第三章 圆锥曲线的方程（单元复习，压轴题专练）-【单元速记】2024-2025学年高二数学单元速记（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程（压轴题专练） 01 单选压轴题 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，记，利用二倍角公式求得，根据构造齐次式即可求解. 【详解】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据椭圆上的动点位于短轴端点时取得最大值，将问题转化为，从而得解. 2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别，．是上一点(在第一象限)，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，用，表示的各边长，利用勾股定理确定，的关系，再探求与的关系，利用余弦定理和直角三角形的边角关系，列出等式，再由双曲线中的关系，求出即可. 【详解】如图： 设，则，因为，所以，根据双曲线的定义：， 因为，由勾股定理得：，所以. 所以：， ，. 在中，. 在中，. 因为，，所以， 从而，即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是得到，利用得到关于的关系，整理过程运算量较大，要足够细心和耐心. 4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点和上顶点A的直线交于另外一点，若，且的面积为，则实数的值为（    ） A．3 B． C．3或7 D．或7 【答案】D 【分析】设，利用余弦定理分析可得，再结合面积关系可得或，分别代入分析即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则，，， 设， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 又因为，则， 解得，可得或， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，符合题意； 综上所述：实数的值为或7. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 5．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知拋物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】设直线与抛物线联立方程，建立等式化简计算可得，，同理可得，，有，设直线与抛物线联立方程，建立等式计算可得，而在直线,上，建立等式计算可得，根据三角形面积公式计算即可. 【详解】设， 因为点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点， 所以直线,斜率均存在， 故设直线， 则， 所以，因为，代入化简得，得， 所以直线，整理得， 设直线，同理可得， 所以，即， 设直线， ， 所以，，得， 因为抛物线的焦点为， 所以设直线恒过抛物线焦点， 而在直线,上， 所以，即是方程是方程的两实数根， 所以，解得，即 所以， 设到直线的距离为，则， 所以，当时，面积的最小为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键根据切线方程与抛物线建立等式计算可得，直线与抛物线建立等式可得直线经过抛物线的焦点；在直线,上，得是方程方程的两相异实数根，利用根与系数的关系建立等式求得，最后根据三角形面积公式计算可得. 6．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】设，则由已知可得，设直线的方程为，，将直线方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，可得，再由，是线段的中点，可得，两式结合化简可求出离心率. 【详解】设且，则， 因为，所以，得， 设直线的方程为，， 由，得， 由，得， 所以， 所以，① ， 因为，是线段的中点， 所以，即，化简得， 由①，得，所以， 所以， 所以离心率， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查平面向量的数量积运算，解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围. 【详解】当，表示椭圆第一象限部分； 当，表示双曲线第四象限部分； 当，表示双曲线第二象限部分； 当，不表示任何图形； 以及两点， 作出大致图象如图： 曲线上的点到的距离为， 根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是， 直线与距离为， 曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1， 联立，消得， ，且， 所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点， 考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过曲线上的点到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围. 8．（2024·湖南永州·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得，在中，由余弦定理可得，进而可得，而，从而可求解. 【详解】 如图 , , , ， 设,则， 平分 , , , 由双曲线定义可知， ，即, 在中，由余弦定理知 化简得 , 由得 , 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则 , . 故选：B 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得. 9．（2024·四川雅安·三模）若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助焦半径公式计算可得，结合外接圆的定义即可求得该外接圆方程，借助切线性质可得点的坐标，设出点坐标，借助坐标表示出，结合辅助角公式计算即可得解. 【详解】由，可得，故，则， 令，则，即，分别为， 令圆心坐标为，则有，解得， 故圆的半径为，即圆的方程为， 设，，则有， 化简得，即，则， 由圆的对称性，不妨设在第一象限，即， 设，， 则 ， 其中，由，故， 故. 故选：B.    【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助三角函数设出、的坐标，从而只用一个变量表示该点，用角表示出后，结合辅助角公式计算即可得. 10．（2024·湖南邵阳·三模）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得∥，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，由余弦定理可得，从而可求解. 【详解】因为，则∥，且，， 设，则， 又因为平分，则， 可得，， 由双曲线定义可知，， 可得，且， 因为，则， 可得， 即，化简得， 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得∥，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，再结合余弦定理分析求解. 02 多选压轴题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）定义：过曲线上一点且垂直于该点处切线的直线为曲线在该点处的法线．已知是抛物线C：上一点，F是抛物线C的焦点，点P处的切线与y轴交于点T，点P处的法线与x轴交于点A，与y轴交于点G，与抛物线C交于另一点B，点M是PG的中点，则下列结论正确的有（    ） A．点T的坐标是 B．的方程是 C． D．过点M的抛物线C的法线有且只有 【答案】BC 【分析】先求出抛物线方程，接着根据题意可求出切线以及法线的切线方程，进而可求出A、B、G、M、T五个点的坐标即可依次判断ABC选项，对于D，设过点M的法线与抛物线C的交点为，则可以求出点处的法线方程，进而将点M代入即可求解判断. 【详解】对于A，由题得，故抛物线C方程为即， 故，所以点处的切线斜率为2， 所以切线方程为即， 令，则，所以，故A错误； 对于B，由A以及法向量定义可知切线的法向量的斜率为， 故的方程为即，故B正确； 对于C，对于，令，则，所以； 令，则，所以， 联立或，即，， 所以，，， 则，，故，故C正确； 对于D，因为M是PG的中点，故由上得， 所以，设过点M的法线与抛物线C的交点为， 由分析可知点处的切线斜率为，故法线斜率为， 所以点处的法线方程为， 将代入法线方程得， 即或，故或， 所以过点M的抛物线C的法线有两条.故D错. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 2．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知椭圆：的左右焦点分别为，，将曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线，则下列说法正确的是（   ） A．曲线为圆 B．曲线的面积可能与曲线面积相等 C．曲线与曲线的离心率分别为，则 D．若的四个顶点构成的四边形面积为，则的离心率为 【答案】BC 【分析】利用相关点法求得曲线的轨迹方程判断选项A；根据椭圆面积公式列方程求解判断选项B；根据椭圆离心率的定义式判断选项C；综合运用椭圆的几何性质和四边形的面积公式判断选项D. 【详解】设点为曲线上任意一点，则由题意知，即， 代入椭圆的方程得. 所以曲线的方程为.不是圆的方程，所以A错误； 椭圆：的面积为， 椭圆：的面积为， 令得，即当时，曲线的面积与曲线面积相等，故B正确； 由已知得，，则， 所以，所以C正确； 设，因为的四个顶点构成的四边形的面积为，所以， 所以，所以，所以， 所以（负舍），所以D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 3．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为，，离心率为，点，都在上（均不与点重合），且关于轴对称，则下列说法正确的是（   ） A． B．若存在点，满足（为坐标原点），则 C．若，则 D．若，则（，分别表示直线，的斜率） 【答案】ACD 【分析】对于A：利用双曲线的定义及对称性进行计算；对于B：根据是等腰直角三角形得到范围，进而可得离心率的范围；对于C：设，代入坐标计算的值即可；对于D：先求出的值，设，去掉的绝对值，然后利用基本不等式求最值. 【详解】对于A：由对称性可知，双曲线的定义得，A正确； 对于B：若，又，所以是等腰直角三角形，则双曲线的一条渐近线的斜率大于，即，所以，B错误； 对于C：由已知，设，则，记直线的斜率分别为，则，又， 所以，当时，，C正确； 对于D：若，则，不妨设， 则， 因为，所以等号不成立，故，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线涉及焦点的可以多结合定义去解答；对于定值问题可以将点坐标化，然后通过计算求解. 4．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为16 【答案】BCD 【分析】设，，且,设直线，联立直线和抛物线方程得韦达定理，再结合两角和与差的正切公式，导数运算等知识，对各个选项逐一分析即可. 【详解】显然当直线斜率不存在时不合题意，则设直线，与联立得． 设，，则，，，． ， 因此，A选项错误． ，B选项正确． ,，切线，即， 同理，联立解得，故． 不妨设，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q， 则． 当直线PN与抛物线相切时，最小． 与联立，消去y得：， 令，解得，则， 故，C选项正确． ，故， 则，D选项正确． 故选:BCD． 【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题 第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程． 第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程． 第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式. 第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出． 第五步：根据题设条件求解问题中的结论． 5．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知点是椭圆上的一点，经过原点的直线与椭圆交于两点（不同于左、右顶点），且，直线与轴交于点与轴垂直，则下列说法正确的是（    ） A．记直线的斜率为，则 B． C．面积的最大值为 D．若是椭圆的左焦点，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于A，解出坐标，进而解出即可判断；对于B，利用，分别求出，解出，即即可；对于C，由等面积法，解出，当且仅当，时等号成立，即可判断；对于D，由题意可得到，变形再结合基本不等式可得出当且仅当，时等号成立，又是上异于顶点的一点，所以故即可判断. 【详解】 如图： 对于A，设，则，，所以，，所以，故A正确； 对于B，设， 所以， 又，所以，又，所以， 解得，所以，故B正确； 对于C，由，又， 所以， 当且仅当，时等号成立，故C正确； 对于D，记的右焦点为，所以， 所以 ， 当且仅当，时等号成立，又是上异于顶点的一点， 故，所以取不到等号，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：等面积法，解出，当且仅当，时等号成立，等面积结合基本不等式是解决本题的关键所在. 03 填空题压轴 1．（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 . 【答案】 【分析】利用焦半径公式表示，进而利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可. 【详解】第一空，如图，设，，，，    故，，， 而，故， 可得，，即有， 由，所以， 所以，所以. 第二空，，故， 而，故，即， 又， 故， 即，，故得的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，将△的面积用坐标表示，再利用已知条件及点在椭圆上进行坐标运算求解即可. 【详解】设，因为， 所以的斜率存在且不为，即， 直线方程：，即， 所以点到的距离为， 因此△的面积为， 而点在椭圆上，且所以 ，化简得， 所以 ， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，一般先设出点的坐标并进行坐标运算，关键是利用已知条件将所求的式子进行化简，本题中主要利用点在椭圆上满足椭圆的方程以及斜率之积这两个条件进行化简. 3．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】不妨设点在第一象限，依题意结合双曲线的定义可得点的轨迹是圆，用圆的参数方程设出点的坐标，表示出，再换元、用导数解答可得答案. 【详解】因为为双曲线的左、右焦点，所以， 因为为双曲线的一条渐近线，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 依题意，不妨设点在第一象限，如图， 延长交于点，连接， 因为，所以， 又是的平分线上的一点，即平分， 所以，即是的中点，又是的中点，所以， 由双曲线的定义，， 所以，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其方程为，设， 则， 同理得， ， 设，， 则 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解答本题的关键是先得到点的轨迹方程，在求的取值范围时，点的坐标设成是圆的参数方程的形式，把表示出来后，再令，转化为求函数的值域，用导数求出单调性进行解答. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于，两点（可重合），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用定比分点公式得到坐标的关系，将的坐标代入椭圆方程进行相减，得到，再利用椭圆的有界性进行求解． 【详解】设，，，则， 即，，将，的坐标代入椭圆方程， 得 ，得， 即，又， ∴． 又∵， ∴，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查定比分点公式的应用，解决本题的关键在于得到和，考查计算能力，属于较难题. 5．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，为抛物线的准线与轴的交点，直线分别交抛物线于两点（点异于点，），为坐标原点，则实数的取值范围为 ； ． 【答案】 或 1 【分析】联立方程组，令，可得实数的取值范围，根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称，从而可解. 【详解】联立方程组，整理得：， 直线交抛物线于两点， 则，即或； 设,，,， 则， 记，，焦点， 设直线方程为，代入整理得：， 则，同理可得，又， 因此， 根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称， 所以，则. 故答案为：或；1 【点睛】关键点点睛：借助韦达定理并结合根据抛物线的对称性，可知与，与关于轴对称. 04 解答题压轴 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 【答案】(1) (2)直线直线 (3) 【分析】（1）根据△PF₁F₂是等腰直角三角形得到直线方程和方程，然后求出，再根据得到方程组求解. （2）利用对称性得到,然后把条件转化为，再然后结合韦达定理求出和的斜率. （3）通过对称性得到，然后求出直线和直线方程，通过相乘得到P的轨迹方程，最后通过P的轨迹方程消元得到的取值范围. 【详解】（1） 设, 故直线的方程为 由,得, 所以 不妨设， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形可得 所以直线方程为：，同理可得方程为：， 所以交点， 由△PF₁F₂是等腰直角三角形面积为1可得 解得， 又在直线上， 所以, 所以，又， 所以 所以椭圆方程. （2） 由图形对称性可得：， 所以， 设, 将 和椭圆得方程联立得 所以 , 故直线直线 （3） 易得点关于原点对称， 由(2)知, 则直线，直线 , 将两式相乘得 ， 其中 ， 故点P的轨迹方程为：，即 设 则 当时， , 当时，, , , 综上， , 故. 【点睛】关键点点睛：（1）的关键是通过△PF₁F₂是等腰直角三角形得到方程组； （2）的关键是通过对称性把条件转化成一条直线与椭圆的交点问题，然后结合韦达定理求出斜率； （3）的关键是通过对称性结合韦达得到P的轨迹方程，最后通过P的轨迹方程消元得到取值范围. 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）当时，代入椭圆方程，得，结合椭圆性质可得解； （2）先研究轴，再研究当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理化简，可得解. 【详解】（1）根据题意，当时，代入椭圆方程，得， 所以， 所以椭圆方程为； （2）是定值，理由如下： 由题意可得， 当轴时，直线的方程为，易知， 直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得，则， 设，则， 直线的方程为，令，则，所以， 直线的方程为，令，则，所以， 所以， 所以， 可得， 综上，. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（2024·浙江·三模）已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程： (2)若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T． （i）证明：射线是的角平分线； （ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）． 【分析】（1）由题意可直接求出，从而可求出双曲线的方程； （2）（i）设，切线，代入双曲线方程化简，由判别式等于零可表示出，从而可表示出切线方程，表示出点的坐标，然后通过计算的值可得结论；（ii）过作，设，根据角平分线的性质和三角形中位线定理求出，再表示出面积可求出其范围. 【详解】（1）因为实轴长为4  所以，即， 因为右焦点到渐近线距离为1， 所以， 故双曲线的标准方程为． （2）（i）设，切线，则， 联立 化简得． 由，解得：， 所以直线，令，得， 故，． 因为， 所以， 所以，即， 故射线PT是的角平分线． （ii）过作，设． 因为为的角平分线，所以 所以． 因为，，所以， 又因为O为中点． 则是的中位线，故Q是的中点． 所以，记， 因为，所以为锐角，所以为钝角， 所以，所以，所以， 由正弦定理得， 所以， 则． 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的面积问题，第（2）问解题的关键是根据双曲线的性质结合角平分线的性质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 4．（23-24高二下·重庆·期末）已知椭圆经过点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. (3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据待定系数法计算即可求解； （2）由题意求出，利用点到直线的距离公式求出到的距离，结合三角形面积公式计算即可求解； （3）设，利用平面向量的坐标表示和点差法计算表示出A、B、C、D的坐标，由直线的两点式方程分别表示出直线AD和BC，两直线方程相减可得，即可求解. 【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得① 又由，所以②， 由①②联立且，可得， 故椭圆的标准方程为； （2）易知，则，所以， 设，联立与有， 则，由解得， 到的距离即为在边上高的最小值，即， 此时面积的最小值； （3）设，则，即， 又由，得， 整理得， 再代入得，即， 所以， 同理令，，则， 则，， 则直线的方程为 ， 同理的方程为 ， 两式相减，整理得，即点在定直线上. 【点睛】方法点睛：求定点、定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定点（值），再证明这个点（值）与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（值）． 5．（2024·山东日照·三模）已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，. （i）求证：为定值； （ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由条件知，再根据，可得，所以，可得双曲线的标准方程. （2）（i）设，，，由用与表示，，根据在双曲线上，得到；同理由得，所以，是方程的两个不等实根，根据一元二次方程根与系数的关系，可求的值. （ii）先把转化成，的关系，结合（i）的结论表示出，再分析函数单调性，可求的取值范围. 【详解】（1）设双曲线C：，由题意得，， 则，， 所以双曲线的方程为. （2）（i）如图： 设，，， 由与，得， 即，， 将代入的方程得：， 整理得：①， 同理由可得②. 由①②知，，是关于的一元二次方程的两个不等实根. 显然，由韦达定理知，所以为定值. （ii）由，即， 整理得：， 又，不妨设，则， 整理得， 又，故， 而由（2）知，，故， 代入， 令，得， 由双勾函数性质可知，在上单调递增， 所以的取值范围是， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程（压轴题专练） 01 单选压轴题 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别，．是上一点(在第一象限)，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点和上顶点A的直线交于另外一点，若，且的面积为，则实数的值为（    ） A．3 B． C．3或7 D．或7 5．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知拋物线，过动点作两条相互垂直的直线，分别与抛物线相切于点，则面积的最小值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 6．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南永州·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川雅安·三模）若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南邵阳·三模）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（    ） A． B． C． D． 02 多选压轴题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）定义：过曲线上一点且垂直于该点处切线的直线为曲线在该点处的法线．已知是抛物线C：上一点，F是抛物线C的焦点，点P处的切线与y轴交于点T，点P处的法线与x轴交于点A，与y轴交于点G，与抛物线C交于另一点B，点M是PG的中点，则下列结论正确的有（    ） A．点T的坐标是 B．的方程是 C． D．过点M的抛物线C的法线有且只有 2．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知椭圆：的左右焦点分别为，，将曲线上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线，则下列说法正确的是（   ） A．曲线为圆 B．曲线的面积可能与曲线面积相等 C．曲线与曲线的离心率分别为，则 D．若的四个顶点构成的四边形面积为，则的离心率为 3．（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为，，离心率为，点，都在上（均不与点重合），且关于轴对称，则下列说法正确的是（   ） A． B．若存在点，满足（为坐标原点），则 C．若，则 D．若，则（，分别表示直线，的斜率） 4．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），与的等差中项为．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为16 5．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知点是椭圆上的一点，经过原点的直线与椭圆交于两点（不同于左、右顶点），且，直线与轴交于点与轴垂直，则下列说法正确的是（    ） A．记直线的斜率为，则 B． C．面积的最大值为 D．若是椭圆的左焦点，则的最小值为 03 填空题压轴 1．（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 . 2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知椭圆，经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于、、、四个点，若该两条直线的斜率分别为、，且，则的面积为 ． 3．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是 . 4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于，两点（可重合），则的取值范围为 ． 5．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，为抛物线的准线与轴的交点，直线分别交抛物线于两点（点异于点，），为坐标原点，则实数的取值范围为 ； ． 04 解答题压轴 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E的方程; (2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程; (3)求 的取值范围. 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 3．（2024·浙江·三模）已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程： (2)若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T． （i）证明：射线是的角平分线； （ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围． 4．（23-24高二下·重庆·期末）已知椭圆经过点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. (3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 5．（2024·山东日照·三模）已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，. （i）求证：为定值； （ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$