2.2基本不等式10题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.2 基本不等式10题型分类 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1-1．（2024·宁夏银川·二模）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高三·全国·专题练习）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A．≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥ (a>0，b>0) 1-5．（2024高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 1-6．（2024高二上·陕西咸阳·期中）已知，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 2-1．（2024高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 2-2．（2024高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 2-4．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 2-5．（2024高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是 .(填序号) ①；②；③；④. 题型3：利用基本不等式证明不等式 3-1．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）已知是实数. (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值. 3-2．（2024高一上·陕西榆林·期末）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 3-3．（2024高一·全国·课后作业）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 3-4．（2024高一·江苏·假期作业）已知，，，且．求证：． 3-5．（2024高一下·甘肃兰州·期末）已知，，，求证：. 3-6．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，，且，求证：. （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 4-1．（2024高二下·陕西榆林·期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 4-2．（2024高二下·福建·学业考试）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高三·全国·专题练习），的最大值为 . 题型5：配凑法求最值 5-1．（2024高三·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 5-3．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 . 5-4．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 5-5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若，则的最小值为 ． 5-6．（2024高一上·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 题型6：常数代换法求最值 6-1．（2024高一上·全国·课后作业）已知，，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 6-2．（2024·浙江·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高一上·江西景德镇·期中）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6-4．（2024·安徽安庆·三模）已知非负数满足，则的最小值是 . 6-5．（2024高一上·重庆长寿·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 6-6．（2024高一上·广东梅州·期末）已知，，若，则的最小值为 . 题型7：消元法求最值 7-1．（2024·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 7-2．（2024高一上·四川眉山·阶段练习）设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 7-3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7-4．（2024高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 题型8：整体化求最值 8-1．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8-2．（2024高二下·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高二下·北京丰台·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 （四） 基本不等式的恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型9：基本不等式的恒成立问题 9-1．（2024高一·江苏·假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9-2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9-4．（2024高二下·重庆沙坪坝·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9-5．（2024高一上·山东·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 9-6．（2024高三上·江西·阶段练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9-7．（2024高三上·山西·阶段练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是 ． （五） 利用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型10：利用基本不等式解决实际问题 10-1．（2024高三下·湖南·阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 10-2．（2024高三·全国·专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元. 10-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 10-4．（2024高一下·山西太原·阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 10-5．（2024高一上·湖南岳阳·期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 一、单选题 1．（2024高二下·北京·期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 2．（2024高一下·河南·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C．9 D． 3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 4．（2024高一·全国·专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 5．（2024高三上·海南海口·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一上·北京·期末）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为（    ） A．20m B．50m C．m D．100m 8．（2024高二下·河北·期末）“”是“函数的最小值大于4”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024高二上·江苏常州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值4B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值 10．（2024高一上·江西·阶段练习）已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 11．（2024高三·全国·专题练习）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 12．（2024·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 13．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高三下·湖南邵阳·学业考试）已知，，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．36 15．（2024高一·全国·课后作业）已知，那么c的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 16．（2024高二下·浙江温州·学业考试）已知正数a，b满足，则最小值为（    ） A．25 B． C．26 D．19 17．（2024高一下·河南周口·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 18．（2024·湖北·二模）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 19．（2024高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 20．（湖南省张家界市民族中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（河南省TOP二十名校2023-2024学年高三上学期调研模拟卷二文科数学试题）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一·全国·单元测试）下列不等式恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 二、多选题 23．（2024高一上·广东珠海·期中）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 24．（江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 25．（2024高三·山东·开学考试）若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 26．（2024高一上·河北邯郸·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 27．（2024·河北唐山·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 28．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为 . 29．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为 30．（2024·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 . 31．（2024高三·全国·课后作业）设，则的取值范围是 ． 32．（2024高三·全国·专题练习）函数取得的最小值时，的值为 ． 33．（2024·陕西榆林·三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ，的最小值为 ． 34．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 35．（2024高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 36．（2024高二下·广东广州·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 37．（2024高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 四、解答题 38．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 39．（2024高三上·甘肃兰州·期中）设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.2 基本不等式10题型分类 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1-1．（2024·宁夏银川·二模）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 1-2．（2024高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 1-3．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A. 由时判断； B.直接利用基本不等式求解判断；C. 由时判断； D.由重要不等式判断； 【详解】A. 当时，，故错误； B. ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确； C. 当时，，故错误； D.由重要不等式得，故错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式的辨析和应用，属于基础题. 1-4．（2024高三·全国·专题练习）《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A．≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥ (a>0，b>0) 【答案】C 【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断选项. 【详解】由题意可知， 由 可知 ，即， 所以；在中，，即 当时，点重合， ，此时，所以错误； 在中，可得即， 所以， 由于，所以， 当时，,此时，所以正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故中的不等式无法通过这种几何方法来证明， 故选：C. 1-5．（2024高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 1-6．（2024高二上·陕西咸阳·期中）已知，且，则下列结论恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式，重要不等式，判断各选项正误即可. 【详解】对于A选项，由基本不等式，当时，有，当且仅当时取等号，故A错误. 对于B，当时，由基本不等式，，当且仅当时取等号.故B错误. 对于C，因，则，故C错误. 对于D，当时，，当且仅当时取等号. 当时，，当且仅当时取等号. 则时，.故D正确. 故选：D （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 2-1．（2024高二下·重庆·期末）阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球!”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意设出天平的两臂长，利用杠杆原理，即可解出． 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，， ，， 故选：A． 2-2．（2024高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 2-3．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【答案】C 【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项. 【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为， C选项中，两次提价后的水价为， D选项中，两次提价后的水价为， 因为，则，则， 所以，，则， 即， 由基本不等式可得， 所以，. 故选：C. 2-4．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：B 2-5．（2024高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是 .(填序号) ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】根据不等式的性质和基本不等式可以得到相关结论. 【详解】因为，所以，，，， 所以，，当时， 由基本不等式可知，所以， 由上可知，，，所以四个式子中最大． 故答案为：④. 题型3：利用基本不等式证明不等式 3-1．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）已知是实数. (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，当且仅当，时，不等式等号成立 (2)4 【分析】（1）作差法证明即可； （2）构造基本不等式，利用基本不等式解决即可. 【详解】（1）证明：因为 ， 所以， 当且仅当，时，不等式中等号成立. （2）， 当且仅当，即或时，不等式中等号成立. 所以的最小值为4. 3-2．（2024高一上·陕西榆林·期末）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）由运用基本不等式求乘积得最大值； （2）直接由基本不等式对已知等式进行放缩，证得结果. 【详解】（1）因为，所以. ， 当且仅当，，时，等号成立， 故的最大值为9. （2）证明：因为， 所以，又， 解得， 当且仅当时，等号成立. 故. 3-3．（2024高一·全国·课后作业）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，运用基本不等式得，可得证； （2）由基本不等式得，可得证. 【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； （2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题. 3-4．（2024高一·江苏·假期作业）已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【详解】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 3-5．（2024高一下·甘肃兰州·期末）已知，，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】三次利用基本不等式即可得证. 【详解】∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 同理：，， 当且仅当，时，等号成立， 以上三式相加得：， 当且当且仅当时，等号成立， 所以. 3-6．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，，且，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用把化为，展开利用基本不等式求最值即可证明. 【详解】因为，，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立. 故原题得证. （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 4-1．（2024高二下·陕西榆林·期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：A. 4-2．（2024高二下·福建·学业考试）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】，当且仅当“”时取等. 故的最小值为. 故选：D. 4-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 即的最大值为. 故选：C. 4-4．（2024高三·全国·专题练习），的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，所以，，由基本不等式可得 ，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最大值为. 故答案为：. 题型5：配凑法求最值 5-1．（2024高三·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】∵， , ∴， 当且仅当 时，即时等号成立， 因此，函数,的最大值为, 故选：C． 5-3．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 5-4．（2024高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 5-5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值. 【详解】因为，由基本不等式得：， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：3 5-6．（2024高一上·江苏泰州·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，将转化为关于的分式，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 题型6：常数代换法求最值 6-1．（2024高一上·全国·课后作业）已知，，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】将化为，即可将变形为，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】， ， （当且仅当时等号成立）， 故选：C 6-2．（2024·浙江·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】由题可得，，则， 所以 ， 当且仅当，即时，取得等号， 故选:C. 6-3．（2024高一上·江西景德镇·期中）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为x，，x＋2y＝1， 则 ， 当且仅当，即时取等. 故选：B. 6-4．（2024·安徽安庆·三模）已知非负数满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】根据题意，再构造等式利用基本不等式求解即可. 【详解】由，可得，当且仅当，即时取等号. 故答案为：4 6-5．（2024高一上·重庆长寿·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据正数，满足，可得， 再由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由正数，满足，可得， 所以， 当且仅当，，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 6-6．（2024高一上·广东梅州·期末）已知，，若，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】先移项，结合基本不等式把积化为和，可求答案 【详解】因为，，， 所以，即； 因为，当且仅当时取到等号， 所以， 解得或（舍） 所以当时，有最小值3. 故答案为：3 题型7：消元法求最值 7-1．（2024·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6， y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 7-2．（2024高一上·四川眉山·阶段练习）设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值. 【详解】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 7-3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为， 由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D 7-4．（2024高二下·广西北海·期末）若正数x，y满足 则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解. 【详解】由题设及，可得 . 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为4. 故选：C. 题型8：整体化求最值 8-1．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 8-2．（2024高二下·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式计算得出，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值． 【详解】，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立， . 故选：A. 8-3．（2024高二下·北京丰台·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式变形求解． 【详解】∵， 所以，当且仅当时等号成立， ，所以，当且仅当时取等号， 故选：C． （四） 基本不等式的恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型9：基本不等式的恒成立问题 9-1．（2024高一·江苏·假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围． 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 故选：D． 9-2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，化简后利用基本不等式可求出的最小值，然后将问题转化为大于的最小值，从而可求出实数的取值范围 【详解】因为两个正实数满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解， 所以大于的最小值，即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C 9-3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则. 故选：A. 9-4．（2024高二下·重庆沙坪坝·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【详解】由正实数x，y， ，则， 即， 当且仅当，即时，等号成立，则， 故选：A. 9-5．（2024高一上·山东·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据基本不等式得到，结合题意得到，即，再解不等式即可. 【详解】，当且仅当时等号成立， 解得，即. 因为不等式恒成立， 所以，即，解得. 故选：B 9-6．（2024高三上·江西·阶段练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】因为、，由已知可得， 因为，当且仅当时等号成立， 故实数的取值范围为， 故选：D． 9-7．（2024高三上·山西·阶段练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】利用基本不等式求出的最大值，即可得出结果. 【详解】， ，当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是化简式子利用基本不等式求出最大值. （五） 利用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型10：利用基本不等式解决实际问题 10-1．（2024高三下·湖南·阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 【答案】C 【分析】设米，则可表示出种植花卉区域的面积，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】设米,， 则种植花卉区域的面积． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即当米，米时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米, 故选：C 10-2．（2024高三·全国·专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元. 【答案】. 【分析】由题意可知年平均利润，然后利用基本不等式求其最值. 【详解】每台机器运转年的年平均利润为，而，故，当且仅当时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为万元. 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式的应用，较易，在应用基本不等式时注意“=”成立的条件. 10-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本． (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 【答案】(1) (2)6万元 【分析】（1）依题意求解即可； （2）由结合基本不等式求解即可. 【详解】（1） ． 因为，所以 （2）因为 ． 又因为，所以， 所以（当且仅当时取“”） 所以 即当万元时，取最大值30万元． 10-4．（2024高一下·山西太原·阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价． 【答案】，泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元． 【分析】根据矩形面积公式列出函数表达式，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为泳池的长为x米，则宽为米． 则总造价， 整理得到， 当且仅当时等号成立． 故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元． 10-5．（2024高一上·湖南岳阳·期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：． (1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式； (2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【答案】(1)， (2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）． 【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出关于的函数解析式； （2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元， 则， ，． （2）解：由（1）可得， ， 当且仅当，即时等号成立，此时． 所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）． 一、单选题 1．（2024高二下·北京·期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【分析】先将函数化简，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 2．（2024高一下·河南·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C．9 D． 【答案】B 【分析】将条件转化为，然后利用“1的代换”和基本不等式可得. 【详解】因为，变形得. 由题意，当且仅当，即时，等号成立． 故选：B. 3．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C 4．（2024高一·全国·专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 【答案】D 【分析】由基本不等式得出的最小值，进而得出实数m的取值范围. 【详解】∵x>0，y>0且， 当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立， 只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得. 故选：D 5．（2024高三上·海南海口·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围. 【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为. 故选：D. 6．（2024高一上·北京·期末）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解. 【详解】解：， 即， 即 又 当且仅当“”，即“”时等号成立， 即， 故. 故选：C. 7．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为（    ） A．20m B．50m C．m D．100m 【答案】B 【分析】设则可得阅读区面积，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】设,则 所以阅读区的面积 当即时取等号， 当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为， 故选：B. 8．（2024高二下·河北·期末）“”是“函数的最小值大于4”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可． 【详解】解：若，则的最小值为； 若的最小值大于4，则，且，则， 故选：C． 9．（2024高二上·江苏常州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值4B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【解析】根据基本不等式即可求出． 【详解】解：，， ， 当且仅当，即时取等号， 有最大值. 故选：D． 10．（2024高一上·江西·阶段练习）已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由已知得到，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值. 【详解】由得到，则， ， 当且仅当上式取等号，则的最大值为0. 故选：B. 11．（2024高三·全国·专题练习）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可. 【详解】当时 , 即，故. 故选:A. 12．（2024·北京东城·一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 13．（2024高一上·全国·课后作业）已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合等号成立的条件，即可求解. 【详解】由，可得， 则，当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值. 故选：B. 14．（2024高三下·湖南邵阳·学业考试）已知，，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 15．（2024高一·全国·课后作业）已知，那么c的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用基本不等式即可得解. 【详解】由于，所以， 当且仅当时，等号成立，即c的最大值为1， 故选：A. 16．（2024高二下·浙江温州·学业考试）已知正数a，b满足，则最小值为（    ） A．25 B． C．26 D．19 【答案】A 【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正数a，b满足， 所以 ，当且仅当，联立， 即时等号成立， 故选：A. 17．（2024高一下·河南周口·期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案. 【详解】由 （当且仅当时取等号）， 又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有， 可得的最小值为32． 故选：D． 18．（2024·湖北·二模）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解. 【详解】因为正数满足， 所以. 所以, 当且仅当，即时，取等号， 当时，取得的最小值为. 故选：A. 19．（2024高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算出. 【详解】因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：. 故选：B 20．（湖南省张家界市民族中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）设，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质，结合作差比较法逐一判断即可. 【详解】因为，所以； 因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 因此， 故选：D 21．（河南省TOP二十名校2023-2024学年高三上学期调研模拟卷二文科数学试题）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：C. 22．（2024高一·全国·单元测试）下列不等式恒成立的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】对于A、B、C：取特殊值否定结论；对于D：利用基本不等式直接证明. 【详解】对于A：取，，则，，此时. 故A错误； 对于B：取，，则，，此时. 故B错误； 对于C：取，，则，，此时. 故C错误； 对于D：因为，所以. 故D正确. 故选：D 二、多选题 23．（2024高一上·广东珠海·期中）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 【答案】BD 【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.对于函数，当时，，所以A选项错误. B.由于，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C.， 但无解，所以等号不成立，所以C选项错误. D.由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：BD 24．（江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，时，，但，B选项错误. C选项，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，C选项正确. D选项，时，，但，D选项错误. 故选：AC 25．（2024高三·山东·开学考试）若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】，当且仅当时等号成立， 则或， 则， 即AB错误，D正确. 对于C选项，，C选项正确. 故选：CD 26．（2024高一上·河北邯郸·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据作差法结合条件可判断AB，利用基本不等式可判断CD. 【详解】，且， 所以，即，故A错误，B正确； 所以，即，故C错误，D正确. 故选：BD. 27．（2024·河北唐山·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差法比较A、B、D的大小，利用基本不等式判断C即可. 【详解】，则，A对； ，而， 所以，即，B错； 且，仅当等号成立，而，故，C对； ，而， 所以，即，D对. 故选：ACD 三、填空题 28．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】变形，利用基本不等式求解. 【详解】，， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 29．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为 【答案】8 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8． 故答案为: 30．（2024·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 31．（2024高三·全国·课后作业）设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得和时的取值范围，即可得答案. 【详解】设函数，则当时，单调递增，此时； 当时，单调递减，此时， 故，则的取值范围是， 故答案为： 32．（2024高三·全国·专题练习）函数取得的最小值时，的值为 ． 【答案】4 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案. 【详解】.当且仅当，即时， 等号成立.故的最小值为6. 故答案为：4 33．（2024·陕西榆林·三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】当时，不等式对不恒成立，不符合题意（舍去）； 当时，要使得对恒成立， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 故答案为：；. 34．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 35．（2024高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 36．（2024高二下·广东广州·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解. 【详解】当时，不成立，所以. 由得. 因为，，所以，解得，即. 所以， 令，则，于是. 令，，则. 由对勾函数的图象知，在上单调递减，故. 所以，即的最大值为. 故答案为：. 37．（2024高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 【答案】/ 【分析】确定，，，得到答案. 【详解】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： 四、解答题 38．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时. 【解析】（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，将代入整理得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）∵， ∴， 当且仅当即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时； （2）令， 将代入得： ， ∵， ∴， 当且仅当， 即， 即时，等号成立. 故函数的最小值为5，此时. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题. 39．（2024高三上·甘肃兰州·期中）设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证； （2）根据，，，即可得证. 【详解】（1）由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，均为正数， 则，，，当且仅当时，不等式等号均成立， 则， 即，当且仅当时等号成立. 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$