1.2.2 等差数列前n项和（第2课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 2.2　等差数列前n项和 第2课时　等差数列前n项和的综合应用 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用. 2.掌握等差数列前n项和的最值的求法. 3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　等差数列前n项和的函数特征 等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 令A= ,B=a1- ,则Sn=An2+Bn. ①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常数函数,{an}是各项为0的常数列. ②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列. ③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 受n的取值的限制,画出的图象为平面直角坐标系内的一串点 名师点睛 1.等差数列{an}的前n项和Sn,有下面几种常见变形: 2.求等差数列前n项和最值的方法 (1)二次函数法:用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N+,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观. 3.求等差数列{an}的前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点. 思考辨析 1.若数列{an}的通项公式an=2n-37(n∈N+),则当n为何值时Sn取得最小值?   2.等差数列的前n项和Sn取得最大或最小值时的n唯一吗? 提示 由通项公式易知,a1,a2,…,a18都小于0, 所以当n=18时Sn取得最小值. 提示 不一定. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(　　) (2)等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则数列{an}的公差为2A.(　　) (3)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n= 取得.(　　) (4)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值.(　　) × √ √ × 2.[人教B版教材习题]等差数列14,11,8,…前多少项的和最大?为什么? 解 前5项和最大,因为前5项均是正数,从第6项开始为负数;也可以用二次函数的最值解决. 知识点2　等差数列{an}的前n项和Sn的性质 1.若{an}是等差数列,则 也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}的公差的 . 2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质: an是中间项 思考辨析 1.若{an}是公差为d的等差数列,那么a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是否也是等差数列?如果是,公差是多少? 提示 (a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d, (a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d. ∴a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为9d的等差数列. 2.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,前2n项和为S2n,前3n项和为S3n,试探索Sn,S2n-Sn,S3n-S2n之间的关系. 提示 S2n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd) =2Sn+n2d, 同样发现S3n=3Sn+3n2d,可以发现S2n-Sn=Sn+n2d,S3n-S2n=Sn+2n2d,…,是一个公差为n2d的等差数列. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若等差数列{an}的项数为2n-1,前n项和为Sn,则Sn=(2n-1)an.(　　) (2)若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则{an}不是等差数列.(　　) √ √ 2.已知一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为　　　　　　.  5 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=10,S6=30,求S9和S12的值. 解 (方法一)∵数列{an}为等差数列, ∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+S9-S6, ∴40=10+S9-30,∴S9=60. 又S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列, ∴2(S9-S6)=S6-S3+S12-S9, ∴2×30=20+S12-60,∴S12=100. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　等差数列前n项和的性质的应用 (2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m. 解 (方法一)在等差数列中, ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 规律方法　等差数列前n项和Sn的有关问题中,如果关于Sn的性质运用得当,可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. B 解析 因为等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn, (2)等差数列{an}的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和. (3)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数. 解 (方法一)设此等差数列为{an},公差为d,Sn为其前n项和,S奇、S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和. 由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项. 由性质知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11. 又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77, ∴(2n+1)a1+ d=77. ∴(2n+1)(a1+nd)=77. 又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7. 故这个数列的中间项为11,项数为7. ∴项数为2n+1=7. 又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11. 故中间项为11,项数为7. 探究点二　等差数列前n项和的综合运用 角度1.等差数列前n项和的最值问题 【例2】 (1)(多选题)在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N+),则下列说法正确的是(　　) A.若S3=S11,则必有S14=0 B.若S3=S11,则S7是{Sn}中的最大项 C.若S7>S8,则必有S8>S9 D.若S7>S8,则必有S6<S9 ABC 解析 根据等差数列的性质,若S3=S11,则S11-S3=4(a7+a8)=0,则a7+a8=0, S14= =7(a7+a8)=0,选项A正确;根据Sn的图象,当S3=S11时, ∵ =7,且d<0,∴S7是最大值,选项B正确;若S7>S8,则a8<0,且d<0,所以a9<0,所以S9-S8<0,即S8>S9,选项C正确;S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9,选项D错误.故选ABC. (2)在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值. (方法二)同方法一,求出公差d=-2. ∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. ∵a1=25>0, (方法三)同方法一,求出公差d=-2. ∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. ∴a13>0,a14<0. ∴当n=13时,Sn有最大值, 即S13=13×25+ ×(-2)=169. (方法四)同方法一,求出公差d=-2. 设Sn=An2+Bn. ∵S9=S17,∴当n=13时,Sn取得最大值, 即S13=13×25+ ×(-2)=169. 规律方法　1.等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形:①若a1>0,d<0,则Sn存在最大值,即所有非负项之和.②若a1<0,d>0,则Sn存在最小值,即所有非正项之和. 2.求等差数列前n项和Sn最值的方法:①寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用 来寻找.②运用二次函数求最值. 变式训练2[2024四川成都期中]已知Sn为等差数列{an}的前n项和,其中 a4=-5,S4=-32. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.  解得a1=-11,d=2, 故an=-11+(n-1)×2=2n-13. 故当n=6时,Sn取得最小值S6=62-12×6=-36. 角度2.含绝对值的等差数列求和问题 【例3】 (1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a8=6,S21=0,则数列{|an|}的前12项和T12为　　　　.  112 解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 所以an=20+(n-1)×(-2)=-2n+22. 令an=-2n+22≥0,解得n≤11, 所以当n≤11时,an≥0,则|an|=an; 当n=12时,an<0,此时|an|=-an,所以T12=|a1|+|a2|+…+|a12| =a1+a2+…+a11-a12=110-(-2)=112. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104. ∵n=1也适合上式, ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N+). 由an=-3n+104≥0,得n≤34 . 即当n≤34时,an>0; 当n≥35时,an<0. ★(2)已知数列{an}的前n项和 ,求数列{|an|}的前n项和Tn. (2)当n≥35时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn 变式探究 在本例(2)中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和. 规律方法　已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤 (1)确定通项公式an; (2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负; (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式; (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式. 探究点三　等差数列求和的实际应用 【例4】 7月份,有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件. (1)问7月的哪一天该款服装销售最多?最多售出几件? (2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.该款服装在社会上流行几天? 解 (1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N+,1≤n≤31),最多售出ak件. ∴7月13日该款服装销售最多,最多售出39件. (2)设Sn是数列{an}的前n项和, ∵S13=273>200, ∴当1≤n≤13时,由Sn>200,得12≤n≤13, 当14≤n≤31时,日销售量连续下降,由an<20,得23≤n≤31, ∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日). 规律方法　应用等差数列解决实际问题的一般思路 变式训练3某地去年9月份曾发生流感,据统计,9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人,此后,每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起,该地区医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到有效控制,每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. (1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者 人数. (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人?  解 (1)由题意,知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1=40,公差d=40的等差数列{an},所以9月10日的新感染者人数为a10=40+(10-1)×40=400. 从9月11日起,每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10,所以9月11日的新感染者人数为400-10=390. (2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为 9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1=390,公差d1=-10的等差数列{bn}, 又因为b20=390-10×19=200, 所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为 ,所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200+5 900=8 100(人). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等差数列前n项和的性质的应用. (2)等差数列前n项和的综合应用. (3)等差数列求和的实际应用. 2.方法归纳:转化化归、整体代换. 3.常见误区:(1)对公式Sm,S2m-Sm,S3m-S2m不理解乱用出错;(2)求数列{|an|}前n项和问题对分段形式不理解而出错. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点二(角度1)·2024北京西城期中]若等差数列{an}满足a9+a10+a11>0,a8+a13<0,则当{an}的前n项和最大时,n=(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 A 解析 等差数列{an}满足a9+a10+a11=3a10>0,a8+a13=a10+a11<0,故a11<0,则当{an}的前n项和最大时,n=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.[探究点二(角度1)](多选题)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的是(　　) A.{an}是递增数列 B.a10=-12 C.当n>4时,an<0 D.当n=3或n=4时,Sn取得最大值 BCD 解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,又a1=S1=6=-2×1+8,所以an=-2n+8,所以an+1-an=-2,则{an}是递减数列,故A错误;a10=-12,故B正确;当n>4时,an=8-2n<0,故C正确;由二次函数的知识得,当n=3或n=4时,Sn取得最大值,故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点一]已知等差数列{an}共有2n(n∈N+)项,若数列{an}中奇数项的和为190,偶数项的和为210,a1=1,则公差d的值为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点一]在等差数列{an}中,a1=-2 024,其前n项和为Sn,若 =2,则S2 024=　　　　.  -2 024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点一]设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是　　　　,项数是　　　　.  11 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. [探究点二(角度1)]设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当 Sn取得最大值时,n的值为　　　　　.  4或5 ∴a5=a1+4d=0,∴S4=S5且同时最大. ∴n=4或5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点二(角度2)]已知等差数列{an}满足a3=14,a6=5,其前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求|a1|+|a2|+…+|a10|的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 (1)设首项为a1,公差为d, ∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n. ∴当n≤7时,an>0,则|an|=an; 当n≥8时,an<0,则|an|=-an, ∴|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+a2+…+a7-(a8+a9+a10)=2S7-S10=89. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.[探究点二(角度1)]设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)数列{an}的前几项的和最大,并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 (1)∵a3=12,∴a1=12-2d. ∵S12>0,S13<0, 又由(1)知d<0,∴数列{an}的前6项为正数,从第7项起为负数.∴数列{an}的前6项和最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 10.已知在数列{an}中,a1=25,4an+1=4an-7,若其前n项和为Sn,则Sn的最大值为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.已知{an}为项数为2n+1的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 (　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.若数列{an}是等差数列,首项a1>0,公差d<0,且a2 019(a2 018+a2 019)>0, a2 020(a2 019+a2 020)<0,则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n 是(　　) A.4 039 B.4 038 C.4 037 D.4 036 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2 018>0,S2 019<0,则下列说法正确的是(　　) A.S1 009最大 B.|a1 009|>|a1 010| C.a1 010>0 D.S2 018+S2 019<0 AB 解析 ∵S2 018>0,S2 019<0, ∴a1 009+a1 010>0,a1 010<0, 可得a1 009>0,a1 010<0,|a1 009|>|a1 010|,故A,B都正确,C错误, 例如an=1 009.8-n,此时满足条件,但是D选项不成立,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.[2024湖北武汉月考]已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”图形.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时,“蚊香”的长度为(　　) A.14π B.18π C.30π D.44π D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17. 已知等差数列{an}的前n项和公式为Sn,2a3-a2=5,S5-S3=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若对∀n∈N+,Sn-an+λ≥0恒成立,求λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 (1)设等差数列的公差为d, 由题意可得2a3-a2=(a2+a4)-a2=a4=5, 且S5-S3=a4+a5=14,则a5=9, 可得d=a5-a4=4,a1=a4-3d=-7, 所以an=-7+4(n-1)=4n-11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 18.在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 (1)∵an+2-2an+1+an=0, ∴an+2-an+1=an+1-an, ∴{an}是等差数列,又a1=8,a4=2, ∴d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N+. (2)设数列{an}的前n项和为Sn, ∵an=10-2n,令an=0,得n=5. 当n>5时,an<0; 当n=5时,an=0; 当n<5时,an>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ∴当n>5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an) =S5-(Sn-S5)=2S5-Sn =2×(9×5-25)-9n+n2=n2-9n+40, 当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=9n-n2. (1)Sn=n·; (2)Sn=n2+(a1-)n; (3)n+(a1-)({}是公差为的等差数列). (2)通项公式法:当a1>0,d<0,时,Sn取得最大值;当a1<0,d>0,时,Sn取得最小值. - 3.两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为. {} (1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,. (2)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,. 解析 记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶,奇数项的和为S奇.由已知条件,得解得 又S偶-S奇=6d,所以d==5. (方法二)由{}也成等差数列,∴2·,∴10=,∴S9=60. 同理,2·,∴2×,∴S12=100. 【例1】 (1)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知 ,求的值; 解 . (方法二)在等差数列中,成等差数列, ∴, 变式训练1(1)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,若,则=(　　) A. B. C. D. 所以. 故选B. 解 设Sn是数列{an}的前n项和, 则数列{}是等差数列, 则,即, 解得S110=-110. 又由题意知 (方法二)由及等差数列项数为2n+1, 得,即,∴n=3. 规律方法　本题两种解法均使用性质“当等差数列项数为2n+1时, S奇-S偶=a中”,从而求得中间项.当求项数时,方法一用Sn=na1+求得n,更简单.可见牢记性质是快速解题的前提条件. 解 (方法一)设数列{an}的公差是d, ∵S9=S17,a1=25, ∴9×25+d=17×25+d, 解得d=-2.∴Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169. ∴当n=13时,Sn有最大值169. 由 又n∈N+,∴当n=13时,Sn有最大值,即S13=13×25+×(-2)=169. 解 (1)由题意得, (2)由(1)知,Sn=-11n+×2=n2-12n, 因为所以 即解得 解 a1=S1=-×12+×1=101, (1)当n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n. Sn=-n2+n =2× =n2-n+3 502. 故Tn= 解 因为an=3n-23,令3n-23≥0,得n≥, 所以当n≤7时,an<0;当n≥8时,an>0. 因此当n≤7时,Tn=-(a1+a2+…+an)=-=-n2+n; 当n≥8时,Tn=-(a1+a2+…+a7)+a8+…+an =-2(a1+a2+…+a7)+(a1+a2+…+a7)+a8+…+an=n2-n+154. 所以Tn= 由题意知解得 ∵an= ∴Sn= S10==2 200, T20==5 900 1.[探究点一]设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则=(　　) A.1 B.-1 C.2 D. 解析 =1. A.2 B.4 C. D. 解析 由题意得S奇==nan=190,S偶==nan+1=210, 所以S偶-S奇=n(an+1-an)=nd=210-190=20,S奇==nan=n[1+(n-1)d] =n+n(n-1)d=n+20(n-1)=190,所以n=10,d=2. 解析 由等差数列前n项和的性质可知,{}为等差数列,设其公差为d,则由=2,可得2d=2,即d=1,又=-2 024,∴=-2 024+(2 024-1)×1=-1,故S2 024=-2 024. 解析 设等差数列{an}的项数为2n+1(n∈N+),则S奇=a1+a3+…+a2n+1==(n+1)an+1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n==nan+1,所以,解得n=3,所以项数为2n+1=7,S奇-S偶=an+1,即a4=44-33=11为所求中间项. 解析 由解得 依题意得解得 (2)由(1)可得Sn=, 令an=23-3n>0,可得n<, ∴∴-<d<-3. 即d的取值范围为(-,-3). (2)∵S12>0,S13<0,∴∴a6>0, A.15 B.750 C. D. 11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(　　) A. B. C. D. 解析 因为等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3, 所以S11=S5,所以11a1+55d=(5a1+10d), 所以a1=-,则.故选A. A. B. C. D. 解析 S奇=,S偶=, ∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴. 解析 由题意,得数列{an}是递减数列,由a2 019(a2 018+a2 019)>0,且 a2 020(a2 019+a2 020)<0,可得a2 019>0,a2 020<0,且|a2 019|>|a2 020|,a2 019+a2 020>0, ∴S4 039=4 039a2 020<0,S4 038=4 038×=2 019(a2 019+a2 020)>0, ∴使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4 038. ∴>0,=2 019a1 010<0, ,则=　　　　.  解析 ∵,∴=10. (2)由(1)可得Sn==2n2-9n,则Sn-an+λ=(2n2-9n)-(4n-11)+λ=2n2-13n+λ+11,因为y=2n2-13n+λ+11=2+λ-,且n∈N+,则当n=3时,y=2n2-13n+λ+11取到最小值λ-10,可得λ-10≥0,即λ≥10,所以λ的取值范围为[10,+∞). 则Sn=8n+×(-2)=9n-n2. ∴Tn= $$