2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

2.5 一元二次方程的根与系数的关系 22200 1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系. 2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知系数. 3.会利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 学习目标 22200 1. 一元二次方程的求根公式是什么? 2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况? 对一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) , (1)b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根; (2)b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根; (3)b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 新知导入 22200 解下列方程: (1) x2 - 2x+1 = 0; (2) x2 - 2 x - 1 = 0; (3) 2x2 - 3x +1 = 0. 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系?两根之积呢? x1 = x2 = 1 , (1) x1 + x2 = 2;x1 x2 = 1. (2) x1 + x2 = 2 ;x1 ∙ x2 = -1. (3) x1 + x2 = ;x1 ∙ x2 = . 探索一元二次方程的根与系数的关系 知识讲解 22200 (1) 1x2 - 2x+1 = 0; (2) 1x2 - 2 x - 1 = 0; (3) 2x2 - 3x +1 = 0. (1) x1 + x2 = 2 ; x1 ∙ x2 = 1 . (2) x1 + x2 = 2 ; x1 ∙ x2 = -1 . (3) x1 + x2 = ; x1 ∙ x2 = . 从特殊到一般 知识讲解 22200 我们知道,一元二次方程 ax2+ bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 当 b2 - 4ac ≥ 0 时有两个根: , 于是,两根之和为 x1 + x2 = + = = - . x1 x2 = = = = . 知识讲解 22200 方法2:把一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个根分别记为 x1,x2,则有 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), 即 ax2 + bx + c = ax2 - a(x1 + x2)x + ax1x2x, 比较两边系数可得 x1 + x2 = - ,x1x2 = . 知识讲解 22200 如果方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 有两个实数根x1,x2,那么 x1 + x2 = - ,x1x2 = . 这一结论习惯上称为“韦达定理”. 韦达 (1540 — 1603) 是法国数学家. 知识讲解 22200 例1 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0; 解:这里 a = 1,b = 7,c = 6. = b2 - 4ac = 72 – 4 1 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1 + x2 = -7,x1x2 = 6. 知识讲解 22200 (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. 解:这里 a = 2,b = -3,c = -2. = b2 - 4ac = (- 3)2 – 4 2 (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2,那么 x1 + x2 = ,x1 x2 = -1 . 知识讲解 22200 1. 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 - 3x - 1 = 0; 解:这里 a = 1,b = -3,c = -1. = b2 - 4ac = (-3)2 – 4 1 (-1) = 13 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1 + x2 = 3,x1x2 = -1. 课堂作业 22200 (2) 3x2 + 2x - 5 = 0; 解:这里 a = 3,b = 2,c = -5. = b2 - 4ac = 32 – 4 3 ( -5 ) = 69 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1 + x2 = ,x1x2 = . 课堂作业 22200 2. 小明和小华分别求出了方程 9x2 + 6x - 1 = 0 的根. 小明:x1 = x2 = ; 小华:x1 = -3 + 3 ,x2 = -3 - 3 他们的答案吗?说说你的判断方法. 解:他们的答案不正确,因为小明求出的两根之积 x1x2 = ≠ , 小华求出的两根之和 x1 + x2 = -6 ≠ . 课堂作业 22200 韦达定理的逆否命题, 即: 如果有两个数 x1,x2 满足 x1 + x2 = ,x1x2 = 那么 x1 和 x2 是方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个根. 课堂作业 22200 解:∵x1 + x2 = , ∴ x1 + x2 = = , ∵其中的一个根为 3, ∴另一个根: - 3 = 3. 已知方程 的一个根是 3,求它的另一个根. 课堂作业 22200 4. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2-17x+66 = 0 的两个实数根,那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗?为什么? 解:不可能,理由如下: 设方程的两个根为:x1x2, ∴x1 + x2 = = 17, 根据三角形的三边关系,第三边小于17, ∴第三条边不可能为 20. 课堂作业 22200 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系: 如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2, 那么: 注意事项: x1+x2 = , x1x2 = 韦达定理 ①方程必须是一元二次方程的一般形式; ②判断b2-4ac≥0; ③使用x1+x2 时, 注意“- ”不要漏写. 课堂总结 22200 $$