2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

2.4 因式分解法解一元二次方程 22200 1. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 2. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程，体会解决问题方法的多样性. 学习目标 22200 我们知道 ab = 0，那么 a = 0 或 b = 0，类似的解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解. 你能求 (x + 3)(x－5) = 0 的解吗？ 情境导入 22200 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等,这个数是几？你是怎样求出来的？ 由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0 因此 x1 = 0, x2 = 3. 所以这个数是0或3. 小颖的思路： 小明的思路： 方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3. 设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x 新知讲解 22200 小亮的思路： 由方程 x2 =3x ,得 x2 - 3x =0 即x (x -3)=0 于是 x =0 , 或 x-3=0. 因此 x1=0 , x2=3 所以这个数是0或3 如果a·b= 0， 那么 a=0 或 b=0 即“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.” 对吗？这样做的依据是什么？ 新知讲解 22200 适用范围和依据： 当一元二次方程为一般形式，方程一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用这种方法求解.分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝0或b=0 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 新知讲解 22200 例1 解下列方程 (1) 5x2 = 4x 解：(1) 原方程可变形为 5x2 - 4x = 0， x(5x - 4) = 0. x = 0，或 5x - 4 = 0. x1 = 0，x2 = . (2) x(x - 2) = x - 2 解：(2) 原方程可变形为 x(x - 2) - (x - 2) = 0， (x - 2)(x - 1) = 0. x - 2 = 0，或 x - 1 = 0. x1 = 2，x2 = 1. 原来的一元二次方程转化成了两个一元一次方程 转化思想 降次思想 提公因式法 提公因式法 新知讲解 22200 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记口诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 新知讲解 22200 （1）x2-4=0 (2)(x+1)2-25=0 解：原方程可变形为 (x+2)(x-2)＝0， x+2＝0，或x－2＝0, x1＝-2，x2＝2 . 解：原方程可变形为 （x+1+5)(x+1-5)＝0， (x+6)(x-4)＝0 x+6＝0，或x－4＝0, x1＝-6，x2＝4 . 你能用因式分解法解方程，吗？ 这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其他方法来解? 新知讲解 22200 各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 新知讲解 22200 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 解法选择基本思路: 新知讲解 22200 1．方程x2＝x的解为(　　) A.x＝1 B.x＝0 C.x1＝1，x2＝0 D.x1＝－1，x2＝0 2.方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的解为(　　) A.x1＝1，x2＝－5 B.x1＝－1，x2＝－5 C.x1＝1，x2＝5 D.x1＝－1，x2＝5 C B 课堂练习 22200 3.填空： (1)方程(x+2)(x-4)=0的根为： ； (2)方程4x(2x+1)=3(2x+1)的根为： . 4. 当x＝　 　时，代数式(2x－1)2和x2的值相等． 或1 课堂练习 22200 5.解下列方程 解:(1)(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0， (x＋1)(x－1－2)＝0， (x＋1)(x－3)＝0， x＋1＝0或x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. (2)(x＋3)2＝(1－2x)2 (1) x2－1＝2(x＋1) (2)原方程可化为 (x＋3)2－(1－2x)2＝0， (x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0， 即－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝. 课堂练习 22200 6．已知x=2是关于x的方程=0的一个根，求a的值并解此方程． 解：将x=2代入 得： 8-4-2a=0 解得a=2， ∴原方程为： ∴ ， ∴ ． 课堂练习 22200 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解因式是关键. 因此，要熟练掌握分解因式的知识，通过提高分解因式的能力，来提高用因式分解法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，若没有再考虑公式法. 课堂小结 22200 $$