小升初典型奥数：工程问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

工程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 工程问题公式 （1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效； 工作总量÷工效＝工时． （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间． （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．） 解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程。B工程的工作量比A工程的工作量多。甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程。那么，丙队与乙队合作了多少天？ 【答案】15天 【分析】先整体考虑，求出三人完成A，B两项工程所需要的时间，然后求出这段时间里乙完成的工程量，B剩下的一部分工程量是丙完成的，求出这部分的工程量是多少，除以工作效率即可。 【详解】设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为，A、B两项工程的工程总量为1＋＝； 而甲、乙、丙合作时的工作效率为＋＋＝，甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时完成时所需的时间为÷＝18（天） 在这18天，乙完成18×＝的工程量，则B工程中剩下的－＝的工程量是由丙帮助完成，即÷＝15（天） 答：丙队与乙队合作了15天。 【点睛】对于这种“帮忙型”的工程问题，整体考虑是解题的关键，先整体分析，再局部分析。 例题2：一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天？ 【答案】48天 【分析】根据题目给出的三种情况，可以分别求出甲、乙，乙、丙，丙、甲的工作效率，观察发现2（甲＋乙＋丙）＝（甲＋乙）＋（乙＋丙）＋（甲＋丙），可以求出甲、乙、丙的工作效率之和，进而求出丙的工作效率，以及丙所需的时间。 【详解】＋＋＝ 甲、乙、丙的工作效率之和为： ÷2＝ 那么丙单独工作的工作效率为： －＝ （天） 答：丙一个人来做，完成这项工作需48天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求出丙的工作效率是求解问题的关键。 例题3：甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天。现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天。问丙队与乙队合做了多少天？ 【答案】天 【分析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设 A工程的工作总量为单位“1”，那么B工程的工作量就是“”，先求出总共的工作时间，再确定丙帮乙做了几天。 【详解】三队合作完成两项工程所用的天数为： （天） 天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为； 剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了 （天） 答：丙队与乙队合作了天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求解问题的关键是先整体考虑问题，得到工作时间是多少。 第三部分 高频真题 1．甲、乙两组加工一批零件，甲组每天比乙组多加工 100 个，中途乙组因事停工了 5 天，20 天后，甲加工的零件个数正好是乙加工的 2 倍，这时，两组各加工零件多少个？ 2．一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 3．蓄水池装有甲、乙两根进水管和丙出水管。单开甲进水管，注满空蓄水池需要5小时；单开乙进水管，注满空蓄水池需要6小时。单开丙出水管，排光一池水要4小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时，多少小时后，第一次有水溢出水池？ 4．一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 5．一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？ 6．师、徒两个做零件2300个，师傅先做了5分钟后师徒两人合作10分钟完成．如果师傅每分钟比徒弟多做20个．求师、徒两人每分钟各做多少个？ 7．一项工程，甲乙两队合作6天能完成，已知单独做甲完成与乙完成所需时间相等，问单独做甲乙各需多少天？ 8．一件工作，甲做了5小时以后由乙来做，3小时可以完成．乙做9小时后由甲来做，也是3小时可以完成，那么甲做1小时后由乙来做，乙多少小时可以完成？ 9．有甲、乙、丙三组工人，甲组4人的工作，乙组需要5人来完成；乙组的3人工作，丙组需要8人来完成．一项工作，需要甲组13人来完成，乙组15人3天来完成．如果让丙组10人去做，需要多少天来完成？ 10．一件工作，甲单独做12小时完成，现在甲、乙合作2小时后甲因事外出，剩的工作乙又用了5小时做完，如果这项工作由乙单独做需要几小时？ 11．甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？ 12．一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天．求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？ 13．蓄水池有一条进水管和一条出水管。要灌满一池水，单开进水管需要5小时，排光一池水，单开排水管需三小时。现在池内有半池水，如按进水，排水的顺序，轮流各开一小时，问多少时间后水池的水排完？（精确到分） 14．某仓库内有一批货物，如果用3辆大卡车，4天可以运完；如果用4辆小卡车，5天可以运完；如果用20辆手推车，6天可以运完．现在先用2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后，全部改用手推车运，必须在两天内运完，那么后两天每天至少需要多少辆手推车？ 15．有甲乙两个工程，现分别由A、B两个施工队完成．在晴天A队完成工程需要8天，B队完成工程需要12天，在雨天，A施工队的工作效率下降60﹪，B施工队的工作效率下降20﹪．最后两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有多少天？ 16．一项工程，甲队独做要120天完成，如果甲队先做10天，乙队再做5天，就可以完成这项工程的，乙队单独做这项工程需要多少天？ 17．甲、乙两个工厂都要安装 240 台电脑，乙工厂每小时安装 24台，当甲工厂完成任务时，乙工厂还有48 台没有装好，甲工厂每小时装多少台？ 18．甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个。这时乙开始提高工作效率，又用了小时完成了全部加工任务。这时甲还剩下20个零件没完成。求乙提高工效后每小时加工零件多少个？ 19．一项工程，若请甲工程队单独做需个月完成，每月要耗资万元；若请乙工程队单独做此项工程需个月完成，每月耗资万元。 （1）请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ （2）现要求最迟个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金。 20．蓄水池有甲，乙，丙三个进水管，甲，乙，丙三个进水管单独灌满一池水依次需要10，12，15小时，上午8点三个管同时开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池才被放满，问甲管何时被关闭？ 21．有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了20个零件．这批零件共有多少个？ 22．甲、乙两个车间织布，原计划每天共织700m，现技术改进，甲车间每天多织布100m，乙车间的日产量提高一倍，这样，两车间一天共织了1020m．甲、乙两车间原计划每天各织布多少米？ 23．一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 24．一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 25．王师傅加工一批零件，每小时加工120个，当加工了全部任务的多60个时，工作效率降低，只有原来的75%，这样加工完成全部零件，比计划的时间多用了20分钟，这批零件一共有多少个？ 26．有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管．进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水．后来有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已经注入了一些水）．如果把8根进水管全部打开，需要3小时把池内的水全部排出；如果仅打开5根出水管，需要6小时把池内的水全部排光．问要想在4.5小时内把池内的水全部排出，需要同时打开几根出水管？ 27．一段地下管道预计 15 个工人每天工作 4 小时，18 天可以完成，后来要求加快速度，每天增加 3 人，并且每天工作时间增加 1 小时，那么，可以提前几天完成？ 28．某洗衣机厂原计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25%，请问完成计划还需要多少天？ 29．李师傅加工一批零件，第一天加工了48个，第二天比第一天多加工25％，第三天比第二天多加工5％，三天共完成这批零件的95％．这批零件共有多少个？ 30．甲、乙两人合挖一条水渠，挖了2天，为了保证按时完成任务，又找来丙一起挖，三个人又挖了2天完成了全部工程，并得到工资800元，他们3人各应分配多少钱才合理？（每人工效相同） 31．一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．若甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲先做3小时后再由乙接着做，还需要多少小时完成？ 32．一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成。现在两队同时施工，工作效率提高20%。当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。问整工程要挖多少方土？ 33．某工厂的一个车间，组装一批电脑．当每个工人在自己的岗位上工作时，9个小时可完成这项任务；如果交换工人A与B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项任务；如果交换工人C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可提前1小时完成这项任务．问：如果同时交换A与B及C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前多少时间完成这项任务？ 34．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 35．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有的人去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做一天。上午和下午的各工作量各占一半，那么这批工人有多少人？ 36．完成一件工作，需要甲干5天、乙干6天，或者甲干7天、乙干2天．问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？ 37．一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 38．单独完成一项工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成，如果甲、乙二人合作两天后，剩下的由乙独做，那么刚好在规定的时间完成，问甲、乙合作需要多少天完成？ 39．甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖 100m，实际甲队因有人请假，每天比原计划少挖15m，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的 2 倍，结果两队每天共挖了 150m。求原计划每队每天各挖多少米？ 40．某库房有一批钢材，原计划每天用 12 吨，由于提高技术，实际每天比原计划多用 3 吨，这样比原计划少用 8 天，这批钢材有多少吨？ 41．一批零件平均分给甲、乙两人去做，经过6小时，甲完成了任务，乙还差96个没有做完．已知乙的工效是甲的，求这批零件共有多少个？ 42．一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ 43．一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽．某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管．又过了同样时间，水池的注了水．如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？ 44．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成。现在甲先做小时，然后乙做小时，再由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？ 45．某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？ 46．有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满。因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满。 （1）如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ （2）如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果四舍五入到个位） 47．一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成．现在由甲、乙两个工程队共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？ 48．、、、、五个人干一项工作，若、、、四人一起干需要6天完成；若、、、四人一起干需要8天完工；若、两人一起干需要12天完工。那么，若一人单独干需要几天完工？ 49．一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，天可以完成，需付工程款元；如果由甲、乙、丁共同工作，天可以完成，需付工程款元；如果由乙、丙、丁共同工作，天可以完成，需付工程款元；如果由甲、丙、丁共同工作，天可以完成，需付工程款元。现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？ 50．加工一批零件，甲、乙合作5小时完成，甲独做9小时完成。已知甲每小时比乙多加工2个。合作加工完这批零件，甲、乙各加工多少个？ 51．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 52．一项工程，甲单独做工12小时完成，乙单独做要18小时完成，若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙1小时，……，两人如此交替工作，问完成任务时共用了多少小时？ 53．某水池有甲、乙、丙3个放水管，每小时甲能放水100升，乙能放水125升．现在先使用甲放水，2小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3管同时放水，直到把水放完．计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等．那么水池中原有多少水？ 参考答案： 1．甲组6000个，乙组3000个 【详解】解：设甲每天加工x个零件，乙每天加工x-100个，根据题意列方程： 20x=2×(x-100) ×15 解得，x=300 甲加工的数量：300×20=6000（个） 乙加工的数量：200×15=3000（个） 答：甲组加工零件6000个，乙组加工3000个。 2．28天 【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，据此求出乙的工作效率，然后计算工作时间。 【详解】甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的； 乙单独做每天能完成总量的 （天） 答：乙单独做28天能完成。 【点睛】本题考查的是基础的工程问题，注意多人合作时，工作效率等于每个人的工作效率之和。 3．10.7小时 【分析】假设水池总量为整数（计算方便），计算出甲、乙进水管的注水效率及丙出水管的排水效率。把按甲、乙、丙的顺序轮流各开1小时看作一个周期，计算一个周期的注水量是多少。假设最后一个周期内甲乙注水后没有溢出，用总水量的减掉甲乙各开1小时注入的水除以一个周期的注水量计算出需要几个这样的周期是否还有剩余的水量。根据周期数计算按照完整周期注水后，剩余的水量，甲乙丙依次工作所需的时间，据此解答。 【详解】设水池总量为60 甲管每小时进水60÷5＝12 乙管每小时进水60÷6＝10 丙管每小时进水60÷4＝15 已经有水60×＝20 甲、乙各开1小时，进水12＋10＝22 甲、乙、丙各开1小时，进水22－15＝7 为保证最后的周期里甲、乙先各开1小时后水是未溢出的，从需要注入的水量里扣除。 （60－20－22）÷7 ＝18÷7 ＝2……4 剩余水量为4，说明是可以注水3个周期的，这时水池还差的水量是 60－20－7×3 ＝60－20－21 ＝19 甲再开1小时后还差19－12＝7 乙还需再开7÷10＝0.7（小时） 一共需要的时间： 3×3＋1＋0.7 ＝9＋1＋0.7 ＝10.7（小时）。 答：10.7小时后，第一次有水溢出水池。 【点睛】本题考查复杂的工程问题，因为甲乙先注入的水量比一个周期内的注水量多很多，所以假设最后一个周期内甲乙先注水后没有溢出，并应用这一条件计算周期数和剩余水量是解题的关键。 4．天 【分析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的，据此求出乙的工作效率，再计算工作时间。 【详解】甲每天完成总量的，甲、乙合作每天完成总量的； 乙单独做每天能完成总量的； （天） 答：乙单独做20天能完成。 【点睛】本题考查的是工程问题，在工程问题中，工作时间＝工作总量÷工作效率。 5．5天半 【详解】解法一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了5天半. 解法二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是（3+2）×16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 解法三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天. 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 16-6-4.5=5.5（天）. 6．徒弟：80个    师傅：100个 【详解】师傅做：5+10=15（分） 师傅15分比徒弟15分多做：20×15=300（个） 2300-300=2000（个）零件是徒弟：15+10=25（分）做的 徒弟每分钟做：2000÷25=80（个） 师傅每分钟做：80+20=100（个） 7．甲：18天     乙：12天 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，    所以甲、乙独做分别需18天，12天． 8．15小时 【分析】我们根据题目条件可以利用下面两个等式来解题： 甲5小时的工作量+乙3小时的工作量=“1” （1） 甲3小时的工作量+乙9小时的工作量=“1” （2） 比较（1）式、（2）式可得：甲的工作效率是乙的3倍．因此，甲做了5小时工作后，由乙接做3小时可以完成．可以看作甲单独做6小时完成全部工作，所以甲的工作效率为，那么乙的工作效率为． 【详解】解法一：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），甲的工作效率是． 所以，乙要完成全部工作还需 解法二：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），乙的工作效率是． 所以，乙要完成全部工作还需． 9．25 【详解】设甲组每人每天的工作量为1，则乙组每人每天的工作量为，丙组每人每天的工作量为：×=3/10． 这项工作的总工作量为：（1×13+×15）×3=75 丙组10人需要干：75÷÷10=25（天）． 10．9小时 【详解】解：设甲乙工作效率分别为x，y． 得 1÷=9（小时） 答：乙单独做需要9小时． 11．元 【分析】丙村出的360元钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。 【详解】甲、乙两村共派出了人，而这80人，按照原计划应是甲村派出人，乙村派出32人，丙村派出12人； 所以，实际上甲村帮丙村派出了人，乙村帮丙村派出了人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得： ＝360÷4×3 ＝270（元） 乙村应分得：元。 答：甲村分到270元，乙村分到90元。 【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，注意这里是按照工程量分配，而不是按照人数分配。 12．15天 【详解】×(3+2)= (1-)÷（+） =÷ =10（天） 10+3+2=15（天） 答：他们完成这项工程从开工到结束一共花了15天． 13．7小时54分钟 【分析】根据题意，把一池水看作单位“1”，则进水管的工作效率为，出水管的工作效率为，则进水1小时、排水1小时后，池中的水会减少：，排干半池水所需事件为：（小时），即进水3小时、排水3小时后，水池中剩余水量：，然后进水1小时，水池中的水量：，排水所需时间：（小时），7.9小时＝7小时54分，据此解答。 【详解】 ＝3.75（小时） ＝ ＝ ＝0.9（小时） 3×2＋1＋0.9＝7.9（小时） 7.9小时＝7小时54分钟 打：7小时54分钟后水池的水刚好排完。 【点睛】本题主要考查工程问题，关键根据工作总量、工作时间和工作效率之间的关系做题。 14．15辆 【分析】本题考查工程问题，一般将工作总量看为单位1，工作时间×工作效率=工作总量 只要先求出2天后还剩余多少工作量就可以求得还每天至少需要手推车的辆数． 【详解】大卡车工作效率是1÷3÷4= 小卡车工作效率是1÷4÷5= 手推车工作效率是1÷20÷6= 2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天的工作量为： ×2×2+×3×2+×7×2= 那么剩余工作量为1-= 则2天后全部改用手推车运，需要的手推车数量为÷÷2=15（辆） 答：后两天每天至少需要15辆手推车． 15．10天 【详解】晴天时，A施工队比B的工作效率高：－= 雨天时，B施工队比A的工作效率高： （1－20﹪）－（1－60﹪）= 要想两队同时完成，则由：=可知，必须是每2个晴天有5个雨天，而此时完成工程的：×2+×0.4×5=，故整个工程共有4个晴天，10个雨天． 16．40天 【分析】要求乙队独做这项工程需多少天，就要求出乙的工作效率，要求乙的工作效率，就要从乙队做5天的工作量入手．甲10天做了×10=，两人共做，则乙5天做-，由此求出乙的工作效率，解决问题． 【详解】1÷[（-×10）÷5] =1÷[（-）÷5] =1÷[×] =1÷ =40（天） 答：乙队单独做这项工程需40天． 17．30台 【详解】（240-48）÷24=8（小时） 240÷8=30（台） 答：甲工厂每小时装30台。 18．个 【分析】当甲完成任务的一半时，乙比甲少完成40个，当乙全部完成时，甲比乙少完成20个，也就是后面的7.5小时，甲比乙少完成60个，总差除以时间，得到每小时的差，然后再考虑乙提速后的工作效率。 【详解】当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个，这时乙比甲少完成40个； 当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个； 所以在后来的小时内，乙比甲多完成了个，那么乙比甲每小时多完成个。所以提高工效后乙每小时完成个。 答：乙提高工效后每小时加工零件48个。 【点睛】本题考查的是工程问题，工作总量之差÷时间＝工作效率之差。 19．（1）2.4个月；万元 （2）甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月 【分析】（1）求出甲、乙两工程队合作的工作效率，工作总量除以工作效率得到工作时间，合作情况下，每月耗资14万元，再乘时间即可。 （2）甲工程队完成全部工作要耗资36万元，乙工程队完成全部工作要耗资30万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程。 【详解】（1）甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的、，那么甲、乙合作所需时间为： （个） 甲、乙合作个月所耗资金为： （万元） 答：合作需2.4个月完成；耗资33.6万元。 （2）在五个月内完成的最好方案为： 乙工程做个月，甲工程队做： （个） 即：甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月。 【点睛】本题考查的是工程问题，并与方案优化问题相结合，要想最大限度节省资金，就需要尽可能让耗资较少的多做一些。 20．甲管9点被关闭 【详解】中间甲管关闭，但是乙、丙照常，因此可以将乙、丙合并． 甲、乙、丙功效为 上午8点到下午2点共6个小时 甲工作的时间：小时 所以甲管9点被关闭． 21．180个 【详解】甲和乙的工作时间比为4：5，所以工作效率比是5：4,工作量的比也5：4，把甲做的看作5份，乙做的看作4份,那么甲比乙多1份，就是20个．因此9份就是180个,所以这批零件共180个. 22．甲：480米  乙：220米 【详解】乙：(1020-100)-700=220（米） 甲：700-220=480（米） 答：甲车间原计划每天织布480米，乙车间原计划每天织布220米． 23．26天 【详解】略 24．甲：75天   乙：50天 【详解】共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的= 乙独做需时间： 甲独做需时间： 答：甲和乙独做所需时间分别是75天和50天. 25．900个 【详解】略 26．6 【详解】这道题是“牛吃草”问题与工程问题的综合． 设每根出水管1小时的排水量为单位“1”．8根出水管3小时共排水24单位，5根出水管6小时共排除水30小时，表明进水管6－3＝3小时进水30－24＝6单位，则进水速度为每小时2单位，池中原有水24－2×3＝18或30－2×6＝18单位．如果要在4.5小时内将水全部排出，池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为18＋2×4.5＝27单位，每小时排水27÷4.5＝6单位，则需要同时打开6根出水管． 27．6天 【详解】18-15×4×18÷（15+3）÷（4+1） =18-1080÷18÷5 =18-12 =6（天） 答：可以提前6天完成。 28．12天 【分析】在本题中，工作效率和工作时间是两个变量，而不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工作效率上看，有原来的工作效率1600÷20=80（台／天），又有提高后的效率80×（1+25%）=100（台／天）．从时间上看，有原来计划的天数，又有效率提高后还需要的天数．根据工作效率和工作时间成反比例的关系，得：提高后的效率×所需要天数=剩下的台数 【详解】解法一：设完成计划还需要x天，则 1600÷20×（1+25%）×x=1600-1600÷20×5 80×1.25×x=1600-80×5 100×x=1600-400 x=12 解法二：提高后的效率是原来效率的倍，把原来的效率看作“1”，则提高后效率与原来的效率之比是．因为工作效率和工作时间成反比例的关系，所以实际时间与计划时间之比是4∶5，如果设实际还需要量x天，而原来计划的时间是20-5=15（天），因此 4∶5=x∶15 5x=60 x=12 答：完成计划还需12天． 29．180 【详解】48×[1＋125％×（1＋105％）]÷95％＝180（个）． 30．（一）800÷（4+4+2）=80（元） 甲：80×4=320（元）              乙：80×4=320（元）              丙：80×2=160（元）             （二）800÷5=160（元）     甲、乙：160×2=320（元）   丙：160×1=160（元）      【详解】略 31．21小时 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，， （小时） 32．1100方土 【分析】先求出两队同时施工的工作效率之和，以及遇到地下水后的工作效率之和，求出47.25方土，占总的工程量的几分之几，然后根据量率对应求出总的工程量。 【详解】甲、乙合作时工作效率为： （＋）×（1＋20%） ＝ ＝ 则的工程量需÷＝（天） 则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了10－＝（天） 则此时甲、乙合作的工作效率为÷＝ 遇到地下水前后工作效率的差为：－＝ 则总工作量为47.25÷＝1100（方） 答：整工程要挖1000方土。 【点睛】本题考查的是工程问题，需要注意的是施工过程中，工作效率是变化的。 33．小时 【分析】工作效率问题的基本关系式，即工作效率×工作时间=工作量 虽然很简单，但是实际的生产问题要复杂得多．这是因为实际生产中一项任务的完成要涉及诸多环节，某一环节的工作效率发生变化后，其他环节的工作效率也相应地随之发生改变． 在本例题中，我们不可由已知“A与B交换工作岗位后，可提前1小时完成任务；C与D交换工作岗位后，也可提前1小时完成任务”，简单地得出，同时交换A与B及C与D的工作岗位，可提前1＋l=2（小时）完成这项任务．事实上，A与B交换工作岗位后，还有一个条件是“其他工人的生产效率不变”，也就是说，交换岗位的工人们是两两互相影响对方的，而对其他工人的效率不发生影响；C与D交换岗位的情形也一样．同时交换A与B及C与D的工作岗位后，其整个生产计划与分别只交换A与B，或者只交换C与D的情形是不一样的．下面我们给出本题的三种解法． 【详解】☆解法一：（1）设总工作量为1，原来全车间每小时完成． （2）A与B交换后，8小时完成．全车间每小时完成．由于其他工人工作效率不变，所以，A与B每小时多了；同时，C与D交换后，每小时也多干了． （3）A与B、C与D同时交换后，这四人每小时多干，全车间每小时完成，所以，完成这项任务需要 （小时） 比原来提前（小时） ☆解法二：题目中8和9的最小公倍数是72，所以把这项任务分成72份，原来每小时全车间完成72÷9＝8（份），每份需要60÷8=7．5（分钟） A与B交换后，每小时完成72÷8=9（份），比原来多干了1份，由于其他工人工作效率不变，所以这一份是A、B两人干的． 同理，C与D交换后，这两人每小时也多干了1份任务． 同时交换后，A与B、C与D每小时都多干1份任务，故全车间工人每小时干了8+l+1＝10（份）任务，每份任务只要60÷10=6（分钟）即可完成．所以，每干1份任务，可提前7．5-6=1．5（分钟），72份任务一共可提前72×1．5＝108（分钟）（小时）． ☆解法三：A与B交换后，全车间在8小时内完成原来9小时的工作．由于其他工人工作效率不变，所以A、B二人在8小时中多干了原来全车间1小时的工作；同时，C与D交换后，这二人在8小时中也多干了原来全车间1小时的工作． A与B、C与D同时交换后，他们四人就在4小时内多干了原来全车间1小时的工作．这就是说，A与B、C与D同时交换后，全车间在4小时内干了原来全车间在5小时内干的工作，缩短工作时间． 原来9小时的工作，在A与B、C与D同时交换后，就可以缩短（小时） 答：可以提前小时完成这项任务． 34．吨 【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。 【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入： （吨） 甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是： 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水； 则甲管注入18吨水时，丙管注入水： （吨） （吨） 答：该水箱最多可容纳54吨水。 【点睛】本题将工程问题与比例问题相结合，当时间一定时，工作总量与工作效率成正比例关系。 35．36人 【分析】题目本身比较复杂，涉及的“量”与“关系”比较多，然而解题的关键在于抓住“甲工地的工作做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天”找到乙工地剩余工作量相当于甲工地的几分之几。 【详解】根据上午去甲工地人数是去乙工地人数的3倍，可知上午去甲工地人数是这批工人的，去乙工地人数是这批工人的。又下午去甲工地人数是这批工人，可知去乙工地人数是这批工人的。 由此可知，甲工地上午、下午所完成的工作量之比是，即上午完成甲工地总工作量的，下午完成甲工地总工作量的。这样，上午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，下午乙工地完成的工作量相当于甲工地的，这样乙工地剩余的工作量相当于甲工地的。 因为乙工地剩下的工作量还需要4名工人再做1天，所以这批工人数是： （人） 答：这批工人有36人。 36．甲8天 乙16天 【详解】甲需要(7*3-5)/2=8(天) 乙需要(6*7-2*5)/2=16（天） 37．天 【分析】甲队做了8天后，剩下的工程量甲需要做12天，乙需要做15天，可以求出甲和乙的工作效率的关系，然后计算乙单独完成这项工作需要的时间。 【详解】20－8＝12（天） 甲12天工作量等于乙15天工作量； 乙的工作效率为甲的，乙独做的时间为（天） 答：乙队单独完成这项工作需25天。 【点睛】本题考查的是工程问题，求出甲和乙的工作效率的关系是求解问题的关键。 38．6天 【分析】把工作总量看做单位“1”，设规定时间为t天，由题意“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成”列出等式，即可算出规定时间；再根据工作效率＝工作总量÷工作时间，算出甲、乙的工作效率；最后根据等量关系：合作时间＝工作总量÷（甲的工作效率＋乙的工作效率），列式解答即可。 【详解】设规定时间为t天，则甲（t－2）天完成，乙（t＋3）天完成。 甲、乙合作2天，剩下乙独作，正好t天完成，在这个过程中，乙做了t天，甲干了2天。即乙三天的工作甲2天完成。 所以，整理得2t＋6＝3t－6，得t＝12（天） 甲的工效为：1÷（12－2）＝ 乙的工效为：1÷（12＋3）＝ 乙合作需要的时间：1÷（＋）＝6（天） 答：甲、乙合作需要6天完成。 【点睛】本题是典型的工程问题，还涉及方程的应用，找出等量关系是解题的关键；牢记工程问题的计算公式：工作总量＝工作效率×工作时间也很关键。 39．甲：35m  乙：65m 【详解】原来两队一共100 m,甲每天少了15以后,两队一共100-15=85m 乙变成原来的两倍以后一共150m,所以150-85=65m,为乙多挖的,也就是原来的一倍； 所以乙原来每天挖65m,甲原来每天挖100-65=35m。 40．480吨 【详解】12×8÷3×（12+3） =12×8÷3×15 =480（吨） 答：这批钢材有480吨． 41．960个 【详解】96÷（1-）×2=960（个） 42．4天 【详解】解法一：甲做了3天，完成的工作量是 =，乙还需要完成的工作量是1-= 乙每天能完成的工作量（工作效率）是，完成余下工作量所需时间是+=4（天） 解法二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解法三：甲与乙的工作效率之比是6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. 答：乙需要做4天可完成全部工作. 43．4分钟 【分析】一方面，可以根据：第一段注入的水+第二段注入的水=，列出方程来求解． 另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解． 【详解】解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得： 那么注满水池共需 解法二：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：的水． 我们又知道这段时间相等．所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为．因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)． 答：注满水池共用4分钟． 44．小时 【分析】先求出甲、乙的工作效率，按照每次交替工作的时间，先大概估算出完成工作所需要的时间，再求出具体的时间。 【详解】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：，， 此时剩下的工作量为： 还需甲做（小时）， 所以共需（小时） 答：完成任务共需小时。 【点睛】本题考查的是轮流工作型的工程问题，需要注意的是甲、乙每次工作的时间是不一样的。 45．3天 【详解】略 46．（1）144分钟；（2）257分钟 【分析】（1）设每只进水管的工效为“1”，根据原计划的情况，可以求出A、B池的容量，再结合实际的情况，可以求出漏水的效率，然后计算10根进水管给漏水的A水池注水的效率，进而计算时间. （2）增加4根同样的进水管，一共14根，可以先假设同时注满，根据A、B池的容量之比，求出各自所需要的进水管数量，但由于进水管数量是整数，所以只能取临近的整数进行分类讨论。 【详解】（1）设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5＝20，B池容量为6×5＝30； 当用5根进水管给B池灌水时需30÷5＝6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20＝10，因此漏水的工效为； （1）用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需要的时间是： （ 小时） 2.4小时＝144分钟 答：需要144分钟注满。 （2）设A池需根，那么B池需14根，有， 所以有，化简解得。所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为： ①当A池用7根进水管时： A：7根水管； 需时间小时＝225分钟； B：7根水管，需时间小时257分钟； 此时要把两个水池注满最少需要257分钟； ②当A池用6根进水管时： A：6根水管， 需时间小时277分钟； B：8根水管，需时间30÷8＝小时＝225分钟； 此时要把两个水池注满最少需要277分钟。 所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池。 答：最少需要257分钟。 【点睛】本题考查的是工程问题，当有多种情况时，需要进行分类讨论。 47．5天 【分析】这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需15天完成，甲队工作效率应是，乙队单独工作需要12天完成，乙队工作效率应是，丙队单独工作需10天完成，丙队工坐效率应是，现由甲、乙两队先共同工作3天，可完成这项工程的(＋)×3＝，还剩下1－＝ ，剩下的由丙队去完成，需要的天数÷． 【详解】[ 1－（＋）×3 ]÷ ＝5（天） 答：丙队还需要工作5天． 48．天 【分析】根据题意，可以求出A、B、C、D的工作效率之和，B、C、D、E的工作效率之和，A、E的工作效率之和，然后设法求出E的工作效率，再计算工作时间。 【详解】从题中可以看出，、、、四人每天完成总量的，、、、四人每天完成总量的，、两人每天完成总量的； 可见，的工作效率是： 所以一人单独干需要天。 答：若E一人单独干需要48天完工。 【点睛】本题考查的是工程问题，合作情况下的工作效率等于每个人的工作效率之和。 49．丙；2700元 【分析】根据题目给出的四种情况，可以求出甲、乙、丙、丁各自的工作效率，以及各自每天所需要的费用，然后考虑甲、乙、丙、丁各自单独施工所需要的总费用，选出费用最少的。 【详解】（1）甲、乙、丙、丁的工效和是： 甲的工效是：；乙的工效是：； 丙的工效是：；丁的工效是：。 可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为120天、360天、90天和72天。要确保工程在100天以内完成，只能选择丙队或丁队。然后比较选择丙队或丁队应支付的工款。 （2）甲、乙、丙每天需要的工程款元； 甲、乙、丁每天需要的工程款元； 乙、丙、丁每天需要的工程款元； 甲、丙、丁每天需要的工程款元。 甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为： （元） 甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是元，元，元，元。如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付元；如果由丁队来完成，需要支付元。将两者进行比较，丙队的总工程款更少； 答：工程应该交给丙，需要2700元。 【点睛】本题考查的是工程问题，四个量任意三个相加的和再相加，得到的结果是这四个量之和的3倍。 50．50个；40个 【分析】把这批零件总数看作单位“1”，根据题意可知，甲、乙工作效率之和是，甲的工作效率是，据此求出乙的工作效率；再求出甲、乙的工作效率之差，再根据分数除法的意义，用2除以甲、乙的工作效率之差，求出这批零件的总数，用零件总数先分别乘甲、乙的工作效率，再乘5小时即可。 【详解】1÷5＝ 1÷9＝ －＝ 2÷（－） ＝2÷ ＝90（个） 90××5＝50（个） 90××5＝40（个） 答：甲加工50个，乙加工40个。 【点睛】解答本题的关键是：求出甲与乙的工作效率的差。 51．甲种零件30个，乙种零件18个 【分析】我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程． 【详解】解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个． （x+ 12）× +x= 42 x+= 42 x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个． 52．小时 【详解】交替工作的问题，要注意“取整”的问题． 第一组工效为，第二组工效为 取整，所以第一组与第二组先各做7小时，共完成，余下的由第一组完成． 所以总时间为． 53．3000 【详解】甲开始2小时放水200升，最后3管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放25升水，所以乙管放水的时间为200÷25＝8小时，放水量为125×8＝1000升．因此池中原有水3000升． 学科网（北京）股份有限公司 $$