1.2.2 等差数列前n项和（第1课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 2.2　等差数列前n项和 第1课时　等差数列前n项和的推导及初步应用 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.探索并掌握等差数列前n项和公式的推导方法. 2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题. 3.理解Sn与an的关系,并能运用这个关系解决相关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　等差数列的前n项和 1.数列前n项和的定义 对首项为a1,公差为d的等差数列{an},设Sn是等差数列{an}的前n项和,即Sn=a1+a2+a3+…+an. 注意等式两端角标“n”的一致性 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若数列{an}的前n项和为Sn,则S1=a1.(　　) (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等.(　　) √ × 知识点2　等差数列的前n项和公式 名师点睛 1.两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一. 2.公式 表明等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 3.当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式 .用此公式时,有时要结合等差数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有Sn= (ak+an-k+1). 4.当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式 思考辨析 高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50迅速求出了此等差数列前100项的和.如果是求1+2+3+…+n(n∈N+),不知道共有奇数项还是偶数项怎么办? 提示 我们可以采用倒序相加法来回避这个问题: 设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n, 又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1, ∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1), ∴2Sn=n(n+1), ∴Sn= (n∈N+). 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.(　　) (2)1+2+3+…+100 .(　　) (3)等差数列的前n项和,等于其首项、第n项的等差中项的n倍.(　　) √ √ √ 2.[人教B版教材例题]已知等差数列{an}的公差为2,且a20=29,求这个等差数列前20项的和S20. 解 由等差数列的通项公式可得29=a1+19×2, 知识点3　数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an},设其前n项和为Sn,则有 　　 注意角标中n的取值限制 名师点睛 1.这一关系对任何数列都适用. 2.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得a1与利用a1=S1求得的a1相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式也适合n=1的情况,数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中,令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同,则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式不适合n=1的情况,数列的通项公式采用分段形式. 思考辨析 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2,则数列{an}是等差数列吗? 提示 当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1;n=1时适合上式,所以数列{an}是等差数列,公差为2. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若数列{an}的前n项和为Sn,则对于任意的n∈N+,an=Sn-Sn-1.(　　) (2)在数列{an}中,a5=S5-S4.(　　) × √ 2.若Sn=n2-3n+1,求数列{an}的通项公式. 解 ∵Sn=n2-3n+1,∴当n=1时,a1=S1=-1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-3n+1-[(n-1)2-3(n-1)+1]=n2-3n+1-(n2-5n+5)=2n-4. 经检验,当n=1时,an=2n-4不成立, 重难探究·能力素养速提升 探究点一　等差数列前n项和公式的基本运算 【例1】 在等差数列{an}中: (1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10; (2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n. 规律方法　等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 变式训练1(1) 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若4S1=3S2+S4,a5=5,则a10=(　　) A.3 B.7 C.11 D.15 D (2) 已知在等差数列{an}中,a1=2,a7=4a3, Sn为数列{an}的前n项和,则S10=(　　) A.115 B.110 C.-110 D.-115 D 探究点二　由数列{an}的前n项和Sn求an 【例2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn= ,则a5的值等于(　　) B ★(2)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+ n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 变式探究若将本例(2)中前n项和改为Sn=n2+ n+1,求数列{an}的通项公式. 规律方法　已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式an,先由a1=S1求得a1,再当n≥2时,an=Sn-Sn-1求得an的表达式,最后验证a1是否符合an的表达式,若符合则统一用一个式子表示,不符合则分段表示. 探究点三　等差数列在实际生活中的应用 【例3】 某文具店开业期间,用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品,其中最下面一层铅笔数为16根,从最下面一层开始,每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根,则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 B 解析 从下到上,铅笔数构成以16为首项,以-1为公差的等差数列,Sn=100, 整理得(n-8)(n-25)=0, 所以n=8或n=25, 当n=25时,a25=16-24=-8不合题意, 故n=8,a8=16-7=9.故选B. 规律方法　当建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数. 变式训练2李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1日开始,每个月的1日都存入1 000元,共存入3年. (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰,则3年后李先生一次可支取本息共多少元?(设每月存款的利息不计入下月本金,下同) (2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰,则李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元? 解 (1)每1 000元“教育储蓄”存一个月能得到的利息是 1 000×2.7‰=2.7(元). 第1个1 000元存36个月,得利息2.7×36(元); 第2个1 000元存35个月,得利息2.7×35(元); …… 第36个1 000元存1个月,得利息2.7×1(元). 因此,3年后李先生获得利息 2.7×36+2.7×35+…+2.7×1= ×36=1 798.2(元). 所以3年后李先生可支取的本息和为1 000×36+1 798.2=37 798.2(元). (2)每1 000元“零存整取”存一个月能得到的利息是 1 000×1.725‰=1.725(元), 因此,若是“零存整取”,3年后李先生获得利息1.725×36+1.725×35+…+1.725×1= ×36 =1 148.85(元). 因此,李先生多收益1 798.2-1 148.85=649.35(元). 即李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益649.35元. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等差数列前n项和公式的基本运算. (2)由数列{an}的前n项和Sn求an. (3)等差数列在实际生活中的应用. 2.方法归纳:方程(组)思想、分类讨论. 3.常见误区:(1)项数的确定不准确;(2)由数列{an}的前n项和Sn求an,忽略n≥2. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 20 1.[探究点一]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7等于(　　) A.49 B.42 C.35 D.28 B 解析 2a6-a8=a4=6,S7= (a1+a7)=7a4=42. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点一]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am+am-1= 73(m≥3),Sm=2 020,则m的值为(　　) A.100 B.101 C.200 D.202 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.[探究点一]在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和为( 　) A.44 B.88 C.99 D.110 B 解析 由等差数列的性质可知,a1+a11=a4+a8=16,故前11项的和为 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点一](多选题)在等差数列{an}中,公差为d,Sn是数列{an}的前n项和,若d=2,an=11,Sn=35,则a1等于(　　) A.-1 B.3 C.5 D.7 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点三·2024湖南湘潭模拟]小张的父亲经营着一家童鞋店,该店提供从25码到36.5码的童鞋,尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天,小张帮助他的父亲整理某一型号的童鞋,以便确定哪些尺寸需要进货,小张在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后,小张的父亲询问那些缺货尺寸是哪些,但小张无法找到标记缺货尺寸的进货单,他只记得其中一个尺寸是28.5码,并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.则另外一个缺货尺寸是(　　) A.28码 B.29.5码 C.32.5码 D.34码 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点一]在等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,d是公差,S10=4S5,则 =　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. [探究点一]已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N+),那么它的前n项和Sn=　　　　　.  n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点一]在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn=242,求n.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点二·2024黑龙江哈尔滨期末]已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=-2n2+15n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求Sn的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解 (1)等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+15n, 当n=1时,a1=S1=-2+15=13, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n2+15n-[-2(n-1)2+15(n-1)]=17-4n,显然a1=13满足an=-4n+17, 所以数列{an}的通项公式是an=-4n+17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 10.(多选题) 已知{an}是等差数列,其公差为d,前n项和为Sn,a10=10,S10=70,则(　　) A.a1=4 B.d= C.数列{an}为递减数列 D.数列是等差数列 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11.在等差数列{an}中, +2a3a8=9,且an<0,则S10等于(　　) A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为(　　) A.10 000 B.8 000 C.9 000 D.11 000 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.(多选题) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 ,则(　　) A.S11=0 B.a6=0 C.S6=S5 D.S7=S6 ABC 解析 因为{an}是等差数列,所以a5+a7=a1+a11=2a6. 从而a6=0,S11=0,故选项A,B正确; 又因为a6=S6-S5=0,即S6=S5,故选项C正确; 对于选项D,S7-S6=a7,根据题意无法判断a7是否为零,故选项D错误. 故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.(多选题) 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a4=4,则(　　) A.an=4n-8 B.an=2n-4 C.Sn=2n2-6n D.Sn=n2-3n BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 ,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200=　　　　.  100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a1a4=a5,则an=　　　　　.  3-n 解析 设等差数列{an}的公差为d, ∵a3=S5,a1a4=a5, ∴a1+2d=5a1+ d,a1(a1+3d)=a1+4d, 解得a1=2,d=-1, 则an=2-(n-1)=3-n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117, a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)若数列{bn}是等差数列,且 ,求非零常数c. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117, ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=13,S7=13a1. (1)求数列{an}的通项公式; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20.已知数列{an}的所有项均为正数,其前n项和为Sn,且 (1)证明:{an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)解 由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1,n∈N+. Sn= Sn= Sn=na1+d. = 由此可解得a1=-9.因此S20==200. an= 故an= 解 (1)(方法一)由已知条件得 解得 ∴S10=10a1+d=10×3+×4=210. (方法二)由已知条件得 ∴a1+a10=42,∴S10==5×42=210. (2)S7==7a4=42,解得a4=6. ∴Sn==510.∴n=20. 解析 设等差数列{an}的公差为d, 由 解得 ∴a10=a1+9d=-3+18=15. 解析 设数列{an}的公差为d,则由a7=4a3得2+6d=4(2+2d),解得d=-3,S10=10×2+×(-3)=-115. 故选D. A. B.- C. D.- 解析 a5=S5-S4==-. 解 根据Sn=a1+a2+…+an-1+an可知 Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2,n∈N+), 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n-,① 当n=1时,a1=S1=12+×1=,也满足①式. ∴数列{an}的通项公式为an=2n-,n∈N+. ∵an+1-an=2(n+1)--(2n-)=2, 故数列{an}是以为首项,2为公差的等差数列. 解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n-.① 当n=1时,a1=S1=12++1=,不符合①式. ∴an= 所以16n-=100, 解析 由题意知a1+am+a2+am-1=80,由等差数列的性质可知,a1+am=a2+am-1,故a1+am=40.Sm==20m=2 020,故m=101. S11==88. 解析 由题意知a1+(n-1)×2=11,① Sn=na1+×2=35,② 由①②解得a1=3或a1=-1. 解析 由题意得10a1+×10×9d=4(5a1+×5×4d),所以10a1+45d=20a1+40d,所以10a1=5d,所以. 解析 ∵等差数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N+),∴Sn==n2. 解 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d, 则解得 ∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=2n+10. (2)由Sn=na1+d以及a1=12,d=2,Sn=242,得方程242=12n+×2,即n2+11n-242=0, 解得n=11或n=-22(舍去).故n=11. (2)由于Sn=-2n2+15n=-2(n-)2+,而n∈N+,于是当n=4时,S4=28,所以Sn的最大值是28. 解析 由题意可得解得故A,B均正确;数列{an}为递增数列,C错误; Sn-Sn-1=4+(n-1)=n+(n≥2)不是常数,故数列{Sn}不是等差数列,D错误. 故选AB. 解析 由+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9, ∵an<0,∴a3+a8=-3, ∴S10==-15. 解析 由已知得{an+bn}为等差数列,故其前100项的和为S100==50×(25+75+100)=10 000. S11= 根据题意S11==a6, 又因为S11==11a6,所以11a6=a6, 解析 由题意,解得 所以an=-2+(n-1)·2=2n-4,Sn=-2n+=n2-3n. 故选BD. =a1+a200 解析 因为A,B,C三点共线(该直线不过原点O),所以a1+a200=1,所以S200==100. bn= ∴∴an=4n-3,n∈N+. (2)由(1)知,Sn=n×1+×4=2n2-n, ∴bn=.∴b1=,b2=,b3=. ∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, ∴2c2+c=0,∴c=-(c=0舍去). 经检验,c=-符合题意,∴c=-. (2)求证:{}是等差数列. (1)解 设等差数列{an}的公差为d, 由a4=13,S7=13a1,得a1+3d=13,7a1+d=13a1,解得a1=7,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n+5. (2)证明 结合(1)可得Sn=na1+d=7n+n2-n=n2+6n, 所以=n+3, 故=4,=(n+4)-(n+3)=1, 所以数列是以4为首项,1为公差的等差数列. 19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a3>0,a3+a4<0,则的取值范围是　　　　,的取值范围是　　　　.  (-,-2) (,1)　 Sn=an-(n∈N+). (1)证明 当n=1时,a1=S1=a1-, 解得a1=3或a1=-1(舍去). 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+2an-3)-+2an-1-3). 所以4an=+2an-2an-1, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2). 所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列. $$