[单元巩固提升]因数和倍数(讲义)-2023-2024学年五年级下册数学人教版

因数与倍数 (知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 考点1．因数和倍数的意义 【知识点归纳】 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 考点2．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 考点3．2、3、5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 （3）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 （4）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 每相邻的2个自然数中，就会有一个是2的倍数；每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数；每相邻的5个自然数中，就会有一个是5的倍数。 2、5的倍数末尾只能是0和5，而3的倍数末尾没有限制。 考点4．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 考点5．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是2的倍数． 4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 6．最后一位是5或0的数是5的倍数． 7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 【典例1】实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等。小明数的是83棵，小刚数的是91棵，小红数的是89棵，其中只有一个小朋友数对了，这个小朋友是谁呢？请你说明理由。 【答案】小刚；理由见详解 【分析】玫瑰的数量，可以分成几行，且每行的棵数都相等，说明玫瑰的棵数是一个合数，它有两个以上的因数，据此解答。 【详解】83只有1和83，所以83是质数； 91的因数有1、7、13、91，所以91是合数； 89的因数只有1和89，所以89是质数； 答：玫瑰的棵数是一个合数，所以小刚数对了。 【点评】本题主要考查对质数和合数的理解。 【典例2】6月28日是妈妈的生日，芳芳拿出压岁钱计划到花店给妈妈买一束鲜花。看过价格表之后，芳芳选了一些康乃馨和郁金香，售货员说她应该付63元，你觉得售货员说的对吗？说说你的理由。    【答案】对；理由见详解（理由合理即可）。 【分析】康乃馨每枝8元，郁金香每枝4元，8和4都是偶数。因为偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，所以买康乃馨的钱数是偶数，买郁金香的钱数也是偶数。又因为偶数＋偶数＝偶数，所以买康乃馨和郁金香的总钱数是偶数。根据奇数、偶数的运算性质解答即可。 【详解】售货员说的不对。 理由：8和4都是偶数，偶数的倍数一定是偶数，所以无论各买几枝康乃馨和郁金香，积都是偶数；两个偶数积相加还是偶数，不可能出现奇数，而63是奇数，所以售货员说的不对。（理由合理即可） 【点评】此题考查了奇数、偶数的运算性质及奇数、偶数的意义。 【典例3】五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【答案】14个 【分析】用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。 【详解】57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有14个同学得到奖品。 【点评】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。 【典例4】有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【答案】27个 【分析】根据题意可知，每2个放一盘，那么多出1个，则这些桃子的数量一定比2的倍数多1，也就是奇数；如果每5个放一盘，那么多出2个，则这些桃子的数量一定比5的倍数多2，已知5的倍数个位上是0或5，所以这些桃子的数量个位上一定是2或7，因为个位是2符合2的倍数特征，所以桃子的数量个位只能是7；每3个放一盘，那么正好放完，所以这堆桃子的数量一定是3的倍数，据此先找出符合3的倍数特征，并且个位是7的最小的数即可。 【详解】根据分析可知，找出符合3的倍数，并且个位是7的数； 十位最小是1， 17÷3＝5……2 17不是3的倍数，不符合题意； 十位上是2， 27÷3＝9 27是3的倍数，比2的倍数多1，且比5的倍数多2，所以27符合题意。 答：这堆桃子最少有27个。 【点评】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。 【典例5】3路和9路公交车早上6时同时从同一个起点站出发，3路车每隔10分钟发一辆车，9路车每隔12分钟发一辆车，那么这两路车第二次同时发车是几时几分？ 【答案】7时 【分析】先求10和12的最小公倍数是60，也就是在60分钟的时候再次同时发车，也就是距离第一次发车的时间6时，经过了1个小时，所以第二次同时发车是在7时。 【详解】10和12的最小公倍数是60。 60分＝1小时 6时＋1时＝7时 答：这两路车第二次同时发车是7时整。 【点评】考查最小公倍数的应用，重点是能够准确的求出10和12的最小公倍数。 1．爷爷用56米长的栅栏在空地上圈出一块长方形土地，用来种植蔬菜，已知长方形土地的长和宽都是质数，这块长方形土地面积最大是多少平方米？ 2．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 3．柳宗元纪念馆是永州人民为纪念“唐宋八大家”之一的柳宗元而修建的。陈明和张莉是柳宗元纪念馆的义务讲解员，暑假期间陈明每6天去讲解一次，张莉每8天去讲解一次，7月5日他们一起去讲解，下一次他们同时去讲解是几月几日？ 4．小明的电话号码是一个七位数，并且同时是2、3、5的倍数，前三位是523，且这个七位数是满足以上条件的最小的数，你知道小明家的电话号码是多少吗？ 5．小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 6．用一根长40厘米的绳子围一个长方形，要求长、宽都是整数，且都是质数，这个长方形的面积可能是多少平方厘米？ 7．便民超市新运进215瓶无菌消毒洗手液，如果每3瓶装一箱，能正好装完吗？如果每5瓶装一箱，能正好装完吗？为什么？ 8．学校鼓号队进行鼓号操表演，一共有24人出场，每排人数要同样多，如果排数必须在2~12排之间，一共有几种不同的列队方式？ 9．妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 10．4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 11．彩虹社区举办广场舞大赛，参加这次比赛的老奶奶有100多名不到200名，如果站成5列且每列的人数相等，那么还少2名老奶奶，参加这次广场舞比赛的老奶奶最多有多少名？ 12．育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 13．有一个电话号码是ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的质数；C是6的最大因数；D既是3的倍数，又是3的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 14．为积极响应“绿美狮山”号召，某小学用56米长的栅栏圈出一块长方形地，供师生种植花草，已知长方形的长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？ 15．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 16．妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 17．本学期我们通过观察百数表，用圈画、推理的方法找到了2的倍数特征。为什么个位上的数是0、2、4、6或8的数就是2的倍数呢？我们可以举例来说明：以358为例，358＝3×100＋5×10＋8×1，3×100是2的倍数；同理5×10也是2的倍数。那么只需要观察8×1是否是2的倍数，即可得出358是否是2的倍数。 18．小明的QQ号码是一个十位数，且每位上的数字都不相同。从左看起，它第一位上的数既不是质数，也不是合数，第二位、第十位上的数分别是最大的一位数、最小的偶数；第三位到第五位上的数既是连续的奇数，又是连续的质数；从第六位起，是连续的偶数。这个QQ号码是多少试试用一一对应的方法来解决吧！ 19．王老师要买一些笔奖励给班里积极上进的同学，每支笔3元，结账时售货员告诉王老师一共付37元，王老师立刻判断不对。你能解释这是为什么吗？ 20．李叔叔买了5个长征四号丙运载火箭模型，付给营业员500元，营业员找给他47元。营业员找得对吗？为什么？（每个长征四号丙运载火箭模型的价钱是整数） 21．金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 22．五年级学生举办了一场诗词比赛，共30道试题。他们制订了如下规则：答对一题，得3分：答错一题，倒扣1分；某题不答，得1分。五年级参赛学生得分总和是奇数还是偶数？请说明理由。 23．学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 24．小花有些糖块，数量在40～50之间。如果3个3个地数，刚好数完，如果5个5个地数余3个，小花有多少个糖块？ 25．体育老师拿来57根跳绳，每个小组分5根，分到最后一组时发现跳绳不够了。至少再拿来几根跳绳才刚好够分？一共有几个小组？ 26．五（1）班学生把二十几张书法作品张贴在教室墙壁上。如果每排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数。这些书法作品有可能是多少张？ 27．小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 28．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 29．六一儿童节到了，小玲、小芳和小丽去看望她们幼儿园时的李老师，并给李老师班里的小朋友带去了25本漫画书。其中小玲和小芳带去的本数都是奇数，你知道小丽带去的本数是奇数还是偶数吗？ 30．把20个月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多（每盒最少2个），有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 31．（探究题）红色教育润童心，红色基因共传承。五（1）班同学在班主任老师的带领下去参观红色教育基地，为了安全，要把全班同学进行分组。如果6人一组，会剩下3人；如果3人一组，人数会正好吗？ 32．晓晓在零售店买了一些纯牛奶和果汁，已知纯牛奶5元/瓶，果汁10元/瓶。晓晓给了100元，售货员阿姨找回18元。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 33．30名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，乙队人数为奇数还是偶数？如果甲队人数为偶数呢？ 34．杭州亚运会运动员报名人数是一个五位数，这个数的万位和十位上数字相同，它既不是质数也不是合数；千位上的数字是最小质数；百位上的数字是最小合数；个位上数字是这个五位数的十位、百位、千位上数字之和。请问具体有多少名运动员报名参赛？ 35．围棋起源于中国，属琴棋书画四艺之一。一共有361枚棋子，把这些棋子分装在甲、乙两个棋盒里。如果甲盒装的棋子为偶数枚，那么乙盒装的棋子是偶数枚还是奇数枚？如果甲盒装的棋子为奇数枚呢？请说明理由。 36．秦始皇兵马俑是世界文化遗产，其中二号俑坑中部有264个步兵俑。如果3个3个地数，能正好数完吗？如果5个5个地数呢？为什么？ 37．乐乐绘制了一幅山水画，这幅山水画是长方形，且长和宽都是质数，而且这幅画的周长是36分米，这幅山水画的面积可能是多少平方分米？ 38．要把18块饼干分成两份，并且每份的个数都是质数，这两份饼干可能各是多少块？ 39．张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 40．有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余；每袋至少装4个，至少装4袋，有几种装法？分别写出来。 41．小欣在文体店买了一些中国风杯垫和山水画书签，中国风杯垫10元1个，山水画书签5元1个，小欣给了售货员50元，找回17元，你能很快地帮小欣判断找回的钱对不对吗？说说你的方法。 42．长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 43．用一根40厘米的铁丝围成一个长方形，要求它的长和宽都是整厘米数，且长和宽一个质数，一个是合数。围成的长方形的面积最大可能是多少？ 44．实验小学学校植物园里种植了若干行的月季花，每行的月季花的棵数是相同的。如表是几位一年级同学数出的月季花总棵数，其中只有一位同学数对了，聪明的你知道他是谁吗？说明理由。 陈明 王一 许强 张雪 41棵 43棵 45棵 47棵 45．一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 46．四年（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人） 47．有一组图片，比40张多，比50张少，如果按4张分为一组，剩1张；如果按5张分为一组，还剩4张，这些图片有多少张？ 48．小明将45个面包准备分装到4个面包盒里，要使每个面包盒里装的面包数都是奇数，这样分装能做到吗？为什么？ 49．刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 50．运动手环能记录运动的步数，帮助我们分析自己的运动效果。王叔叔每天早上都会戴着运动手环去公园锻炼，一天王叔叔锻炼回来发现自己的步数是一个四位数，千位上的数字既不是质数也不是合数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字既是偶数又是质数，个位上的数字既是奇数又是合数，王叔叔的步数是多少？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．187平方米 【分析】根据题意可知，这块长方形土地的周长是56米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知长方形的长、宽之和＝周长÷2，据此求出长、宽之和； 已知长方形土地的长和宽都是质数，找出哪两个质数相加，和等于长、宽之和，即可确定长方形的长与宽，再根据长方形的面积＝长×宽，确定这块土地的最大面积。 【详解】56÷2＝28（米） 28＝5＋23＝11＋17 23×5＝115（平方米） 17×11＝187（平方米） 187＞115 答：这块长方形土地面积最大是187平方米。 2．不对，理由见详解 【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 【详解】答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。 3．7月29日 【分析】陈明每6天去讲解一次，张莉每8天去讲解一次，下一次同去讲解和7月5日一起去讲解相隔几天，即求6和8的最小公倍数。 【详解】6和8的最小公倍数是24，5＋24＝29 答：下一次他们同时去讲解是7月29日。 4．5230020 【分析】本题考查2、3、5倍数的特征。个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数的各个数位上的数相加的和如果是3的倍数，那这个数就是3的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数。 因为小明的电话号码同时是2、3、5的倍数，所以最后一位是0，又因为是3的倍数，前三位是5、2、3，5＋2＋3＝10，因此最小加上2后才能是3的倍数，所以后四位数最小为0020，所以小明家的电话号码是5230020。 【详解】因为小明的电话号码同时是2、3、5的倍数，所以最后一位是0，又因为是3的倍数，前三位是5、2、3，5＋2＋3＝10，因此最小加上2后才能是3的倍数，所以后四位数最小为0020，所以小明家的电话号码是5230020。 5．小明14岁；爸爸42岁 【分析】列举出42的因数、2的倍数、7的倍数，从2、7的倍数中找出既是2的倍数又是7的倍数的数，再从中找出既是14的倍数又是42的因数的数，即可求解。 【详解】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49，56，…； 既是2的倍数又是7的倍数有：14，28，42，…； 其中既是14的倍数，又是42的因数的数是42。 所以小明今年14岁，爸爸今年是42岁。 答：小明今年14岁，爸爸今年42岁。 6．91平方厘米或51平方厘米 【分析】绳子的长度相当于长方形的周长，绳子的长度÷2＝长＋宽，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式解答即可。 【详解】40÷2＝20（厘米） 20＝13＋7＝17＋3 长13厘米、宽7厘米或长17厘米、宽3厘米。 13×7＝91（平方厘米） 17×3＝51（平方厘米） 答：这个长方形的面积可能是91平方厘米或51平方厘米。 7．不能；能；215不是3的倍数，是5的倍数 【分析】如果215是3的倍数，则每3瓶装一箱，能正好装完，反之则不能装完。如果215是5的倍数，则每5瓶装一箱，能正好装完，反之则不能装完。根据3和5的倍数的特征进行分析。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 【详解】2＋1＋5＝8，8不是3的倍数，则215不是3的倍数。215个位是5，则215是5的倍数。 答：如果每3瓶装一箱，不能正好装完；如果每5瓶装一箱，能正好装完。因为215不是3的倍数，是5的倍数。 8．6种 【分析】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数；先写出24的因数，然后排除1与24即可。 【详解】24的因数有1、24、2、12、3、8、4、6，因为排数必须在2~12排之间，则排除1、24，则可以排2排每排12人、排3排每排8人、排4排每排6人、排6排每排4人、排8排每排3人、排12排每排2人，共有6种不同的列队方式。 答：一共有6种不同的列队方式。 9．6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 10．2人；4人 【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【详解】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 11．198名 【分析】根据题意，如果站成5列且每列的人数相等，还少2名老奶奶，说明老奶奶的人数加上2人正好是5的倍数； 因为参加这次比赛的老奶奶有100多名不到200名，这个范围内5的倍数最大是200，再减去2，即是老奶奶最多的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】200是5的倍数； 200－2＝198（名） 答：参加这次广场舞比赛的老奶奶最多有198名。 12．7种 【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找，这时，两个乘数都是积的因数。求出36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。 【详解】36＝1×36，排成1行或者36行，都不符合题意； 36＝2×18，排成2行或者18行； 36＝3×12，排成3行或者排成12行； 36＝4×9，排成4行或者排成9行； 36＝6×6，排成6行。 答：一共有7种不同的排法。 13．5263631 【分析】一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数，最小的质数是2；1只有1个因数。据此解答。 【详解】根据分析可知，A是5，B是2，C是6，D是3，E是6，F是3，G是1，所以这个号码是：5263631。 14．187平方米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长糊2，代入数据，求出长方形地的长与宽的和，即56÷2＝28米；长方形的长和宽都是质数，把28分解成两个质数相加，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出长方形面积，比较大小即可得解。 【详解】56÷2＝28（米） 28以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23 5＋23＝28（米） 11＋17＝28（米） 长方形长是23米，宽是5米； 面积：5×23＝115（平方米） 长方形长是17米，宽是11米； 面积：11×17＝187（平方米） 115＜187，最大面积是187平方米。 答：这个长方形的面积最大是187平方米。 15．3种；见详解 【分析】根据题意，要把48块月饼装在盒子里，每个盒子装的同样多，那么每个盒子装月饼的数量一定是48的因数； 先列举出48的所有因数，再找出大于3且小于9的因数，即是每盒装月饼的数量，再用月饼的总数除以每盒装月饼的数量，求出需要盒子的数量。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在3～9之间的因数有：4，6，8； 即有3种装法：每盒装4块、6块、8块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有3种装法：每盒装4块需要12个盒子，每盒装6块需要8个盒子，每盒装8块需要6个盒子。 16．256199 【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【详解】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 17．见详解 【分析】模仿题中的例子，通过举例一个数，来推理即可。 【详解】答：我们也通过举例来说明：以365为例，365＝3×100＋6×10＋5×1，所以3×100也是2的倍数，6×10也是2的倍数，所以只需看5×1是否是2的倍数即可，所以得出：个位上的数是0、2、4、6或8的数就是2的倍数。 18．1935786420 【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。 【详解】从左看起，它第一位上的数既不是质数，也不是合数，是1；第二位、第十位分别是最大的一位数和最小的偶数，即分别是9和0；第三位到第五位上的数既是连续的奇数，又是连续的质数，分别是3、5、7；从第六位起，是连续的偶数，是8、6、4、2、0；所以这个数写作：1935786420。 19．见详解 【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除，每支笔的价格是3元，即王老师付款的钱数一定是3的倍数，据此解答。 【详解】3＋7＝10 10不是3的倍数，所以37不是3的倍数。 答：37不是3的倍数，所以售货员计算的钱数不对。 20．营业员找得不对，理由见详解 【分析】根据5的倍数的特性是，个位上是0或5的数都是5的倍数。即李叔叔买了5个长征四号丙运载火箭模型，每个模型的价格是整数，所以5个模型的总价一定是5的倍数。他付给营业员500元，找回的钱数也一定是5的倍数；据此解答。 【详解】47的个位数是7，不是0或5，所以47不是5的倍数。 答：营业员找得不对。 21．181本 【分析】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【详解】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 22．偶数；理由见详解 【分析】①偶数±偶数＝偶数；②奇数±奇数＝偶数；③偶数±奇数＝奇数，据此分析解答。 【详解】如果全部答对：30×3＝90；90是偶数； 如果答错1道题：去掉3分，还扣1分， 扣：3＋1＝4（分）； 90－4＝86（分），86是偶数。 如果答错2道题：去掉3×2分，扣1×2分， 扣：3×2＋1×2 ＝6＋2 ＝8（分） 90－8＝92（分），92是偶数。 1道不答：得1分，相当于扣：3－1＝2（分） 90－2＝88（分），88是偶数。 2道题不答：得1×2＝2（分）， 相当于扣： 3×2－2 6－2 ＝4（分） 90－4＝86（分）；86是偶数。 所以说，无论有多少题答错或不答，都相当于从偶数分中扣除偶数分，每个学生的得分都是偶数；由此可知，五年级参赛学生得分总和是偶数。 答：五年级参赛学生得分总和是偶数。 23．3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 24．48个 【分析】3的倍数的特征，一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数；5的倍数的特征：个位上是0或5的数就是5的倍数；根据题意，5个5个地数余3个，且数量在40～50之间，即5×8＋3＝43（个），5×9＋3＝48（个），48＝3×16，48符合3个3个地数，刚好数完，所以小花有48个糖块，据此解答。 【详解】5×8＋3 ＝40＋3 ＝43（个） 5×9＋3 ＝45＋3 ＝48（个） 48＝3×16 答：小花有48个糖块。 【点评】本题考查3的倍数的特征和5的倍数的特征，学生需熟练掌握。 25．3根；12个 【分析】根据题意，57根跳绳，每个小组分5根，用跳绳的总根数除以5，求出可以分给几个小组，还剩几根；再用每个小组分的根数减去剩下的根数，就是还需再拿来几根跳绳才刚好够分；用分的小组数加1，即可求出一共有几个小组。 【详解】57÷5＝11（个）……2（根） 至少再拿：5－2＝3（根） 共有小组：11＋1＝12（个） 答：至少再拿来3根跳绳才刚好够分，一共有12个小组。 26．22、24、27或29张 【分析】一共二十几张书法作品，一排贴5张，剩余的张数不够贴一排且是一个偶数，那么剩余张数有可能是2张或4张，用5乘4及5×5加上2、4即可得出作品可能有多少张。 【详解】5×4＝20（张） 5×5＝25（张） 20＋2＝22（张） 20＋4＝24（张） 25＋2＝27（张） 25＋4＝29（张） 答：这些书法作品有可能是22、24、27或29张。 27．小强：14岁；爸爸：42岁 【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小明年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小明的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小明的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小明的年龄。 【详解】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小明今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小明今年14岁。 28．42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 29．奇数 【分析】小玲和小芳带去的本数都是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以小玲和小芳带去的本数之和是偶数；因为25是奇数，根据奇数－偶数＝奇数即可得解。 【详解】因为小玲和小芳带去的本数都是奇数， 奇数＋奇数＝偶数， 所以小玲和小芳带去的本数之和是偶数； 25是奇数， 奇数－偶数＝奇数， 所以小丽带去的本数是奇数。 30．5种；见详解 【分析】 先列举出20的所有因数，这些因数就是每盒装月饼的个数，结合“每盒最少2个”的要求，排除每盒装1个的装法，进而得出不同的装法，据此解答。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 每盒最少2个，装法有： ①每盒装2个，装10盒； ②每盒装4个，装5盒； ③每盒装5个，装4盒； ④每盒装10个，装2盒； ⑤每盒装20个，装1盒； 一共有5种装法。 答：有5种装法，分别是①每盒装2个，装10盒；②每盒装4个，装5盒；③每盒装5个，装4盒；④每盒装10个，装2盒；⑤每盒装20个，装1盒。 31．会正好 【分析】根据题意可设一共分x组，则全班人数有6x＋3人，变换式子可得6x＋3＝3×（2x＋1），根据3的倍数关系，即可解答。 【详解】设一共分x组，则全班有6x＋3人。 6x＋3＝3×（2x＋1） 全班人数是3的倍数。 所以如果3人一组，人数会正好。 答：人数会正好。 32．不对；理由见详解 【分析】纯牛奶5元/瓶，所以纯牛奶的总价是5的倍数，个位上是0或5；果汁10元/瓶，所以果汁的总价是整十数，合起来的总价个位上应该是0或者5。据此解答。 【详解】通过分析可得：售货员阿姨找回的钱不对。因为纯牛奶的总价个位上应是0或5，果汁的总价个位上是0，则合起来的总价个位上应该是0或者5。用100减去个位上是0或5的数，应找回的钱的个位上也应该是0或5。所以阿姨找回18元是不对的。 33．奇数；偶数 【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，解答即可。 【详解】30是偶数，如果甲队人数为奇数，那么乙队也为奇数；如果甲队人数是偶数，那么乙队人数也是偶数。 34．12417名 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数即可。 【详解】1既不是质数也不是合数，万位和十位上的数是1；最小的质数是2，千位上的数字是2；最小的合数是4，百位上的数字是4；个位上数字是这个五位数的十位、百位、千位上数字之和，1＋4＋2＝7。这个数是12417。 答：具体有12417名运动员报名参赛。 35．见详解 【分析】根据奇偶数的运算性质：奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数；解答即可。 【详解】由分析可得：361是奇数，放进两个棋和就是将361分成两部分，即分成两个数。 如果一个数是偶数，那么另一个数一定是奇数； 如果一个数是奇数，那么另一个数一定是偶数。 答：如果甲盒装的棋子数为偶数，那么乙盒装的棋子数是奇数，如果甲盒装的棋子数为奇数那么乙盒装的棋子数是偶数。 36．3个3个地数，能，264是3的倍数；5个5个地数，不能， 264不是5的倍数 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 步兵佣如果是3的倍数，能正好数完，不是则不能；步兵佣如果是5的倍数，能正好数完，不是则不能，据此分析。 【详解】2＋6＋4＝12 264是3的倍数。 个位上的数字是0或5的数是5的倍数，264不是5的倍数。 答：3个3个地数，能正好数完，因为264是3的倍数；5个5个地数，不能正好数完，因为264不是5的倍数。 37．77或65平方分米 【分析】长方形周长÷2＝长与宽的和，再结合除了1和它本身以外不在有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【详解】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 答：这幅山水画的面积可能是77或65平方分米。 38．5块，13块或7块，11块 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数。18以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17，据此解答。 【详解】7＋11＝18（块） 5＋13＝18（块） 答：这两份饼干可能是5块和13块，也可能是7块和11块。 39．售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。进行分析得出答案。 【详解】139元，1＋3＋9＝13，13不是3的倍数。 答：售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 40．有四种装法：每袋装4个，装12袋；每袋装6个，装8袋；每袋装8个，装6袋；每袋装12个，装4袋 【分析】要使每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余，求每个袋子装多少个，就是求48的因数，且大于或等于4，根据求因数的方法，先将48拆分为两个大于或等于4的整数相乘，即48＝4×12＝6×8，据此有4个符合的因数，所以有4种装法。 【详解】48＝4×12＝6×8 答：有四种装法：每袋装4个，装12袋；每袋装6个，装8袋；每袋装8个，装6袋；每袋装12个，装4袋。 41．不对，买若干个中国风杯垫和山水画书签的总钱数一定是5的倍数，个位上一定是0或5，则找回的钱的个位上也一定是0或5，所以找回17元不对。 【分析】中国风杯垫10元1个，山水画书签5元1个，小欣买两种物品的钱一定是5的倍数，根据5的倍数特征：个位上是0或5的是5的倍数。据此可判断小欣找回的钱是否正确，据此可得出答案。 【详解】小欣买两种物品的价钱应是5的倍数，根据5的倍数特征，付出的钱只能个位上是0或5；小欣给了售货员50元，则找回来的钱数应该个位也是0或5，不会找回17元。 答：小欣找回的钱不对；小欣买两种物品的价钱是5的倍数，则拿出50元。找回的钱也应该是5的倍数，所以不可能找回17元。 42．（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为1次，也就是说摆渡第1次结束时，船在北岸；摆渡第2次结束时，船在南岸；摆渡第3次结束时，船在北岸；摆渡第4次结束时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 43．99平方厘米 【分析】根据长方形的周长公式，可得长＋宽＝40÷2＝20厘米，再根据质数和合数的定义，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。找出符合要求的质数和合数，最后利用长方形的面积公式即可得解。 【详解】40÷2＝20（厘米） 长和宽的米数是由一个质数和一个合数组成的。 20＝2＋18＝5＋15＝9＋11 2×18＝36（平方厘米） 5×15＝75（平方厘米） 9×11＝99（平方厘米） 36＜75＜99 答：它的面积最大是99平方厘米。 【点评】此题主要考查质数和合数的定义以及长方形的周长、面积的计算方法。 44．这位同学是许强。 【分析】根据找一个数的因数的方法：找配对如：41＝1×41，所以41的因数有：1、41；43＝1×43，所以43的因数有：1、43；45＝1×45、45＝5×9，所以45的因数有：1、5、9、45；47＝1×47，所以47的因数有：1、47；结合题意可知只有许强数对了。 【详解】经过查找，只有45÷5＝9，表示共5行，每行植9棵；或共9行，每行植5棵，故这位同学是许强。 答：这位同学是许强。 【点评】此题考查了找一个数的因数的方法的应用。 45．28米；理由见详解 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 【点评】找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 46．每行4人，排12列；每行6人，排8列 【分析】根据长方形的面积公式：长×宽，先把48写成两个因数相乘的形式；根据题意每行每列不少于3人，可以确定出每种队形的行数和列数，据此解答。 【详解】48＝4×12＝6×8 排成的长方形有：每行4人，排12列 每行6人，排8列（答案不唯一）。 答：每行4人，排12列；或每行6人，排8列 【点评】本题考查求一个数因数的方法，再根据题意，确定要排成长方形的行数和列数。 47．49张 【分析】比40张多，比50张少，如果按4张一组来数，剩1张，符合条件的数有41，45， 49三个，再找出符合5张一组来数，剩4张的数即可解答。 【详解】因为如果按4张一组来数，剩1张，且图片张数比40张多，比50张少，则图片的张数是4的倍数且多1张； 所以这些图片可能有41，45，49三个； 45是5的倍数，不符合题意， 41÷5＝8……1，不符合题意； 49÷5＝9……4，符合题意； 答：这些图片有49张。 【点评】本题考查倍数，明确图片的张数是4的倍数且多1张是解题的关键。 48．不能做到；理由见详解。 【分析】此题可以从加法的角度理解：面包盒的个数是加数的个数，每个盒里的面包个数是加数，45是和。则本题可以理解为4个奇数的和能否是45，也就是偶数个奇数的和能否是奇数。因为奇数＋奇数＝偶数，奇数＋奇数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数，所以偶数个奇数相加，和是偶数。根据和的奇偶性解答即可。 【详解】45个面包分装到4个面包盒里，每个盒子里只放奇数个面包，不能做到。 因为偶数个奇数相加，和是偶数。4是偶数，4个奇数的和是偶数，而45是奇数，所以这样分装不能做到。 【点评】奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数。 49．能；不能；理由见详解 【分析】个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此解题。 【详解】答：65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完，因为65的个位上是5，符合5的倍数的特征； 如果每3颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为6＋5＝11，11不是3的倍数，那么65也不是3的倍数。 【点评】本题考查了3和5的倍数，掌握3和5的倍数特征是解题的关键。 50．1429 【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）。1既不是质数也不是合数。据此解答。 【详解】1既不是质数也不是合数，4是最小的合数，2既是偶数又是质数，9既是奇数又是合数，所以这个四位数是1429。 答：王叔叔的步数是1429。 【点评】本题主要考查了质数、合数、奇数、偶数的认识和应用，掌握相关知识点是解答本题的关键。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$