1.5 数学归纳法课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第一章　数列 5　数学归纳法 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数列中的命题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　数学归纳法的定义 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是: 不要误以为n0=1 (1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题 成立; (2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 名师点睛 数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写 如下: 条件:(1)证P(n0)为真;(2)证若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真,结论: P(n)为真. 第一步验证了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真; 第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)为真,则P(k+1)也为真. 只要将这两个步骤完成,就有P(n0)为真,P(k)真,P(k+1)真……,从而完成 证明. 思考辨析 1.数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示 不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3. 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步应验证n的值是多少? 提示 n=4. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳 假设.(　　) (2)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(　　) (3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数一定只增加了 一项.(　　) × × × 2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+ (n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,左边增加的项数为　　　　.  2k　 解析 左边增加的项为(2k+1)+(2k+2)+…+2k+1,共2k+1-2k=2k项. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　对数学归纳法原理的理解 【例1】 (1)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于　　　.  6 解析 由题意,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于6. ★(2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的过程如下: ①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k= =2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.由此可知对于任意正整数n等式都成立. 上述证明,错误是　　　　　　　　　.  未用归纳假设 解析 本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符. 规律方法　数学归纳法的三个注意点 (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1所对应的命题时,一定要利用归纳假设. A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 D 解析 在证明n=k+1所对应的命题时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法. 探究点一　用数学归纳法证明等式 规律方法　用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况; (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 探究点三　用数学归纳法证明不等式 规律方法　用数学归纳法证明不等式的四个关键 探究点四　用数学归纳法证明数列问题 【例4】 已知数列{an},a1=1,an+1= (n=1,2,3,…). (1)求a2,a3,a4,a5; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. (2)由(1)猜想an=. 下面利用数学归纳法证明: ①当n=1时,a1=1,等式成立. 规律方法　“归纳—猜想—证明”的一般步骤 (1)求a2,a3,a4的值; (2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)数学归纳法证明等式. (2)数学归纳法证明不等式. (3)数学归纳法证明数列问题. 2.方法归纳:数学归纳法. 3.常见误区:n的第一个取值不正确;当n=k+1时,添加的式子不正确. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 16 17 18 A.假设n=k(k∈N+)时命题成立 B.假设n≥k(k∈N+)时命题成立 C.假设n=2k(k∈N+)时命题成立 D.假设n=2k+1(k∈N+)时命题成立 C 解析 题目要求是对n为正偶数,等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点一]在用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1) (n∈N+)的过程中,从“k到k+1”左边需增乘的代数式为(　　) A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) D.2(2k+1) C 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. [探究点四]已知数列{an}满足an+1an-2n2(an+1-an)+1=0,且a1=1,其前n项和为Sn,则S15=(　　) A.196 B.225 C.256 D.289 B 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. [探究点一]用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于　　　　.  6 解析 由题意,当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时,初始值n0应等于6. 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. [探究点一]用数学归纳法证明 .假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 　 　　　　　　　　　　　　.  16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点二·2024南京鼓楼校级月考]使用数学归纳法证明等式: 1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+). 证明 (1)当n=1时,左边=1,右边=12=1,∴等式成立; (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,1+3+5+…+(2k-1)=k2成立, 那么当n=k+1时,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2成立; 由(1),(2)可知1+3+5+…+(2n-1)=n2对于任意正整数n都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点四·2024上海松江期中]设Sn为数列{an}的前n项和,满足 (1)求a1,a2,a3,a4的值,并由此猜想数列{an}的通项公式an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)证明 ①当n=1时,a1=3,猜想成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,猜想成立,即ak=3k. 即ak+1=3ak=3k+1. 所以当n=k+1时,猜想成立. 由①②可知,猜想an=3n对任意正整数n都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系; (2)用数学归纳法证明f(n)≤g(n). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)证明 ①当n=1时,由(1)知不等式成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.(多选题)在数学上,斐波那契数列{an}可以用递推的方法来定义a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N+),则(　　) A.a1+a3+a5+…+a2 021=a2 022 B.a1+a2+a3+…+a2 020=a2 022 ACD B 级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 则下列说法错误的是(　　) A.过程全部正确 B.n=1的验证不正确 C.n=k的归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 ABC 解析 当n=k+1时,没有应用当n=k时的假设,即从n=k到n=k+1的推理不 正确. 故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.下列命题总成立的是(　　) A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立 B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立 AD 解析 若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,A正确.B,C显然错误.若f(4)≥5成立,由题意,得当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确.所以选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.在用数学归纳法证明“f(n)= <1(n∈N+,n≥3)”的过程中,假设当n=k(k∈N+,k≥3)时,不等式f(k)<1成立,当证明n=k+1,f(k+1)<1也 成立时,若f(k+1)=f(k)+g(k),则g(k)=　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.[2024浦东新区期末]用数学归纳法证明“当n∈N+时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时,f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3k+1=f(k)+A,则A的表达式为　　　　　　　.  A=4(5k+3k-1) 解析 因为f(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1 =5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1), 故A=4(5k+3k-1). 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.试比较2n+2与n2的大小(n∈N+),并用数学归纳法证明你的结论. 解 当n=1时,21+2=4>n2=1, 当n=2时,22+2=6>n2=4, 当n=3时,23+2=10>n2=9, 当n=4时,24+2=18>n2=16, 由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N+)成立. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,21+2>12,所以原不等式成立. 当n=2时,22+2>22,所以原不等式成立. 当n=3时,23+2>32,所以原不等式成立. (2)假设当n=k时(k≥3且k∈N+)时,不等式成立, 即2k+2>k2. 当n=k+1时,2k+1+2=2×2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2. 又2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0, 即2k2-2≥(k+1)2, 故2k+1+2>(k+1)2成立. 根据(1)和(2),原不等式对于任意n∈N+都成立. 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且 -(an+2)Sn+1=0. (1)求S1,S2,S3,并猜想Sn(n∈N+); (2)用数学归纳法证明你的猜想. 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 18.[2024江苏南京期末]观察下列不等式:5+3≥8,25+9≥32,125+27≥128, 625+81≥512,……. (1)根据这些不等式,归纳出一个关于正整数n的命题; (2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题. 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)解 不等式可写为:5+3≥23,52+32≥25,53+33≥27,54+34≥29,所以归纳得到命题:5n+3n≥ (n∈N+). (2)证明 ①当n=1时,5+3≥8成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,5k+3k≥22k+1, 则当n=k+1时,5k+1+3k+1=5×5k+3×3k=(4+1)×5k+(4-1)×3k =4×(5k+3k)+5k-3k≥4×22k+1+5k-3k≥22(k+1)+1,即n=k+1时,命题也成立, 由①②可知,5n+3n≥ . 3.证明:+…+(n∈N+). 证明 (1)当n=1时,左边=,右边=,所以等式成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即有+…+, 那么当n=k+1时,+…+. 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对任意正整数n等式都成立. 变式训练1对于不等式<n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时,<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时, =(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法(　　) 【例2】用数学归纳法证明:+…+(n∈N+). 证明 ①当n=1时,成立. ②假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即有+…+, 则当n=k+1时,+…+, 即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N+等式都成立. 变式训练2求证:1-+…++…+(n∈N+). 证明 ①当n=1时,左边=1-,右边=,所以等式成立. ②假设n=k(k∈N+)时,1-+…++…+成立. 那么当n=k+1时, 1-+…+ +…+ =+…++[] =+…+, 所以n=k+1时,等式也成立. 综上所述,对于任何n∈N+,等式都成立. 【例3】 用数学归纳法证明1+≤1++…++n(n∈N+). 证明 (1)当n=1时,左式=1+, 右式=+1,所以≤1+,命题成立. (2)假设当n=k(k∈N+)时,命题成立, 即1+≤1++…++k, 则当n=k+1时,1++…++…+>1++2k·=1+. 又1++…++…++k+2k·+(k+1), 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)和(2)可知,命题对所有的n∈N+都成立. 变式训练3用数学归纳法证明:1++…+<2-(n≥2,n∈N+). 证明 (1)当n=2时,1+<2-,命题成立. (2)假设n=k时命题成立, 即1++…+<2-. 当n=k+1时,1++…+<2-<2- =2-=2-.命题成立. 由(1)和(2)知原不等式在n≥2,n∈N+时均成立. 解 (1)因为a1=1,an+1=(n=1,2,3,…), 所以a2=, 同理可得a3=,a4=,a5=. ②假设当n=k时,等式成立,即ak=. 那么,当n=k+1(k∈N+)时,ak+1=. 因此当n=k+1时,等式成立. 由①和②可知,∀n∈N+,an=成立, 即{an}的通项公式为an=. 变式训练4已知数列{an}满足a1=,前n项和Sn=an. 解 (1)∵a1=,前n项和Sn=an, ∴令n=2,得a1+a2=3a2,∴a2=a1=. 令n=3,得a1+a2+a3=6a3,∴a3=. 令n=4,得a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4=. 即Sk+ak+1=·ak+1,∴+ak+1=·ak+1, ∴·ak+1=,∴ak+1=,∴当n=k+1时结论成立. 由①②可知,对一切n∈N+都有an=成立. (2)猜想an=,下面用数学归纳法给出证明. ①当n=1时,a1=,结论成立; ②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,结论成立,即ak=, 则当n=k+1时,Sk=·ak=,Sk+1=·ak+1, 1.[探究点一]用数学归纳法证明:对任意正偶数n,均有1-+…+=2(+…+),在验证n=2正确后,归纳假设应写成(　　) C. 4. [探究点一]用数学归纳法证明:1++…+时,由n=k到n=k+1时,等式左边需要添加的项是(　　) A. B. C. D. +…+ +…+　 解析 观察不等式中各项的分母变化,知n=k+1时,应推证的目标不等式为+…+. Sn=an-(n∈N+). (1)解 当n=1时,S1=a1-=a1,则a1=3. 当n=2时,S2=a2-,a1+a2=a2-,a2=32. 当n=3时,S3=a3-,a1+a2+a3=a3-,a3=33. 当n=4时,S4=a4-,a1+a2+a3+a4=a4-,a4=34. 猜想an=3n. 那么,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=ak+1-ak, 9.[探究点三]已知f(n)=1++…+,g(n)=,n∈N+. (1)解 当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1); 当n=2时,f(2)=,g(2)=,所以f(2)<g(2); 当n=3时,f(3)=,g(3)=,所以f(3)<g(3). 即1++…+, 则当n=k+1时, f(k+1)=f(k)+. 因为<0, 所以f(k+1)<=g(k+1). 由①②可知,对任意正整数n都有f(n)≤g(n)成立. C.+…+=a2 021a2 022 D.+…+ 11.用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N+,n≥2)时,可将其转化为证明(　　) A.+…+(n∈N+,n≥2) B.+…+(n∈N+,n≥2) C.+…+(n∈N+,n≥2) D.+…+(n∈N+,n≥2) 12.对于不等式<n+2(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下: ①当n=1时,<1+2,不等式成立; ②假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即<k+2, 则当n=k+1时,=(k+1)+2. 故当n=k+1时,不等式成立. +…+ (1)解 ∵-(an+2)Sn+1=0, ∴当n=1时,-(a1+2)S1+1=0, 解得a1=,∴S1=a1=, 当n=2时,-(a2+2)S2+1=0, 解得a2=,S2=, 当n=3时,-(a3+2)S3+1=0, 解得a3=,S3=, ∴归纳上述结果,可得猜想Sn=. (2)证明 下面用数学归纳法证明这个猜想. ①当n=1时,S1=成立. ②假设当n=k(k≥1)时等式成立,即Sk=, 那么,当n=k+1时,-(ak+1+2)Sk+1+1=0, 则-(Sk+1-+2)Sk+1+1=0,∴Sk+1=, 这就是说当n=k+1时等式也成立. 根据①和②,可知猜想Sn=对于任意正整数n都成立. $$