1.2.1 等差数列的概念及其通项公式（第1课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念. 2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 3.掌握等差数列的判断与证明方法. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　等差数列的概念 保障了定义中差式的全覆盖   对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的　　　　都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的　　　　,通常用字母d表示.  差 公差 名师点睛 等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项. (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征). (3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒. (4)公差可以是正数、负数、零. (5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列. (6)等差数列的定义式:an-an-1=d(n≥2). 思考辨析 若一个等差数列的公差d=0,则该数列具有什么特征? 提示 该数列为常数列,每项都相同. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　) (2)数列3,2,1是等差数列.(　　) (3)数列{an}的通项公式为 则{an}是等差数列.(　　) (4)等差数列{an}的增减性是由公差d决定的.(　　) × √ × √ 2.(多选题)下列数列是等差数列的是(　　) A.1,1,1,1,1　　　B.4,7,10,13,16 ABC 解析 由等差数列的定义得选项ABC是等差数列;选项D中,每一项与前一项的差不是同一个常数,故不是等差数列. 知识点2　等差数列的通项公式 若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.  当d≠0时,可以看成是an关于n的一次函数 名师点睛 1.等差数列的通项公式是关于四个基本量a1,d,n和an的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. 2.等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 思考辨析 已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列吗? 提示 数列{an}一定是等差数列,其首项为p+q,公差为p. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)等差数列的通项公式为an=a1+nd(其中a1为数列的首项,公差为d).(　　) (2)等差数列的通项公式中,an是关于项数n的一次函数.(　　) (3)如果等差数列的通项公式为an=2n+1,那么该数列的公差为2.(　　) × × √ 2.[人教B版教材例题]已知等差数列10,7,4,…, (1)求这个数列的第10项; (2)-56是不是这个数列中的项?-40呢?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由. 解 (1)记数列为{an},则由题意知a1=10,d=7-10=-3,因此数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-3)=-3n+13. 当n=10时,有a10=-3×10+13=-17,因此第10项为-17. (2)设-56是数列中的第n项,则-3n+13=-56, 解得n=23,所以-56是数列的第23项. 设-40是数列中的第n项,则-3n+13=-40, 解得n= ,由此可知-40不是数列中的项. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　等差数列的概念 【例1】 (多选题)下列命题中正确的是(　　) A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B.数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列 C.数列{2n+1},n∈N+是等差数列 D.数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3),则数列{an}是等差数列 BC 解析 A中,数列是公差为-2的等差数列;B中,a-1-a=a-2-(a-1)=a-3-(a-2)=-1,是公差为-1的等差数列;C中,an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2为常数,是等差数列;D中,a2-a1=0,an-an-1=2(n≥3),数列{an}不是等差数列. 规律方法　判断一个数列是不是等差数列,就是判断从该数列的第2项起,每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数.但当数列项数较多或是无穷数列时,逐一验证显然不行,这时可以验证an+1-an(n∈N+)是不是一个与n无关的常数. 变式训练1若数列{an}的通项公式为an=2n+5(n∈N+),则对此数列描述正确的是(　　) A.{an}是公差为2的等差数列 B.{an}是公差为5的等差数列 C.{an}是首项为5的等差数列 D.{an}是公差为n的等差数列 A 解析 ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴{an}是公差为2的等差数列. 探究点二　等差数列的通项公式 角度1.求等差数列的通项公式 【例2】 若数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an. 分析先求出a1,d,再求an. 角度2.利用通项公式判断项或求项 【例3】 在等差数列{an}中, (1)若a5=15,a17=39,试判断91是否为此数列中的项; (2)若a2=11,a8=5,求a10. ∴an=7+2(n-1)=2n+5.令2n+5=91,得n=43. ∵43为正整数,∴91是此数列中的项. ∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n,∴a10=13-10=3. 变式探究本例3(2)中,“求a10”改为“求an+2”. 解 由(2)知an=13-n, ∴an+2=13-(n+2)=11-n. 规律方法　等差数列通项公式的求法与应用技巧 1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差. 2.等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,n∈N+ 四个参数 a1,d,n,an “知三求一” 知a1,d,n,求an 知a1,d,an,求n 知a1,n,an,求d 知d,n,an,求a1 3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),当d≠0时,可把an看作自变量为n的一次函数. 变式训练2已知在等差数列{an}中,a5=-20,a20=-35,试求出该数列的通项公式. 解 设{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d(n∈N+),由已知得 故数列{an}的通项公式为an=-16+(n-1)×(-1)=-15-n,n∈N+. 变式训练3(1)求等差数列8,5,2,…的第20项; (2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项,如果是,是第几项? 解 设已知的等差数列为{an}. 由a1=8,a2=5,得公差d=a2-a1=5-8=-3,由n=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. 解 设已知的等差数列为{an}.由a1=-5,公差d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1. 由题意,令-401=-4n-1,解得n=100,即-401是这个数列的第100项. 探究点三　等差数列的判断与证明 【例4】 判断下列数列是否为等差数列. (1)在数列{an}中,an=3n+2; (2)在数列{an}中,an=n2+n. 分析根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数. 解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+),故该数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 规律方法　判断等差数列方法 (1)定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N+)⇔数列{an}是等差数列. (2)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列. 注意:①通项公式法不能作为证明方法.②若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等差数列的定义. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列的判断与证明. 2.方法归纳:等价转化. 3.常见误区:忽略n的取值范围. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 1.[探究点一](多选题)下列数列中,是等差数列的有(　　) A.4,5,6,7,8,… B.3,0,-3,0,-6,… C.0,0,0,0,… ACD 解析 选项A是以4为首项,以1为公差的等差数列;选项B后一项减前一项的差不是同一个常数,所以不是等差数列;选项C是常数列,所以是等差数列;选项D是以 为首项,以 为公差的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.[探究点二(角度2)]已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n(n∈N+),则它的公差d为(　　) A.2 B.3 C.-2 D.-3 C 解析 由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.[探究点一]已知在各项均不为零的等差数列{an}中,满足a1+a3= ,则a2等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 C 解析 ∵数列{an}为等差数列,∴a2-a1=a3-a2,∴a1+a3=2a2,∴2a2= ,解得a2=2(a2=0舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.[探究点三](多选题)已知下列数列的通项公式,其中是等差数列的 是(　 ) A.an=1-3n B.an=2n-3 C.an=2n D.an=3 ABD 解析 当n≥2时,对于A,an-an-1=1-3n-[1-3(n-1)]=-3,是等差数列;对于B,an-an-1 =2n-3-[2(n-1)-3]=2,是等差数列;对于C,an-an-1=2n-2n-1=2n-1,不是常数,不是等差数列;对于D,an-an-1=3-3=0,是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.[探究点一·2024山西阳泉期末]已知数列{an}满足+4,且a1=1,an>0,则a3=　　　　.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.[探究点二(角度1)]已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=　　　　　.  -4 解析 设等差数列{an}的公差为d, 由题意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7, 解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.[探究点二]在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7. (1)求数列的第10项; (2)问112是数列{an}的第几项? (3)在80到110之间有多少项? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 设数列{an}的公差为d, (1)a10=a1+9d=-2+27=25. (2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39,所以112是数列{an}的第39项. 所以n的取值为29,30,…,38,共10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.[探究点三]已知数列{an}中,a3=9,a5=5,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+),试判断数列{an}是否为等差数列?若是,求数列{an}的首项和公差;若不是,请说明理由. 解 因为an+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an(n∈N+),说明这个数列从第2项起,后一项减前一项所得的差始终相等,所以数列{an}是等差数列. 由a3=9,a5=5,可知a4=7,所以d=-2,所以a1=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 9.在等差数列{an}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=(　　) D 解析 等差数列{an}中,∵a2+a3+a4=6,a6=4, ∴3a1+6d=6,a1+5d=4, 解得d= ,故选D. 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于(　　) A.30 B.45 C.90 D.186 C 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为(　　) A.24 B.22 C.20 D.-8 A 解析 设公差为d, ∵a1+3a8+a15=120,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,∴5a8=120.∴a8=24. ∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24. 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.将1到2 021这2 021个数中,能被3除余1,且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a10等于(　　) A.190 B.211 C.232 D.253 A 解析 由题意可得an能被3除余1,且被7除余1,则an-1是21的倍数,即 an-1=21(n-1),即an=21n-20,∴a10=21×10-20=190. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.(多选题)已知等差数列{an}的首项为- ,若{an}从第6项起出现正数,则公差d的值可能为(　　) AC 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.(多选题)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N+)个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项,则k的值可能为(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 ABD 解析 由题意得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,∴在等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列,且下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列,则an=b1+(n-1)(k+1),∵b9是数列{an}的项,令1+(n-1)(k+1)=9,当n=2时,k=7,当n=3时,k=3,当n=5时,k=1,故k的值可能是1,3,7. 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.[2024贵州毕节月考]已知数列 是公差为1的等差数列,且a2=10,则an=　　　　　　.  n(n+1)+2n　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)数列{bn}是等差数列吗?试证明; (2)求数列{an}的通项公式. 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 19 18.[2024江苏盐城月考]已知等差数列{An}的首项为2,公差为8,在{An}中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{an},数列{an}的通项公式an=　　　　　　.  2n(n∈N+)　 解析 设数列{an}的公差为d'.由题意可知,a1=A1,a5=A2,于是a5-a1=A2-A1=8. 因为a5-a1=4d',所以4d'=8,所以d'=2, 所以an=2+(n-1)×2=2n(n∈N+). 19.已知等差数列{an}满足a3=5,a4+a6=18. (1)求{an}的通项公式; (2)若对一切n∈N+,an≥λn恒成立,求λ的取值范围. 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 an= C.,1, D.-3,-2,-1,1,2 解 设等差数列{an}的公差为d, 由题意,知解得 故an=a1+(n-1)d=+(n-1)×n+4. 解 (1)设公差为d.∵解得 (2)设公差为d.∵解得 解得 【例5】 已知数列{an}满足a1=4,an=4-(n>1),记bn=. (1)证明 bn+1-bn=. ∵b1=, ∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. (2)解 由(1)知bn=+(n-1)·n. ∵bn=,∴an=+2=+2. ∴数列{an}的通项公式为an=+2. 变式训练4已知在正项数列{an}中,a1=1,an+1-=an+. (1)数列{}是否为等差数列?说明理由; (2)求an. 解 (1)数列{}是等差数列,理由如下: ∵an+1-=an+, ∴an+1-an=,()·()=,且数列{an}是正项数列,即≠0,则=1. ∴数列{}为等差数列,首项=1,公差为1. (2)由(1)知{}是等差数列,公差d=1,∴+(n-1)d=1+(n-1)×1=n. ∴an=n2. D.,… 解析 由等差数列的定义可知=4,故{}是以4为公差的等差数列,所以+4=5,+4=9,又a3>0,所以a3=3. 则解得 (3)由80<3n-5<110,解得28<n<38, A.1 B.2 C. D. 解析 设数列{an}的公差为d,则 解得∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n, ∴b15=6×15=90. A. B. C. D. 解析 an=-+(n-1)d, ∵从第6项开始为正数, ∴a6=-+5d>0,a5=-+4d≤0, 解得<d≤,故选AC. 15.数列是等差数列,且a1=1,a4=-,那么a2 022=　　　　　.  - 解析 令bn=,因为a1=1,a4=-, 所以b1=1,b4=4,则{bn}的公差为=1, 所以bn=n,故an=-1, 所以a2 022=-1=-1=-. {} 解析 因为a2=10,所以=3. 因为数列{}是公差为1的等差数列, a1-2=-1=2, 所以=a1-2+(n-1)×1=n+1, 则an=n(n+1)+2n. 17.数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),设bn=. 解 (1)数列{bn}是等差数列. 证明如下:由已知可得,an+1=4-,则bn+1=, 所以bn+1-bn=. 所以数列{bn}是等差数列. (2)由(1)知,数列{bn}是等差数列,首项b1=,公差d=, 所以bn=b1+(n-1)d=(n-1)=, 所以,所以an=+2. 解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由a3=5,a4+a6=18,得 解得∴an=2n-1,n∈N+. (2)由an≥λn恒成立,得2n-1≥λn恒成立,即λ≤2-对一切n∈N+恒成立, 当n=1时,2-取最小值1,∴λ≤1,即λ的取值范围是(-∞,1]. $$