1.1.2 数列的函数特性课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 1.2　数列的函数特性 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.能从函数的单调性方面研究数列的特性,并能画出有规律的简单数列的图象. 2.了解数列的函数特性. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　数列的增减性 一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫作递增数列.  如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. 注意n∈N+ 如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列. 注意n∈N+ 名师点睛 1.数列的增减性可以借助数列对应的图象直观理解,数列是一种特殊的函数,可以把数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数. 2.数列的图象是平面直角坐标系内的一串点. 思考辨析 1.数列0,1,0,1,…是常数列吗? 提示 根据常数列的定义知,常数列的各项均相等,故此数列不是常数列. 2.已知函数f(x)=x2-1,当x=1,2,3时对应的函数值分别是什么?这三个函数值按由小到大排列成一个数列,请作出该数列的图象. 提示 该数列为0,3,8,其图象如图所示. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.(　　) (2)无穷数列不可能是常数列.(　　) (3)常数列就是每一项都是常数的数列.(　　) (4)数列可以看作一个函数,其项就是项数的函数.(　　) × × × √ 2.在数列{an}中, ,则{an}(　　) A.是常数列 B.无法判断数列{an}的增减性 C.是递增数列 D.是递减数列 D 重难探究·能力素养速提升 探究点一　数列与函数的关系 【例1】 根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来. (1)an=(-1)n+2; 解 (1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1. 图象如图所示. 规律方法　数列是一个特殊的函数,因此也可以用图象来表示,以位置序号n为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,an),描点画图,就可以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),所以其图象是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的. 探究点二　数列的增减性 角度1.数列增减性的判断 【例2】 (1)作出下列数列的图象,并根据图象判断数列的增减性. ①数列{an}的通项公式是an=2n+3; ②数列{bn}的通项公式是bn= . 解 ①作图如下: 由图知数列{an}是递增数列. ②作图如下: 由图知数列{bn}是递减数列. (2)已知数列{an}的通项公式 (n∈N+),试判断该数列的增减性. 规律方法　数列增减性的判断方法 变式训练2[人教B版教材例题]已知函数f(x)= ,设数列{an}的通项公式为an=f(n),其中n∈N+. (1)求证:0≤an<1; (2)判断{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由. 角度2.利用数列的增减性求参数 【例3】 设函数 数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　) D 规律方法　利用数列{an}的增减性解决问题时,要结合函数单调性的知识,同时要注意数列本身的特性,如n的取值是正整数. 变式训练3已知数列{an}满足 (n∈N+),若对于任意n∈N+都有an>an+1,则实数a的取值范围是　　　　　.  探究点三　数列的最值 【例4】 (1)已知数列{an}满足an=n2-5n-6,n∈N+. ①数列中有哪些项是负数? ②当n为何值时,an取得最小值?求出此最小值. 分析①根据数列的函数的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根据二次函数的性质即可求出. 解 ①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6. ∵n∈N+,∴数列中第1,2,3,4,5项为负数, 即-10,-12,-12,-10,-6. (2)已知数列{an}的通项公式an=(n+1) (n∈N+),试问数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,请说明理由. ∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an. 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, ∴数列中有最大项,最大项的项数为第9,10项, 规律方法　求数列的最大(小)项的两种方法 (1)由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如增减性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件. 变式训练4(1)已知数列{an}的通项公式为an=-3n2+88n,则数列{an}各项中最大项是(　　) A.第13项 B.第14项 C.第15项 D.第16项 C 解析 根据题意,数列{an}的通项公式为an=-3n2+88n,则an-1=-3(n-1)2+88(n-1)=-3n2+94n-91,则an-an-1=(-3n2+88n)-(-3n2+94n-91)=-6n+91,当1≤n≤15时,an-an-1>0,即an>an-1,当n≥16时,an-an-1<0,即an<an-1,故数列{an}各项中最大项是第15项,故选C. ★(2)已知数列{an}的通项公式为an=2n×0.9n,求数列{an}中的最大项. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)数列的分类. (2)数列增减性的判断. (3)数列的最大值和最小值. 2.方法归纳:等价转化、分类讨论. 3.常见误区:忽略n∈N+. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 20 1.[探究点二(角度1)](多选题)若数列{an}为递减数列,则{an}的通项公式可能为(　　) A.an=-2n+1 B.an=-n2+3n+1 C.an= D.an=1 AC 解析 可以利用数列的函数特性一一判断,A,C中数列为递减数列,B中数列既不是递增数列,也不是递减数列,D中数列是常数列.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点一]函数f(x)定义如表,数列{xn}满足x1=2,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2 023等于(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B.2 C.4 D.5 B 解析 根据定义,可得x2=f(x1)=1,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=2,x5=f(x4)=1,x6=f(x5)=5,…,所以周期为3,故x2 023=x1=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点三]在数列{an}中,若an=n(n-8)-20,则该数列从第　　　　项开始递增,数列的最小值为　　　　.  4 -36 解析 由题意得,an+1-an=2n-7,令2n-7>0,得n> ,故数列{an}从第4项开始递增.an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,故当n=4时,{an}的最小值为a4=-36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点二(角度2)]已知对于任意的正整数n,an=n2+λn,若数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　　.  (-3,+∞) 解析 ∵{an}是递增数列, ∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0,对于任意的正整数n恒成立, 即λ>-2n-1对于任意的正整数n恒成立, 又n∈N+,当n=1时,(-2n-1)max=-3, ∴λ>-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点一·2024江苏苏州期末](1)当自变量x依次取1,2,3,…时,函数f(x)=2x+1的值构成数列{an},写出这个数列的前5项,并作出它的图象; (2)数列{an}的通项公式为 写出这个数列的前10项,并作出它的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解 (1)根据题意,依次将x的值代入函数f(x)=2x+1, 可得数列的前5项依次为3,5,7,9,11, 其图象如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点二(角度1)、探究点三]已知数列{an}的通项公式为 ,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1<a2<a3<a4, 当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4, 当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…, 所以{an}从第1项到第4项递增,从第5项起递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 8.已知 ,则数列{an}中相等的连续两项是(　　) A.第9项,第10项 B.第10项,第11项 C.第11项,第12项 D.第12项,第13项 B 解析 假设an=an+1,则有 ,解得n=10,所以相等的连续两项是第10项和第11项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.已知数列{an}满足a1=a,an+1= (n∈N+).若数列{an}是常数列,则a=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.(-1)n A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.对任意的a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N+),则函数y=f(x)的图象是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11. 已知数列{an}满足 ,则当an取得最小值时n的值为(　　) A.2 024 B.2 023或2 022 C.2 022 D.2 022或2 021 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.(多选题) 下列数列{an}中是递增数列的是(　　) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.(多选题)已知函数f(x)=-x2+2x+1,设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+),则此数列(　　) A.图象是二次函数y=-x2+2x+1的图象 B.是递减数列 C.从第3项往后各项均为负数 D.有两项为1 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.已知数列{an}的通项公式为 ,则数列{an}中的最大项为　　　　　.  a8和a9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.数列 中的最大项为　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.设an=-n2+10n+11,则数列{an}中第　　　　项的值最大.  5 解析 根据题意,an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,当n=5时,an取得最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 19.已知数列{an}的通项公式为an=n2-11n+ ,a5是数列{an}的最小项,则实数a的取值范围是(　　) A.[-40,-25] B.[-40,0] C.[-25,25] D.[-25,0] D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20.已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:数列{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 an= 解析 在数列{an}中,an==1+,由反比例函数的性质得{an}是递减数列. (2)an=. (2)a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=. 图象如图所示. an= 解 对任意n∈N+, 由通项公式an=得an+1-an=-(1-) =>0,即an+1>an(n∈N+),故数列{an}是递增数列. 解 (1)由题意可知an=f(n)==1-,又因为n∈N+,所以0<≤1, 因此0≤1-<1,即0≤an<1. (2)因为an+1-an=(1-)-(1-)=, 又因为n+1>n≥1,所以>0, 从而an+1-an>0,即an+1>an.因此{an}是递增数列. f(x)= A.,3 B.,3 C.(1,3) D.(2,3) 解析 结合函数的增减性,要使{an}是递增数列,则应有解得2<a<3,故选D. an= (,1) 解析 ∵对于任意的n∈N+都有an>an+1,∴数列{an}是递减数列,可知0<a<1. 当<a<1,n>8时,an=(-a)n+2为递减数列, 又(-a)×9+2<a8-7,解得a>,∴<a<1. ②an=n2-5n-6=,当n=2,3时,an取得最小值,最小值为-12. 分析数列{an}的通项公式计算an+1-an确定增减性求解最大(小)项 解 (方法一)∵an+1-an=(n+2)-(n+1), 即a9=a10=. (方法二)设ak是数列{an}的最大项, 则(k>1,k∈N+), 即 整理,得解得9≤k≤10, ∴k=9或k=10.又a1=<a9=a10,即数列{an}中的最大项为a9=a10=. (2)可以利用不等式组 (n>1,n∈N+)找到数列的最小项. 解 设an是数列{an}中的最大项,则 即 所以所以即9≤n≤10, 所以当n=9或n=10时,an最大, 最大项为a9=a10=2×10×0.910=20×0.910. 3.[探究点三]已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的最大项的值 是(　　) A. B. C. D. 解析 由an=,得a1=,a2=,a3=,a4=,a5=.又an=,n∈N+,且函数y=在(0,)内单调递增,在(,+∞)内单调递减,所以{an}的最大项的值为.故选B. an= (2)an=则数列的前10项依次为2,3,2,5,2,7,2,9,2,11, 其图象如下: an= 解 an+1-an=, 所以数列{an}的最大项为a5=a4=. 又a1<a2<0,当n≥3(n∈N+)时,an=≥0, 所以数列{an}的最小项为a1=-1. an= 解析 ∵数列{an}满足a1=a,an+1=(n∈N+), ∴a2=.∵数列{an}是常数列, ∴a=,解得a=-2.故选A. an= A.an=(n-3)2 B.an=- C.an=tan n D.an=ln 解析 对于A,结合对应函数y=(x-3)2在(-∞,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增,可知数列{an}不为递增数列; 对于B,结合对应函数y=-在R上单调递增,可知数列{an}为递增数列; 对于C,结合对应函数y=tan x的单调递增区间为,k∈Z,可知数列{an}不为递增数列; 对于D,由于an=ln=ln,结合对应函数y=ln在(0,+∞)内单调递增,所以数列{an}为递增数列. 故选BD. an= 解析 ∵数列{an}的通项公式为an=, ∴an+1-an=[9(n+2)-10(n+1)]=(8-n), ∴当n<8时,an+1>an;当n>8时,an+1<an;当n=8时,an+1=an, 故数列{an}中的最大项为a8和a9. 15.已知在数列{an}中,an+1=对任意正整数n都成立,且a7=,则a5=　　　　　　　　.  解析 由已知a7=,解得a6=. 又因为a6=,解得a5=1. {} 解析 设an=, 则an+1-an=, ∴当n≥3时,an+1<an, 当n<3时,an+1>an, ∴数列{}中的最大项为a3=. 18.已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N+). (1)判断是不是数列{an}中的项. (2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内. (3)在区间内有没有数列{an}中的项?若有,是第几项;若没有,请说明 理由. 解 (1)∵an=, ∴由an=,解得n=, ∵不是正整数,∴不是数列{an}中的项. (2)∵an==1-,n∈N+,0<<1,∴0<an<1, ∴数列{an}中的项都在区间(0,1)内. (3)令<an<,即, 则解得<n<. 又n∈N+,∴n=2. 故在区间内有数列{an}中的项,且只有一项,是第2项,a2=. (1)解 ∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n, ∴=-2n,即an-=-2n. ∴+2nan-1=0,解得an=-n±. ∵an>0,∴an=-n,n∈N+. (2)证明 ∵<1, 又an>0,∴an+1<an,故数列{an}是递减数列. $$