第三章 圆锥曲线的方程（单元重点综合测试）-【单元速记】2024-2025学年高二数学单元速记（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（22-23高二上·吉林·阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西安康·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 5．（23-24高二下·重庆·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为为上一点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 10．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ） A． B．3 C． D．4 11．（23-24高三下·全国·强基计划）抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·西藏·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为 ． 13．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 14．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024高三·全国·专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)过点和点的椭圆； (2)焦点在x轴上，离心率为，且过点的双曲线． 16．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 17．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）． (1)若，求直线l的方程； (2)求面积的最小值． 18．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程; (2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 19．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点，H为线段EF的中点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点，且，求直线的方程. (3)点为直线上一点，且不在轴上，是椭圆长轴的两个端点，直线与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设的面积分别为，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（22-23高二上·吉林·阶段练习）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质即可求出其准线方程． 【详解】抛物线的准线方程为：. 故选：D 2．（23-24高二下·陕西安康·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程直接求解即可 【详解】由，得， 所以， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：A 3．（23-24高二下·河南·阶段练习）若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合椭圆的标准方程和性质，即可求解． 【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即． 故选：D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离. 【详解】如图所示： 设切点为Q，则， 则， 设，则由两点间距离公式得到， 解得，因为，所以， 因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为. 故选：A. 5．（23-24高二下·重庆·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知动点在线段的延长线上，根据椭圆定义可得为定值，即可判断其轨迹为圆，写出方程即可得解. 【详解】由椭圆得， 故， 由题意，动点在射线的延长线上，且， 故， 故动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 其方程为. 故选：D 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得， 化解得， 因为直线与椭圆相切， 所以， 化简整理得，所以. 故选：C. 7．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为为上一点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点，连接，根据已知条件得为等腰三角形，则，,设，则，再由即可计算. 【详解】如图，取线段的中点，连接， 因为， 所以为等腰三角形， 所以，且， 所以 ， 设，则， 所以的离心率 . 故选：D. 8．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由双曲线定义和题目条件，表达出，，，在中，由余弦定理得，则，在中，由余弦定理得，故，设，求出直线与的斜率之积为. 【详解】设，则， 由双曲线定义得，， 在中，由余弦定理得 ， 解得， 则，， 在中，由余弦定理得 ， 解得，则，， 设，则， 将代入得， 则直线与的斜率之积为. 故选：D 【点睛】结论点睛：圆锥曲线中点弦相关结论及其推广： 椭圆与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：已知椭圆的两顶点分别为，则椭圆上一点（除两点），满足； 双曲线与直线相交于两点，弦的中点为，其中原点为， 则， 推广：已知双曲线的两顶点分别为，则双曲线上一点（除两点），满足； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得，即可判断AB，由余弦定理代入计算即可求得，再由三角形的面积公式，即可判断CD 【详解】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 10．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】AB 【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出的取值范围，即可判断． 【详解】因为方程表示的曲线是双曲线， 由，显然， 即，则， 其中表示点到定点的距离， 表示点直线的距离，又点不在直线上， 则表示平面内一点到定点的距离与到直线的距离之比， 依题意可得，解得，结合各选项可知，只有A、B符合题意. 故选：AB 11．（23-24高三下·全国·强基计划）抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（    ） A．． B．的最大值为16． C． D． 【答案】CD 【分析】对于，设直线的方程为，联立抛物线方程用韦达定理即可判断； 对于，求导得，则直线的斜率为，进而可得直线的方程，联立抛物线方程用韦达定理即可判断； 对于，过作轴平行线交于，结合选项知，的面积等于的2倍，根据直线的方程可得，可求，进一步可求得，利用基本不等式结合即可判断． 对于，由直线的方程可得坐标，进一步可得，即可判断； 【详解】 如图所示，切线记为，记为． 对于，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去得，， 所以，故，故错误； 对于，因为，所以，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 联立，消去得，故，故正确； 对于，不妨设，过作轴平行线交于，根据选项知，的面积等于的2倍．（下面证明一下）, ，，由D选项的证明知道，则 直线的方程为，当时，， 故，由选项知， 故 ，当且仅当，即时取等号， 即，所以，故错误． 对于，由直线的方程可得，，， 所以，故正确； 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·西藏·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据题目条件求出和，然后根据椭圆定义进行转换，求出的最小值. 【详解】设椭圆C的半焦距为c，由题意，得，，所以，． 设椭圆C的左焦点为，则， 所以． 故答案为：． 13．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 【答案】 【分析】依题设点，，由求出的值，即可求得圆的方程. 【详解】设点，则，若抛物线的顶点为,焦点为， 依题意，,即，解得，， 则圆的圆心为，半径为, 故这个圆的方程为：. 故答案为：. 14．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义，结合余弦定理求得，再利用余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】令，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则，令， 在中，由余弦定理得，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024高三·全国·专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)过点和点的椭圆； (2)焦点在x轴上，离心率为，且过点的双曲线． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求解即得. （2）根据给定条件，结合离心率设出双曲线方程，求出待定系数即得. 【详解】（1）依题意，设椭圆方程为， 则，解得， 所以所求椭圆的方程为. （2）令双曲线实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为，依题意，，即， 而，则，设双曲线方程为，于是，解得， 所以所求双曲线方程为. 16．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义，列式求解即可； （2）设点，根据中点坐标运算得，代入得，即可求得动点的轨迹方程. 【详解】（1）联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. （2）设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. 17．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点（点A在第一象限）． (1)若，求直线l的方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据向量的共线关系可得，即可结合韦达定理求解，或者利用抛物线的焦半径关系，结合图形关系，利用锐角三角函数即可求解， （2）根据面积公式以及韦达定理得表达式，即可根据二次函数的性质求解最值. 【详解】（1）法一：抛物线的焦点为，设直线l的方程是． 设，，，由 得，显然， ，， 由可得：，则， 由于，，所以，． l的方程为：即 法二：作出抛物线的准线，设A，B在l上的射影分别是C，D，连接AC，BD， 过B作于E．，设，， 由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得，． 因此，中，， ，则l的方程为： （2） 当时即l的方程为：，此时的面积最小值为2． 18．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知椭圆的短轴长为2，离心率为. (1)求的方程; (2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程； （2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程. 【详解】（1）依题意：，解得， 所以E的方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设， 联立，消y得：， 整理得：， ，则， ， 则， 即， 则，即， 解得或， 则直线l的方程为或． 19．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于E，F两点，H为线段EF的中点. (1)求椭圆的方程; (2)已知点，且，求直线的方程. (3)点为直线上一点，且不在轴上，是椭圆长轴的两个端点，直线与椭圆C的另外一个交点分别为M，N，设的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2)或者; (3). 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的定义得到，在中，利用余弦定理列出方程求得的值，即可求解； （2）设的方程为:，联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即可求解； （3）设，得到，，联立方程组求得和，结合，令，结合函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的定义得，因为，所以， 在中，由余弦定理得， 即， 又，即，代入整理得，解得，所以， 所以椭圆的方程为:. （2）解：由题意，设的方程为:，且， 联立方程组，整理得， 则且， 所以，则， 因为，所以，即， 整理得，因为，可得或， 直线的方程为或者. （3）解：设且，则，， 联立方程组，整理得，可得， 同理可得，联立，整理得，可得， 所以， 令，则， 当，即，即时，取得最大值. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 学科网（北京）股份有限公司 $$