专题05 均值不等式中常用的八种方法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（苏教版2019必修第一册）

专题04 均值不等式中常用的八种方法 目录 1 一．基本原理 1 二．分式函数 2 3 类型1.直接利用和（积）为定求最值 3 类型2.分式函数 3 类型4.型 7 类型5.型 7 类型6.待定系数法放缩 8 类型7.消元加均值 8 类型8.换元 8 9 一．基本原理 1. 二元基本不等式的几个变形： （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 （4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 2.n元均值不等式 设均大于零，则记，， ，， 则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 二．分式函数 （1） 型. 对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解. （2） 型. 对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解. （3） 型. 形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠 的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域. （4） 型. 形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解. 小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ① ：换元→分离常数→反比例函数模型. ② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型. ③ ：同时除以分子：→②的模型. ④ ：分离常数→③的模型. 共同点：让分式的分子变为常数 类型1.直接利用和（积）为定求最值 例1.求函数的最大值________ 类型2.分式函数 例2. 求函数的值域. 例3：设，求函数的最小值为__________. 例4．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例5．若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 类型3.已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）. 例6.已知，求的最小值__________ 例7．已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C．9 D． 例8．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 例9．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 例10．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 类型4.型 例11若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例12若，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．49 D．81 类型5.型 例13已知实数满足，则的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 例14若实数满足，则的最大值是 A． B． C． D． 类型6.待定系数法放缩 例15已知实数满足，求的最小值________. 类型7.消元加均值 例16已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型8.换元 例17知正实数，满足，则的最小值是_______． 例18．已知，，则的最小值________. 1．已知正数，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，均为正数，若，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 4．已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．已知且，则的最小值为________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 均值不等式中常用的八种方法 目录 1 一．基本原理 1 二．分式函数 2 3 类型1.直接利用和（积）为定求最值 3 类型2.分式函数 3 类型4.型 7 类型5.型 7 类型6.待定系数法放缩 8 类型7.消元加均值 8 类型8.换元 8 9 一．基本原理 1. 二元基本不等式的几个变形： （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 （4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 2.n元均值不等式 设均大于零，则记，， ，， 则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 二．分式函数 （1） 型. 对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解. （2） 型. 对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解. （3） 型. 形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠 的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域. （4） 型. 形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解. 小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ① ：换元→分离常数→反比例函数模型. ② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型. ③ ：同时除以分子：→②的模型. ④ ：分离常数→③的模型. 共同点：让分式的分子变为常数 类型1.直接利用和（积）为定求最值 例1.求函数的最大值________ 解析：，∴ ，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值 类型2.分式函数 （1） 型. 对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解. （5） 型. 对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解. （6） 型. 形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域. （7） 型. 形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解. 小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法： ① ：换元→分离常数→反比例函数模型. ② ：换元→分离常数→（双勾函数、伪勾函数）模型. ③ ：同时除以分子：→②的模型. ④ ：分离常数→③的模型. 共同点：让分式的分子变为常数 例2. 求函数的值域. 解析：设. 于是问题转化为求 的值域，由对勾函数当时取等号，即. 例3：设，求函数的最小值为__________. 思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为， 答案：. 例4．已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 解析：因为，所以， ，当且仅的，即时等号成立.故选：A. 例5．若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 解析：因为，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：B 下面讨论条件极值 类型3.已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）. 这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破. 例6.已知，求的最小值__________ 解析： 例7．已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C．9 D． 解析：因为，，，所以， ∴， 当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C 例8．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 解析：因为，所以，而， ，当且仅当，即时，等号成立.故选：B 例9．正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 解析：因为正实数，满足，所以 ，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是.故选:B. 例10．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 解析：均为正实数， ，当且仅当，即时，等号成立.故选：B 类型4.型 注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项. 例11．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为，所以，由基本不等式可得， 故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A. 例12．若，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．49 D．81 解析：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D 类型5.型 注意最后要求的目标结构，利用均值不等式放缩掉或项，若目标函数与有关，则需先利用配方法换掉项. 例13．已知实数满足，则的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 解析：原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B. 例14．若实数满足，则的最大值是 A． B． C． D． 解析：,，， 解得，，的最大值是.故选B. 类型6.待定系数法放缩 例15.已知实数满足，求的最小值________. 解析：我们的想法是利用恒等条件来寻找的最小值，那么自然要将放大成平方和的关系来凑出目标函数，于是我们可以将均值不等式改进成：设，来配凑. 解：，令，故的最小值为. 类型7.消元加均值 例16．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C. 类型8.换元 例17．已知正实数，满足，则的最小值是_______． 解析：令，，则，．从而 ． 所以的最小值是． 例18．已知，，则的最小值________. 解析：令，则，去分母化简得：，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：20 1．已知正数，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 解析：因为正数，满足， 对于A：，当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：因为，所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故D正确；故选：B 2．已知，均为正数，若，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 解析：，均为正数，因为， 所以 ，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为5.故选：C. 3．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 解析：因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 4．已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析：因为正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：D. 5．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解析：，设，则. 于是， 令，则， 当，即，也即时，取到最小值.故选：C 6．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数的最小值为.故选：D. 7．若，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，，， 则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C. 8．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，即 ，当且仅当，即时，等号成立.所以，故选:D. 9．若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析： ,.故选:D. 10．已知且，则的最小值为________. 解析：令，，因为，所以，则，，所以,所以 ，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$