1.3 课时2 正方形的判定 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

1.3 课时2 正方形的判定 22200 1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . 学习目标 22200 回顾：什么是正方形？正方形有哪些性质？ 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分； ④既是中心对称图形也是轴对称图形. 新知导入 22200 思考：如何判定一个四边形是正方形呢？ 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条： （1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； （2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角. 简记 ： 既是矩形又是菱形就是正方形 知识讲解 22200 如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？ 剪下一个等腰直角三角形就能剪出一个正方形. 知识讲解 22200 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流． 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 对角线相等 对角线垂直 知识讲解 22200 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 知识讲解 22200 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形 你能证明这两种猜想吗？ 知识讲解 22200 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 证明：有一组邻边相等的矩形是正方形. 知识讲解 22200 证明：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC , DB是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 知识讲解 22200 通过矩形判定正方形： 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， 所以四边形ABCD是正方形。 判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， 所以四边形ABCD是正方形。 判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 A B C D O 知识讲解 22200 你能证明这两个猜想吗？ 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 菱形 一个角是直角 对角线相等 正方形 知识讲解 22200 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 知识讲解 22200 定理：对角线相等的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直） 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 知识讲解 22200 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 知识讲解 22200 例1 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC ，CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, 又∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠EBC =∠ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中，∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°,∴菱形BECF是正方形. 经典例题 22200 我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。 那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明. 知识讲解 22200 A D C B A1 B1 C1 D1 以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形。 证明思路： 利用三角形的中位线证出A1D1=A1B1=C1D1=C1B1，从而得到四边形A1B1C1D1是矩形，再根据一组邻边相等得出A1B1C1D1是正方形。 知识讲解 22200 以菱形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？以矩形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？ 菱形的中点组成的四边形是矩形. 你能试着证明吗？ 矩形的中点组成的四边形是菱形. 知识讲解 22200 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1=90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 知识讲解 22200 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG =AC， EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD. 知识讲解 22200 ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等）， ∴EF=EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义） 知识讲解 22200 决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 知识讲解 22200 1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(　　) A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　) A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF B C 课堂作业 22200 3．如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 解：四边形EFGH是正方形. 理由如下：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=AD, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CG=DH, ∴BE=CF=DG=AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS). 课堂作业 22200 ∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH. ∴四边形EFGH是菱形. ∵∠AEH+∠AHE=90°， ∴∠DHG+∠AHE=90°. ∴∠EHG=90°. ∴四边形EFGH是正方形. 课堂作业 22200 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 课堂总结 22200 $$