件列方程解答即可解决。 11．15小时 【详解】设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时） 12．44头 【分析】这道题中两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。我们可以把两块草地转化为一块草地来计算。 【详解】30×12＝360（份） 20×3×4＝240（份） （360－240）÷（12－4） ＝120÷8 ＝15（份） 360－12×15 ＝360－180 ＝180（份） （180＋180÷3）÷10＋（15＋15÷3） ＝（180＋60）÷10＋（15＋5） ＝240÷10＋20 ＝24＋20 ＝44（头） 答：44头牛10天能同时吃完两块草地上的草。 【点睛】面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。 13．36头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛 14．12天 【详解】略 15．4天 【详解】试题分析：设每头牛每天吃“1”份草，则15头牛8天吃：15×8=120（份），15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃，2×15+17×5=115（份）， 那么8﹣7=1（天）共长草5份，原来有草：120﹣5×8=80（份），15头牛2天吃草：15×2=30（份），还剩80+5×2﹣30=60（份）．那么又来了5头牛，新长出的草5头牛吃，20﹣5头牛可吃原有的草：60÷（20﹣5），计算即可． 解：设每头牛每天吃“1”份草． 则15头牛8天吃：15×8=120（份） 15头牛吃了2天，又来了2头牛总共7天共吃：2×15+17×5=115（份） 那么8﹣7=1（天）共长草120﹣115=5（份） 原来有草：120﹣5×8=80（份） 15头牛2天吃草：15×2=30（份），还剩80+5×2﹣30=60（份） 那么又来了5头牛，20头牛可吃：60÷（20﹣5）=4（天） 答：再过4天可以把草吃完． 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 16．5分钟 【分析】本题所给条件中只给出了每次所开进水阀、出水阀的数量及排完水所需时间，没有给出进水、出水具体的数量，所以可设水池容量为１ ，每个排水阀每分钟排水量为x ，进水阀每分钟进水量为y ，两次排水量是一样的为１ ，由此可列式为　，由此求出一个进水阀和一个出水阀的效率，再据已知条件求出同时打开三个排水阀，需多少分钟才能排完水池的水。 【详解】解：设进水阀和排水阀的效率分别为x和y； 将第二个算式乘3； 则30（y＋y）－30x＝3 30x＝60y－3； 将第二个算式代入第一个算式中； 30y－（60y－3）＝1 30y＝2 ； ＝1÷ ＝5（分） 答：单开3个排水阀5分钟能排完水池的水。 【点睛】解答本题的关键是抓住前两次的排水量一致，分别设出排水和进水的效率，列出两个等量关系式，进而求出排水量。 17．5根 【分析】根据题意，设出1根出水管每小时的排水量为1份，先求出进水管每小时的进水量，在求出蓄水池原有水量，由此问题可以解决。 【详解】设根排水管小时排水为“”份， 进水速度为： （3×18－8×3）÷（18－3） ＝（54－24）÷15 ＝30÷15 ＝2（份） 原有水量为： （8－2）×3 ＝6×3 ＝18（份） 如果想要在小时内将池中的水全部排光，最少要打开： 18÷8＋2 ＝2.25＋2 ＝4.25（根） 根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。 答：最少要打开5根出水管。 【点睛】本题属于牛吃草问题，只要求出进水管每小时的进水量是解题的关键。 18．19头 【分析】把每头牛吃的草数量视为1份，23头牛9周吃掉23×9＝207份，27头牛6周吃掉27×6＝162份，那么9周与6周时间相差的207－162＝45份就是9－6＝3周新长的，则每周新长（252－207）÷（9－6）＝15份，原有草量＝72份，原有的草量，可供 72÷18＝4头牛吃，每周新长的15份可共15头牛吃，那么一共可供4＋15＝19头牛吃18周，据此解答即可。 【详解】设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为 ＝45÷3 ＝15（份） 原有草量为 ＝12×6 ＝72（份） 可供 ＝4＋15 ＝19（头） 答：那么它可供19头牛吃18周。 【点睛】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草场的量为本题解答的关键。 19．64头 【分析】设1头牛1天吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出原草量和草的增长速度，再考虑可供多少头牛吃6天。 【详解】设1头牛1天吃1份草； （份/天） （份） （头） 答：可供64头牛吃6天。 【点睛】本题考查的是基础的牛吃草问题，求出草速和原草量是解题的关键。 20．64头 【分析】因为草的生长量每天相等，所以先求出每天草的生长量，再求原来有多少草；将原有的草加上生长的草，再除以6天即可求出。 【详解】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为： ＝44÷2 ＝22 原有草量为： ＝450－198 ＝252 ＝384÷6 ＝64（头） 答：放64头牛6天可以把草吃完。 【点睛】熟练掌握牛吃草问题的一般解法是解决本题的关键。 21．10分钟 【详解】试题分析：此题可以用牛吃草的算法进行解答． 设1个水管1分钟注入水池的水量为1，则蓄水池1分钟注入水池的雨水量为： （24×5﹣12×8）÷（8﹣5）=8．一分钟雨水下的就是8个单位的量，也就是相当于8个水管同时注水的量． 然后水池的总量是24×5+8×5=160，下雨量相当于8个水管的注水量，所以每分钟注水总量是8+8=16，然后160÷（8+8）=10分钟，据此解答即可． 解：①设1个水管1分钟注入水池的水量为1，则蓄水池1分钟注入水池的雨水量为： （24×5﹣12×8）÷（8﹣5）=8 ②水池的总量是：24×5+8×5=160 ③下雨量相当于8个水管的注水量，所以每分钟注水总量是 8+8=16 160÷（8+8）=10（分钟） 答：如果打开8根进水管，10分钟能将水池注满． 点评：此题的解法是把工程为题转化成牛吃草问题来解答，很好理解．所以希望同学们在今后的学习中，遇到问题可灵活处理． 22．6天 【分析】开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”。设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为：（4×40－5×30）÷（40－30）＝1，原有面粉量为：（5－1）×30＝120。如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩[120－30×（4－1）]，即30，未加工，而后变成6名工人，还需要 [30÷（6－1）] 天可以加工完。 【详解】设1名工人1天用掉面粉的量为“1”， （4×40－5×30）÷（40－30） ＝（160－150）÷10 ＝10÷10 ＝1 （5－1）×30 ＝4×30 ＝120 120－30×（4－1） ＝120－30×3 ＝120－90 ＝30 30÷（6－1） ＝30÷5 ＝6（天） 答：还需要6天加工完。 【点睛】本题主要考查了“牛吃草问题”，解答本题的关键是：求出开工后每天运进的面粉量和开工前运进的面粉量。 23．头 【分析】由于三种情况下草地的大小是不一样的，那么原草量和草的增长量都是不同的，这里需要进行转化，求出每公亩牧场每天的牧草生长量，以及每公亩牧场的原草量，然后再考虑多少头牛吃40公亩的草，24天可吃完。 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉份，说明每公亩牧场54天提供份牧草；17头牛84天吃掉份，说明每公亩牧场84天提供份牧草。每公亩牧场天多提供份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份，原有草量为份。 如果是40公亩的牧场，原有草量为份，每天新长出份，24天共提供牧草份，可供头牛吃24天。 答：35头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完。 【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，当多块草地的面积不一样时，需要求出单位面积的增长量及单位面积的原草量。 24．小时 【分析】先求出一台抽水机一小时的抽水量，再计算原来有多少水，然后再计算13台抽水机同时供水几小时可以把这池水抽完。 【详解】一台抽水机一小时的抽水量为： 40×（2.5－1.5）÷（5×2.5－8×1.5） ＝40÷ 0.5 ＝80（立方米） 池水的总量为： 2.5×（80×5－40） ＝2.5×360 ＝900（立方米） 所以，使用13台抽水机，抽完池水需要的时间为： 900÷（80×13－40） ＝900÷1000 ＝0.9（小时） 答：0.9小时可以把这池水抽完。 【点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，这里给出了水的增长速度，那么直接计算原有的水量即可。 25．2小时 【详解】解：这是一道变相的“牛吃草”问题．与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间．设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量 因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为：1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为：14÷（10－3）＝2 （2）求淘水前原有水量 原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30 （3）求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是：30÷（17－2）＝2（小时） 答：17人2小时可以淘完水． 26．10天 【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。求出每天新长出草的量。再将某一组的用草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。解题时把羊转化成牛或把牛转化成羊。 【详解】先把120只羊和32只羊转换成牛：120÷4=30（头） 32÷4=8（头） 设每头牛每天吃草量为1份。 每天新生长的草量：（30×20-36×15）÷（20-15） =（600-540）÷5 =60÷5 =12（份） 这片牧草原有草量： 36×15-12×15=360（份） 40头牛和32只羊一共吃的天数： 360÷[（40+8）-12] =360÷[48-12] =360÷36 =10（天） 答：这片牧场可供40头牛和32只羊一起吃10天。 【点睛】本题是较为复杂的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答。 27．48只 【详解】试题分析：根据“一头牛一天的吃草量等于3只羊一天的吃草量，”那么36只羊的吃草量就等于（36÷3）12头牛的吃草量； 设每头牛每天吃草1份，根据“18头牛吃40天，或供12头牛与36只羊吃25天，即12+12=24头牛吃25天”可以求出草每天生长的份数：（18×40﹣24×25）÷（40﹣25）=8（份）；再根据“18头牛吃40天，”可以求出草地原有的草的份数：（18﹣8）×40=400（份）；由于草每天生长8份，可供16天吃完，需要牛的头数是（400+8×16）÷16=33（头），然后减去17头牛，得到的差转化成羊的只数即可；问题得解． 解：设每头牛每天吃草1份，把36只羊转化为牛的头数为： 36÷3=12（头） 草每天生长的份数： 18×40﹣24×25）÷（40﹣25） =120÷15 =8（份） 草地原有的草的份数： （18﹣8）×40=400（份） 16天吃完，需要牛的头数是： （400+8×16）÷16=33（头） （33﹣17）×3 =16×3 =48（只） 答：这片草地让17头牛与48只羊一起吃，刚好16天吃完． 点评：本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答． 28．需同时打开6根出水管 【分析】假设打开一根出水管每小时可排水“1份”，那么8根出水管开3小时共排出水8×3＝24（份）；5根出水管开6小时共排出水5×6＝30（份）；两种情况比较，可知3小时内进水管放进的水是30－24＝6（份）；进水管每小时放进的水是6÷3＝2（份）；在4.5小时内，池内原有的水加上进水管放进的水，共有8×3＋（4.5－3）×2＝27（份）；由此解答即可。 【详解】假设打开一根出水管每小时可排出水“1份”，8根出水管开3小时共排出水8×3＝24（份）；5根出水管开6小时共排出水5×6＝30（份）。 30－24＝6（份） 这6份是“6－3＝3”小时内进水管放进的水。 （30－24）÷（6－3） ＝6÷3 ＝2（份） 这“2份”就是进水管每小时进的水。 [8×3＋（4.5－3）×2]÷4.5 ＝[24＋1.5×2]÷4.5 ＝27÷4.5 ＝6（根） 答：需同时打开6根出水管。 【点睛】此题属于牛吃草问题，解答关键是把打开一根出水管每小时可排水“1份”，进一步分析推理求解。 29．36头 【分析】吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 为了计算简便，不妨假定牧场面积用3亩作“单位”来计算，注意10=3×3，21=7×3，因此题目中第二个条件，可以改变为7头牛9星期吃完3亩草地上原有草和新长出来的草． 【详解】对3亩草地来说， 原有草+4星期新长的草=12×4. 原有草+9星期新长的草=7×9. 由此可得出，每星期新长的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3. 那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）. 对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是（36+3×18）×（24÷3）=90×7.2 这些草能让90×7.2÷18=36（头）牛吃18个星期. 答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草. 30．48头 【分析】这类题难在牧场上的草的数量每天都在变化，我们要想办法从变化中找出不变的量，总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。有两个用草量的差可知（12-8）天的生长量，即可求出每天新长出的草的量。再将某一组的草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。抓住这两个量，解决问题就容易多了。 【详解】解：设1头牛一天吃的草为1份。 ①24头牛12天吃草的总量：1×24×12﹦288（份） ②30头牛8天吃草的总量：1×30×8﹦240（份） ③每天新长出的草的量：（288－240）÷（12－8） ﹦48÷4 ﹦12（份） ④这片牧场原有的草量：288－12×12 ＝288-144 ＝144（份） 或240－12×8 =240-96 ＝144（份） ⑤可供多少头牛吃4天？ （144＋12×4）÷4 ＝（144+48）÷4 ＝192÷4 ＝48（头） 答：这片牧场可供48头牛吃4天。 【点睛】考查了牛吃草问题，解答这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量。 31．6天 【分析】设每人每天割1份草，根据题中的两种情况求出原草量和草的增长速度，再考虑49人几天可割尽。 【详解】 （份/天） （份） （天） 答：49人6天可割尽。 【点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，找出与经典牛吃草问题的对应关系，然后再按照牛吃草问题求解。 32．6根 【分析】设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为，池内原有水量为。要在小时内排尽池内的水，应当同时打开根出水管。 【详解】 ＝6÷3 ＝2 ＝6×3 ＝18 ＝4＋2 ＝6（根） 答：那么应当同时打开6根出水管。 【点睛】此题实际上是著名的“牛吃草问题”的变形，关键根据两次“如果”求出进水管每小时进水量是解题的关键。 33．99头 【分析】设每头牛每天吃1份，这样18头牛吃16天共18×16＝288份，而27头牛吃8天共27×8＝216份，多出来288－216＝72份就是16－8＝8天多长出来的，所以每天草长9份，这样原来草总共是288－9×16＝144份，现在牧场有6000平方米，所以是原来的3倍，所以现在草有144×3＝432份，每天长9×3＝27份，这样每天新长的草要27头牛吃，而原来的草要吃6天，要432÷6＝72头牛，所以总共要：72＋27＝99头牛。 【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析： 18头牛    16天    18×16＝288：原有草量＋16天自然增加的草量 27头牛     8天    27× 8＝216：原有草量＋8天自然增加的草量 从上看出：2000平方米的牧场上16－8＝8天生长草量是： 288－216＝72 所以1天生长草量是72÷8＝9； 那么2000平方米的牧场上原有草量： 288－16×9 ＝288－144 ＝144 或216－8×9 ＝216－72 ＝144 则6000平方米的牧场1天生长草量是： 9×（6000÷2000） ＝9×3 ＝27； 原有草量： 144×（6000÷2000） ＝144×3 ＝432 6天里，西侧草场共提供草： 432＋27×6 ＝432＋162 ＝594 可以让594÷6＝99（头）牛吃6天。 答：可供99头牛吃6天。 【点睛】牛吃草问题关键是求出原来牧场中草的份数和草每天生长的份数。 34．7小时12分钟 【分析】当水从进水口匀速流入的同时出水口以更快的速度排出，假设1个出水口1小时排1份水，就可以知道9个出水口9小时排水9×9＝81份，7个出水口18小时排水7×18＝126份，从而可以求出进水口每小时进水多少份，用9小时排水的份数－9小时进水的份数＝半池水的份数，也就知道了一满池水的份数，再用一满池水的份数÷（15个出水口1小时排水份数－进水口1小时的进水份数）就可以了。 【详解】假设1个出水口1小时的出水量为1份，则进水口1小时的进水量为： ＝45÷2 ＝5（份） 半池水的量为： ＝4×9 ＝36（份） 所以一池水的量为：36×2＝72（份）， 如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为： ＝72÷10 ＝7.2（小时） 即7小时12分钟。 答：如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过7小时12分水池刚好被排空。 【点睛】此题为复杂的工程问题，是牛吃草问题的变形，解决此题的关键是假设1个出水口1小时排1份水，进而可以求出进水口每小时进水多少份。 35．（1）5天（2）14头 【详解】试题分析：（1）设每头牛每天吃1份草．18头牛，则10天吃完草，说明10天长的草+原来的草共：18×10=180份； 24头牛，7天吃完，说明7天长的草+原来的草共24×7=168份； 所以（10﹣7=3）天长的草为180﹣168=12份，即每天长4份，这样原来草为180﹣4×10=140份，那么草地每天长的草够4头牛吃一天．如果放养32头牛，4头牛吃新长出的草，原来的草32﹣4=28头牛可以吃140÷28=5天． （2）那么草地每天长的草够4头牛吃．吃原来的140份，恰好14天吃完，要有的牛数140÷14=10（头）， 再加上每天新长出的草可共4头牛吃，所以要放养10+4头牛，才能恰好14天把草吃完． 解：（1）设每头牛每天吃1份草， 每天长出的草：（18×10﹣24×7）÷（10﹣7） =（180﹣168）÷3 =12÷3 =4（份） 原来的草：180﹣4×10=140（份） 放养32头牛可吃：140÷（32﹣4） =140÷28 =5（天） 答：如果放养32头牛，5天可以把草吃完． （2）吃原来的140份，恰好14天吃完，要有的牛：140÷14=10（头） 10+4=14（头） 答：要放养14头牛，才能恰好14天把草吃完． 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 36．10天 【详解】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。 37．8台 【分析】水库中的水相当于草，抽水机相当于牛，可以参照牛吃草的问题解法。先求出泉水每小时的渗水量和水库原有的蓄水量，继而求解。 【详解】解：设每台抽水机每小时抽水1份； 泉水每小时渗水量：（40×2-24×3）÷（40-24） =（80-72）÷16 =8÷16 =0.5（份） 水库原有水量：40×2-40×0.5 =80-20 =60（份） 需要抽水机的台数：（60+0.5×8）÷8 =（60+4）÷8 =64÷8 =8（台） 答：若要8小时抽干这个水库，需要这样的抽水机8台。 【点睛】求出泉水每小时的渗水量和水库原有的蓄水量是解答本题的关键。 38．6天 【分析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为： 。如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：（天）。 【详解】（40×4－5×30）÷（40－30） ＝10÷10 ＝1； （5－1）×30－（4－1）×30 ＝120－90 ＝30 30÷（4＋2－1） ＝30÷5 ＝6（天） 答：还可以再吃6天。 【点睛】此题属于典型的牛吃草问题，先求出原有草量以及每天草的生长量是解题关键。 39．18天 【分析】假设每辆汽车每天能运走的货物为1份，4辆9天能运4×9＝36份，5辆6天能运5×6＝30份，相差36－30＝6份，这6份就是仓库在9－6＝3天内进仓的，每天进仓6÷3＝2份，算出仓库原来有的份数，有多少份，若用1辆汽车运，就需要多少天运完。 【详解】设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为： （9×4－5×6）÷（9－6） ＝6÷3 ＝2 原有存货为： （4－2）×9 ＝2×9 ＝18 仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要： 18÷1＝18（天） 答：仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18天运完。 【点睛】本题考查了牛吃草问题，要理解第一种运法比第二种运法多用的3天中，还在运进货物，每天运进来的货物恰好就是两辆车运进来的货物之和。本题关键是得出仓库原来有的份数。 40．15周 【分析】设1头牛1周吃1份草，根据题中的两种情况，分别求出原草量和草的增长速度，然后再考虑第三种情况。 【详解】解：设1头牛1周吃1份草； （份/周） （份） 设15头牛可以吃x周； 答：可供15头牛吃15周。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，也可以列方程组进行求解。 41．没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头 【详解】解：设每头牛每天吃的草量为单位1， 由“17头牛30天可将草吃完”，得知总草量为：17×30＝510（1） 再由“19头牛24天可将草吃完”，求得总草量为19×24=456（2） 因为总草量（1）与总草量（2）的差510-456＝54（单位1） 所以总草量（1）比总草量（2）多长的时间为30一24=6（天） 牧场草每天生长的草量为54÷6=9 由此可知：牧场原有的草量为510-9×30＝240或者456－9×24＝240 由于牧场的草共生长的时间为6+2=8（天） 所以牧场生长的草量为9×8=72（单位1） 进而可知牧场在8天内的总草量为240+72=312（单位1） 假设没有卖牛，即让卖掉的4头牛也吃了8天，算得总草量为312+4×2＝320（单位1） 因此，这群牛的头数为320+8＝40（头） 答：没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头． 42．93.75亿人 【详解】要求地球上最多能养活多少人？就是使人类不断繁衍增长的人口的速度等于地球上新生成的资源的增长速度，所以要求出地球上一年新生的能源是多少？因为地球上新生成的资源的增长速度是一定的，所以可用（137.5亿人生活112.5年的总份数-112.5亿人生活262.5年的总份数）÷（两者的年数差）=一年新生的能源总份数． 解：设一亿人一年消耗的能源是1份． 那么一年新生的能源是： （262.5×112.5-137.5×112.5）÷（262.5-112.5） =112.5×（262.5-137.5）÷（262.5-112.5） =14062.5÷150 =93.75（份） 要想使得人类不断生存下去，则每年消耗的能源最多就是每年新生的能源，那么最多的人口是：93.75÷1=93.75（亿人）． 答：地球上最多能养活93.75亿人． 43．6头牛和1只羊每天要准备92千克的青草 【详解】试题分析：根据题意可以得出：8头牛+3只羊=136千克①，2头牛+2只羊=44千克②，用①﹣②即可求出6头牛和1只羊吃草的量． 解答：解：由题意可得： 8头牛+3只羊=136千克①， 2头牛+2只羊=44千克②， ①﹣②可得： 6头牛+1只羊=136﹣44=92千克 答：6头牛和1只羊每天要准备92千克的青草． 点评：解决这类问题的关键是利用牛吃的草量得出数量关系，可根据数量关系和要求的问题，适时的将条件进行转化． 44．17人 【详解】设每人每小时淘水1份，根据“如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．”可以求出每小时漏水的份数，列式是：（5×10-5×8）÷（10-5）=2（份）；进而可以求出原来水的份数：8×5-2×5=30（份）；现在要想在2小时内淘完，需要的人数为：（30+2×2）÷2=17（人）． 解：设每人每小时淘水1份． （1×10－5×8）÷（10－5） =10÷5 =2（份） （30＋2×2）÷2 =34÷2 =17（人） 答：现在要想在2小时内淘完，需要17人． 45．8点15分 【分析】从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质． 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题． 【详解】设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为，即1分钟来的人为，原有的人为：．这些人来到画展，所用时间为(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分． 46．8天 【详解】略 47．8个 【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪的量为“1”，根据“每小时增加的水量＝总量差÷时间差”，求出每小时增加的水量；再根据“原有水量超过安全线的部分＝（泄洪闸数－每小时增加的水量）×时间”，求出原有的水量超过安全线的部分；最后用原有水量÷时间＋每小时增加的水量，即可求出需要打开的泄洪闸数量。 【详解】设每个泄洪闸每小时泄洪的量为“1”，则水库每小时增加的水量为： （1×30－2×10）÷（30－10） ＝10÷20 ＝0.5 原有的水量超过安全线的部分有： （1－0.5）×30 ＝0.5×30 ＝15 如果要用个小时使水位降至安全线以下，至少需要打开泄洪闸的个数： 15÷2＋0.5 ＝8（个） 答：至少需要同时打开泄洪闸的数目为8个。 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，准确找到等量关系是解题的关键。 48．天 【分析】根据题目给出的两种情况，可以求出1200平方米的牧场的原草量和草的增长速度，然后可以求出3600平方米的牧场的原草量和草的增长速度，然后再考虑3600平方米的牧场可供75头牛吃多少天。 【详解】设一头牛一天吃1份草； 10头牛20天，10×20＝200，原有草量＋20天生长的草量， 15头牛10天，15×10＝150，原有草量＋10天生长的草量， 从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50， 即1天生长草量＝50÷10＝5； 那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。 则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15； 原有草量：100×（3600÷1200）＝300。 75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完。 答：可供75头牛吃5天。 【点睛】本题考查的是牛吃草问题，求出原草量和草的增长速度是求解问题的关键。 49．（1）12头（2）3天 【详解】试题分析：（1）设每头牛每天吃1份草．24只羊，则6天吃完草，说明6天长的草+原来的草共：24×6=144份； 21只羊，8天吃完，说明8天长的草+原来的草共21×8=168份； 所以（8﹣6=2）天长的草为168﹣144=24份，即每天长12份，这样原来草为144﹣6×12=72份，那么草地每天长的草够12头牛吃一天．若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛． （2）那么草地每天长的草够12头羊吃一天．如果放36头牛，那么让其中的12头吃长出来的草；还剩下36﹣12=24（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷24=3（天）． 解：（1）设每头牛每天吃1份草； 草的生长速度即每天长的份数为： （21×8﹣24×6）÷（8﹣6）， =（168﹣144）÷2， =24÷2， =12（份）； 那么草地每天长的草够12头牛吃一天，若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛； 答：最多放12头牛吃这片牧草，才能使这片草永远吃不完． （2）原来草的份数为：144﹣6×12=72（份） 如果放36头牛，那么让其中的12头吃长出来的草； 还剩下36﹣12=24（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷24=3（天）． 答：如果放牧36只牛，则3天可以吃完牧草． 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 50．3名 【分析】和解决牛吃草问题类似，需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量． 设每个打字员的打字速度为单位1／天（具体页数不知道，用单位1表示），比较“如果公司聘任5名打字员，24天就恰好打完所有材料；如果公司聘任9名打字员，12天就恰好打完所有材料．”可以得到：由“5名打字员，24天就恰好打完所有材料”得材料总量为 5×24＝120． 由“9名打字员，12天就恰好打完所有材料”，得材料总量为9×12＝108 比较这两个总量，可以得到材料每天的增加情况：（120-108）÷（24-12）=l进一步，可以得到原有材料的情况：120-24×1＝96（单位1）或者108-12×1＝96．最后，看一下所求问题中的总量，“工作8天之后，每天新增的材料少了一半，这些打字员共用40天恰好完成．”计算材料总量96+l×8+（40-8）×l÷2＝120 聘任的打字员人数为120÷40=3（名） 【详解】解：设每个打字员的打字速度为单位1／天． 材料每天增加：（5×24-9×12）÷（24-12）=1 原有材料：120-24×1=96  （或者108-12×1=96） 实际材料总量：96+l×8+（40-8）×l÷2=120 打字员人数为：120÷40=3（名） 答：公司聘任了3名打字员． 51．30头 【详解】每天新生的草量为：（10×20－15×10）÷（20－10）=5(份) 牧场原有草量为：10×20－5×20=100（份） 供吃4天的牛的头数：（100+5×4）÷4=30（头） 答：可供30头牛吃5天． 52．7台 【分析】根据已知条件“用3台同样的抽水机抽6天水量刚好充足，用4台这样的抽水机抽4天水量刚好充足”可求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，然后求出问题的解。 【详解】解：设每台抽水机每天的抽水量为1份。 每天的蒸发量： （3×6-4×4）÷（6-4） =（18-16）÷2 =2÷2 =1（份） 养殖厂需要的水量： 3×6-1×6=12（份） 2天内把水抽干需要抽水机的台数： （12+2×1）÷2 =（12+2）÷2 =14÷2 =7（台） 答：要在2天内把水量抽足，需要7台抽水机。 【点睛】求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，是解答本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$