1.4.2 充要条件（分层作业） -【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.4.2 充要条件 分层作业 分层作业 1、 题型研究 一、充分、必要、充要条件的判断 【例1】在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答): (1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; (2)在一元二次方程中，有实数根，; (3); (4); (5). 二、充要条件的证明 【例2】已知关于的一元二次方程：①，②，．求证：方程①和②都有整数解的充要条件是． 三、充要条件的应用 【例3】已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 2、 基础达标 1.已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.下列是的充要条件的是（    ） A．， B．或， C．且，且 D．， 3.“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4.设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件. 5.已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知命题：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.命题“”是真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 9. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3、 能力提升 1.关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2.已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4.已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 5.方程有实根的充要条件为 . 6.设集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 7.指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 8.下列各题中，是的什么条件？ （1）； （2）； （3）. 4、 直击高考 1.（2011·天津·高考真题） 设则“且”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 2.（2022·吉林·一模）已知   ，若是的充分不必要条件，则的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3] 3.（2021·辽宁·二模）设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1 4.（2023·天津滨海新·三模）已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 充要条件 分层作业 分层作业 1、 题型研究 一、充分、必要、充要条件的判断 【例1】在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答): (1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; (2)在一元二次方程中，有实数根，; (3); (4); (5). 【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件. 【解析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析. (2)根据二次方程的根分析 (3)根据集合的基本关系分析 (4)根据集合的基本关系分析 (5)举例说明分析 【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形, 故p是q的必要不充分条件. (2) 一元二次方程有实数根则判别式. 故p是q的充要条件. (3)因为,故且；当时不一定成立. 故p是q的充分不必要条件. (4) 因为,故或,所以不一定成立； 当时一定成立. 故p是q的必要不充分条件. (5) 当时,满足但不成立. 当时,满足但不成立. 故p是q的既不充分又不必要条件. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型. 二、充要条件的证明 【例2】已知关于的一元二次方程：①，②，．求证：方程①和②都有整数解的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先用判别式判断两个方程同时有解时实数的范围为且， 再取或，分别求两方程的解，再判断两方程是否都有整数解即可. 【详解】证明：方程①有实根的充要条件是且，所以且， 方程②有实根的充要条件是，解得， 所以方程①②都有实根的充要条件是：且， 又，故或， 当时，方程①的解为，故不满足题意， 当时，方程①的解为， 方程②的解为或，满足题意， 从而方程①和②都有整数解， 反之，方程①和②都有整数解， 所以方程①和②都有整数解的充要条件是：． 【点睛】本题考查了二次方程有解的充要条件及二次方程解的求法，重点考查了运算能力及方程的思想，属中档题. 三、充要条件的应用 【例3】已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可. 【详解】解：因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或解得． 即实数的取值范围是． 2、 基础达标 1.已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取判断充分性，根据不等式的性质判断必要性. 【详解】取，满足，但不满足， 故“”不是“”的充分条件. 若，则， 故“”是“”的必要条件. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选:B. 2.下列是的充要条件的是（    ） A．， B．或， C．且，且 D．， 【答案】B 【分析】依次分析选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，若时不满足，故不符合； 对于选项B，解得或，符合题意； 对于选项C，且可以得到且；而且不能得到且.故是的充分不必要条件，不符合题意； 对于选项D, 可以得到，由得 不能得到.故是的充分不必要条件，不符合题意. 故选：B. 【点睛】本题考查充要条件的判断，是基础题. 3.“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】因为且，则必要性成立； 而当时，取，此时，则充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 4.设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件. 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义一一判定即可. 【详解】易知，而或， 所以设，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5.已知，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法即可求出结果. 【详解】因为时，得，故，即可以推出， 又时，得或，取，，满足，但不满足， 即推不出，故“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 6.“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用命题的充分而不必要条件定义即可得到二者间的逻辑关系. 【详解】由，可得， 则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“”. 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：B 7.已知命题：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出绝对值不等式化简命题p，再结合充分必要条件的定义进行判断. 【详解】由，解得，则命题p：. 因为：，则由能推出，但不能推出， 因此，是的充分必要不条件． 故选：A． 8.命题“”是真命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为在上恒成立，可求出结果. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以在上恒成立， 所以，即， 所以命题“”是真命题的充要条件是. 故选：C 9. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】判断命题和是否正确． 【详解】由“”可以推出“”；考虑到、的情况，由“”不能推出“”， 故选：C. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，解题时必须证明两个命题的真假才能说明．即和 ，在为真，为假的情况下才能说明是的充分不必要条件． 10.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】令，，分析集合元素的特征，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设集合， 集合， 可知：集合表示的元素是的整数倍，集合表示的元素是的奇数倍， 即， 由不能推出，且由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 3、 能力提升 1.关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件. 【详解】由方程有实根，则，可得. 所以是题设方程有实根的充要条件. 故选：C 2.已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简两个条件，即可得出结论. 【详解】由题意， 在中，解得：或， 在中，解得：， ∵可以推出，不可以推出， ∴是的必要不充分条件， 故选：B. 3.“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出成立的充要条件，再由必要不充分条件逐项判断即可. 【详解】因为， 所以即， 对于,，是“”成立的充要条件，故错误； 对于，，是“”成立的充分不必要条件，故错误； 对于,是“”成立的必要不充分条件，故正确； 对于，，是“”成立的既不充分又不必要条件， 故选：. 4.已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 5.方程有实根的充要条件为 . 【答案】 【分析】由可得结果. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 6.设集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】先利用补集概念求，再结合交集概念求； 由“”是“”的充分不必要条件，可得，再建立不等关系求m的取值范围即可. 【详解】（1）由题意知当时，，故， 而，故． （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得为的真子集， 又，故需满足且中等号不能同时取得， 解得， 综上所述：的取值范围为 7.指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)充要条件 (3)既非充分也非必要条件 (4)充分非必要条件 【分析】（1）（2）（3）（4）根据，的关系逐一求解. 【详解】（1）由可得或者， 故是的必要不充分条件， （2）同位角相等，两直线平行；当两直线平行时，同位角相等， 故是的充要条件 （3）由可得或，故是的既不充分也不必要条件， （4）由可得，故是的充分不必要条件， 8.下列各题中，是的什么条件？ （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）充分不必要条件；（2）充要条件；（3）必要不充分条件. 【解析】（1）根据得到，再由空集的性质，以及充分条件与必要条件的概念，即可得出结果； （2）根据得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果； （3）根据交集的概念，以及充分条件与必要条件的概念，即可得出结果； 【详解】（1）若，则；因为空集是任意集合的子集，所以由能推出；反之，不一定成立；所以是的充分不必要条件； （2）由得；所以，即是的充要条件； （3）根据交集的概念，且，所以由不能推出；由能推出； 因此是的必要不充分条件. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 4、 直击高考 1.（2011·天津·高考真题） 设则“且”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A． 2.（2022·吉林·一模）已知   ，若是的充分不必要条件，则的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3] 【答案】A 【详解】：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件 ∴集合q是集合p的真子集，qP 即a∈[1，+∞）． 故选A 3.（2021·辽宁·二模）设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1 【答案】B 【详解】试题分析：当时，显然有“中至少有一个数大于”，反之，“中至少有一个数大于”时，不一定有，因为“中至少有一个数大于”包括了，只有一个数大于和两个数均大于两种可能情况，.故选. 考点：1.命题；2.充要条件. 4.（2023·天津滨海新·三模）已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 对两边同时平方可得，所以， 所以”是“”的充要条件. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$