第三章 圆锥曲线的方程（单元复习，13类题型清单）-【单元速记】2024-2025学年高二数学单元速记（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 知识点03：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 知识点04：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， ，，间的关系 知识点05：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点06：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 03 题型归纳 题型一 椭圆、双曲线、抛物线定义问题　 例题1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知、，若，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 巩固训练 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设为抛物线的焦点，若点在上，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（多选）（23-24高三上·河北·期末）圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（    ） A．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆 B．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线 C．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分 D．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支 3．（2024高三下·全国·专题练习）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 题型二　椭圆、双曲线、抛物线上点到焦点和定点距离和，差最值问题 例题1．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题2．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过原点的直线交双曲线于两点（A在第一象限），过A作轴的垂线，垂足为，则的最小值为 .；若，则的面积为 . 例题3．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 巩固训练 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东深圳·期末） 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 . 题型三　椭圆、双曲线中焦点三角形问题 例题1．（多选）（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 例题2．（多选）（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3 C．不可能是直角 D．当时，的面积为 例题3．（多选）（23-24高三下·云南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B． C．若，则 D．若，则内切圆的半径为 例题4．（多选）（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 巩固训练 1．（多选）（2024·广东·三模）已知椭圆的长轴端点分别为､两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D． 2．（多选）（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 3．（多选）（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 4．（多选）（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 题型四　判断方程是否表示椭圆、双曲线 例题1．（多选）（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（    ） A．曲线可以是圆 B．若，则曲线为椭圆 C．曲线可以表示抛物线 D．若曲线为双曲线，则或 例题2．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 例题3．（多选）（23-24高二上·江苏·期中）当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（    ） A．时，方程表示一条直线 B．或是方程表示双曲线的充要条件 C．时，方程表示椭圆 D．该方程不可能表示抛物线 巩固训练 1．（多选）（23-24高二下·湖南·开学考试）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4 C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆 D．当或时，曲线表示的图形是双曲线 2．（多选）（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线为椭圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件 D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线 3．（多选）（23-24高二上·河南信阳·期末）方程（为常数）表示的曲线可能是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型五　求椭圆、双曲线、抛物线方程 例题1．（24-25高二上·全国·假期作业）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为，则双曲线的方程为 ． 例题3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，则C的方程为 . 2．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ． 3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 题型六 椭圆、双曲线离心率问题　 例题1．（2024·浙江·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 例题3．（多选）（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（    ） A．3 B． C． D． 例题4．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为 . 巩固训练 1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西渭南·二模）已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线左､右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 题型七　椭圆、双曲线、抛物线中弦长问题 例题1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过且不与轴垂直的直线交于两点，，，则的方程为 . 例题3．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 巩固训练 1．（2024·四川·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知椭圆，一组平行直线的斜率是. (1)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上； (2)这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于两点，求. 3．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 题型八 椭圆、双曲线、抛物线中点弦问题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若椭圆的弦被点M(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 例题3．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 巩固训练 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为． (1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长； (2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程． 3．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程． 题型九 直线与圆锥曲线综合中的三角形（四边形）面积问题 例题1．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：（）于不同的两点，且三等分线段． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程． 例题2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点）， (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线的焦点是F，A，B是曲线C上不同的两点，且存在实数使得，曲线C在点A，B处的切线交于点D． (1)求点D的轨迹方程； (2)点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一个交点恰好是AB的中点，当时，求四边形ADBE的面积． 巩固训练 1．（2024·北京·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率. (1)求椭圆C的方程和短轴长； (2)点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积. 2．（2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛内蒙古赛区初赛试卷）已知双曲线，直线与双曲线的左右支分别相交于，两点，双曲线在，两点处的切线相交于点，求面积的最小值. 3．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）动圆经过定点，且与直线相切.记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，设点是线段上的动点（除端点），原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值. 题型十 直线与圆锥曲线综合中的定点问题 例题1．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 例题2．（2024·福建南平·二模）已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4，记点的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知点为抛物线：的焦点，过点的动直线与抛物线交于M，N两点． (1)当直线的倾斜角为45°时，求； (2)试确定在轴上是否存在点，使得直线，关于轴对称．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为2，点为椭圆上的点. (1)求椭圆的方程； (2)设点A，B在椭圆上，直线PA，PB均与圆：相切，证明：直线AB过定点. 2．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线经过点，一条渐近线方程为，直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程. (2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证直线过定点； 题型十一直线与圆锥曲线综合中的定值问题 例题1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程. (2)设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 例题2．（2024·河北石家庄·二模）已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 例题3．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 巩固训练 1．（2024·贵州六盘水·三模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且动点满足，记P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求的值． 2．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．    (1)求证：； (2)求抛物线的方程； (3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值． 题型十二直线与圆锥曲线综合中的定直线问题 例题1．（23-24高三上·北京·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上． 例题2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由． 例题3．（23-24高二下·浙江金华·阶段练习）如图所示，P（在函数的左边）与Q（在函数的右边）分别为函数的两个点，F为该抛物线的焦点． （1）若P的坐标为（-2，t），连接PF交抛物线另一点于H点，求H点的坐标； （2）记PQ直线为m，其在y轴上的截距为6，过P作抛物线的切线，交抛物线的准线于M点，连接QF，若QF恰好经过M点，求直线m的方程． 巩固训练 1．（2024·北京·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程. 2．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上． 3．（2024·浙江绍兴）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，交轴于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，如图． （1）若（为坐标原点），求的值； （2）过作直线的垂线交于点．记，的面积分别为．若，求直线的方程． 题型十三直线与圆锥曲线综合中的向量问题 例题1．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． (1)求椭圆方程； (2)求的取值范围． 例题2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 例题3．（23-24高二下·上海松江·期末）已知点为抛物线上一点，点P到的准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程； (2)过原点的一条直线与圆相切，交抛物线于另一点，且，求圆的方程； (3)设为的焦点，，为上两点，，求面积的最小值． 巩固训练 1．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为． (1)若三角形的面积为2，求点的坐标； (2)若，证明：直线过定点； (3)若，求满足的关系式． 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线． (1)求的顶点C的轨迹方程； (2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围． 3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的方程； (2)是否存在直线使得点满足？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 知识点03：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 知识点04：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， ，，间的关系 知识点05：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点06：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 03 题型归纳 题型一 椭圆、双曲线、抛物线定义问题　 例题1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知、，若，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求出、，即可求出，从而得到椭圆方程. 【详解】因为、且， 由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且、，解得，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B 例题2．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是完整的双曲线，所以A不正确； 对于B中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的下支，所以B正确； 对于C中，由，根据双曲线的定义，可得的点的轨迹是双曲线的上支，所以C不正确； 对于D中，由，不存在满足的点，所以D不正确. 故选：B. 例题3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得. 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 巩固训练 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）设为抛物线的焦点，若点在上，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义，. 【详解】依题意，，解得，所以的准线为，所以， 故选:D． 2．（多选）（23-24高三上·河北·期末）圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（    ） A．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆 B．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线 C．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分 D．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支 【答案】AB 【分析】利用椭圆和双曲线定义求解. 【详解】当点在圆内且不与点重合时，由图可知：，    又，由椭圆的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的椭圆， 即点的轨迹是椭圆； 当点在圆外时，由图可知：，    又， 由双曲线的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，即点的轨迹是双曲线， 故选：AB 3．（2024高三下·全国·专题练习）已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【答案】 【分析】根据动圆与圆内切，与圆外切，列出等式，根据椭圆定义得到圆心的轨迹的方程. 【详解】由题意可知，动圆与圆内切，与圆外切， 设圆的半径为， 则， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 点的轨迹方程为．    题型二　椭圆、双曲线、抛物线上点到焦点和定点距离和，差最值问题 例题1．（23-24高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 例题2．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过原点的直线交双曲线于两点（A在第一象限），过A作轴的垂线，垂足为，则的最小值为 .；若，则的面积为 . 【答案】 8 【分析】第一空，由题结合双曲线定义，可知，当且仅当重合时取最小值； 第二空，设，则由题有，解得A点坐标，即可得答案. 【详解】第一空，由题及双曲线定义，可知，，则， 因x轴，则，则当且仅当重合时，，即的最小值为8， 第二空，设，因，则，又A在双曲线上，则， 得，则. 故答案为：8；. 例题3．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】作准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时取最大值. 【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为， 作准线l，M为垂足，又知， 由抛物线的定义可得， 故当P，A，M三点共线时，取最大值， 最大值为． 故答案为：4.    巩固训练 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算. 【详解】圆：的圆心，半径， 双曲线：则，，， 设左焦点为，则，即， 所以， 当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号. 故选：A 2．（23-24高二下·广东深圳·期末） 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（      ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】首先把问题转化为和到轴的距离之和的最小值，再根据抛物线的定义最小，根据数形结合得出结论. 【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，的最小值都是到轴的距离， 所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小， 根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为. 故选：D   3．（2024高二上·全国·专题练习）已知P是椭圆上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，得到，得到P在线段上时，取得最小值，结合点到直线的距离，即可求解. 【详解】由椭圆，可得左焦点为，则， 于是，当且仅当三点共线，且P在线段上时，取得最小值， 又由的最小值为点到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型三　椭圆、双曲线中焦点三角形问题 例题1．（多选）（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】由题，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断． 【详解】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 例题2．（多选）（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知椭圆的焦点分别为，焦距为为椭圆C上一点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为3 C．不可能是直角 D．当时，的面积为 【答案】AD 【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质. 【详解】由题意，焦距为，又，所以椭圆焦点必在轴上， 由. 所以椭圆的离心率，故A正确； 根据椭圆的定义，的周长为，故B错误； 如图： 取为椭圆的上顶点，则, 所以为钝角，所以椭圆上存在点，使得为直角，故C错误； 如图： 当时，设，， 则， 所以，故D正确. 故选：AD 例题3．（多选）（23-24高三下·云南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线C的渐近线方程为 B． C．若，则 D．若，则内切圆的半径为 【答案】ACD 【分析】通过双曲线第一定义、第二定义以及结合直角三角形及内切相关知识分析问题.A选项中运用用了双曲线C的渐近线方程为；B选项中由双曲线的第二定义可得：；C选项中由双曲线第一定义和直角三角形边长关系可进行计算；D选项中内切圆结合切线知识可得. 【详解】对于A，双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距，焦点，，双曲线C的渐近线方程为，A正确； 对于B，由于点A，B在双曲线的右支上，设直线的倾斜角为，则由双曲线的第二定义可得：，当时，，B错误； 对于C，由双曲线定义知，而，且，则， 即有，因此，C正确； 对于D，由双曲线定义知，因为，设内切圆的半径r，则由圆的切线性质知： ，D正确， 故选：ACD． 例题4．（多选）（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确． 【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 巩固训练 1．（多选）（2024·广东·三模）已知椭圆的长轴端点分别为､两个焦点分别为是上任意一点，则（    ） A．的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的离心率为，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，，设，， 则面积的最大值为，C错误； 对于D，，，， 因此，D正确. 故选：ABD    2．（多选）（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 【答案】BCD 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【详解】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. 3．（多选）（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 【答案】BC 【分析】根据双曲线定义结合周长可得，，即可由直角三角形求解面积，判断A，根据双曲线上的点到焦点的距离的范围，结合双曲线定义即可求解B，根据渐近线斜率即可求解C，利用向量的坐标运算即可求解D. 【详解】可得， 由于点在的右支上，故， 对于A，若的周长为24，则， 进而，，故， 故的面积为，A错误， 对于B，由于，当在右顶点时等号取到， 故，故B正确， 对于C，由于双曲线一三象限的渐近线方程为， 故， 又当在右顶点时，，故，C正确， 对于D，设，， 则， 则， 解得或，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，将问题化为，从而得解. 4．（多选）（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（    ） A．直线与直线的斜率之积为 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．点P到两条渐近线的距离之积 【答案】BCD 【分析】由双曲线的定义和条件，易得结论；设，则，计算直线与直线的斜率之积，其到两条渐近线的距离之积，判断选项A、D；利用双曲线的定义和性质可判断选项B、C. 【详解】 如图，， 设，则， 又，故A错误； 由双曲线的焦点弦的性质，可得过焦点垂直于轴的弦的长度最小， 即的最小值为，故B正确； 由双曲线的定义得， 所以， 故的周长为， 故C项正确； 由双曲线的渐近线方程为， 可得点P到两条渐近线的距离之积为 ，D正确. 故选：BCD 题型四　判断方程是否表示椭圆、双曲线 例题1．（多选）（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（    ） A．曲线可以是圆 B．若，则曲线为椭圆 C．曲线可以表示抛物线 D．若曲线为双曲线，则或 【答案】AD 【分析】 根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断． 【详解】 对于A，若曲线是圆，则，解得，A正确； 对于B，由选项A知，当时，曲线是圆，不是椭圆，B错误； 对于C，曲线有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误； 对于D，若曲线为双曲线，则，解得或，D正确. 故选：AD 例题2．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 【答案】ABC 【分析】A：根据的正负以及大小关系判断；B：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程；C：代入于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D：考虑时的情况. 【详解】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确； 当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确； 令，整理得且，此方程有解，故C正确； 当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误. 故选：ABC. 例题3．（多选）（23-24高二上·江苏·期中）当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（    ） A．时，方程表示一条直线 B．或是方程表示双曲线的充要条件 C．时，方程表示椭圆 D．该方程不可能表示抛物线 【答案】ABD 【分析】根据的不同取值分别判断曲线形状即可. 【详解】对于A：当时方程为，所以此时曲线为直线，此时图像是一条直线，A正确； 对于B：方程可以化为， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线，所以是充分条件； 若方程表示双曲线，则或，解得或者，所以是必要条件， 所以是充要条件，B正确； 对于C：方程可以化为，当时方程为，此时曲线为圆，C错误； 对于D：因为方程可以化为，所以不可能是抛物线，D正确， 故选：ABD 巩固训练 1．（多选）（23-24高二下·湖南·开学考试）关于曲线，下列叙述正确的是（    ） A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4 C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆 D．当或时，曲线表示的图形是双曲线 【答案】AD 【分析】根据双曲线、椭圆的方程的特征判断即可. 【详解】对于A，当时，曲线方程为， 所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，当时，曲线方程为， 所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为，故B错误； 对于C，当时，曲线表示的图形是一个方程为的圆，故C错误； 对于D，当或时，， 所以曲线表示的图形为双曲线，故D正确. 故选：AD 2．（多选）（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线为椭圆 B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件 D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线 【答案】CD 【分析】根据椭圆双曲线方程的特点分别判断每个选项即可. 【详解】若，则曲线方程为表示圆，故A错误； 当时，曲线方程为，表示双曲线，其渐近线方程为，故B错； 要使曲线为双曲线，，解得或，故“或”是“曲线为双曲线”的充要条件，故C对； 若曲线为离心率为，则，又，所以， 则，或，两个方程均无解，故D正确. 故选：CD 3．（多选）（23-24高二上·河南信阳·期末）方程（为常数）表示的曲线可能是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】 根据题意取不同的值代入方程，可得方程所表示的曲线的形状，从而可得出答案. 【详解】解析：若，方程表示直线；若，方程表示椭圆； 若，方程表示双曲线；，方程不表示任何曲线； 由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线． 故选：ABC． 题型五　求椭圆、双曲线、抛物线方程 例题1．（24-25高二上·全国·假期作业）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，即可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为，则双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合点到直线的距离求得，求得得解. 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为，所以， 又焦点到直线的距离，所以，又， 则解得，， 所以双曲线C的标准方程为. 故答案为：. 例题3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，则C的方程为 . 【答案】 【分析】由点斜式先得直线AM的方程，进而求出点A的坐标，结合M点再用代入法即可求解. 【详解】由题意直线AM的方程为，即， 当时，解得，所以， 所以结合椭圆C：过点，可得，解得， 所以椭圆C的方程为. 故答案为：. 2．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上，然后再判断另一个点，求出双曲线方程，再根据离心率公式即可得解. 【详解】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上， 若在双曲线上， 则，方程组无解，故不在双曲线上， 则在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程． 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 题型六 椭圆、双曲线离心率问题　 例题1．（2024·浙江·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接，．若O为坐标原点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形面积关系得出，再由勾股定理及椭圆定义求出，利用余弦定理及求解即可. 【详解】设，由 可得，由于与等高， 所以，    又，，∴， 又，∴， 在中，， ∵， 在中，， 化简可得，解得， 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出，其次需要根据建立关系. 例题2．（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点是以为直径的圆与椭圆的交点，解得点的横坐标，则可得到椭圆离心率的取值范围. 【详解】由已知，点是以为直径的圆与椭圆的交点， 解得，所以，即，即， 又椭圆的离心率，所以得. 故选：D. 例题3．（多选）（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，比较各个选项即可 【详解】因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：AB 例题4．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】先利用双曲线定义求出，然后把利用面积比求出最后代入余弦定理来求离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知：，结合， 所以，又有， 故由可得， 所以，则， 则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ， 解得. 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，则，中点为，根据三点共线得到，得到答案. 【详解】如图， 设点，则，，， 由 知，为线段的中点，则， 由三点共线，故，化简得到，故. 故选：A. 2．（2024·陕西渭南·二模）已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再结合斜率坐标公式建立方程并求出离心率. 【详解】令椭圆的右焦点，依题意，轴，且点在第一象限， 由，解得，则，而， 由，得，解得，， 所以椭圆C的离心率. 故选：C 3．（2024·江西南昌·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可得的周长为，求得，再由过焦点的弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由双曲线的定义可得， 两式相加可得， 则的周长为，即， 再由，可得，解得， 由. 故选：A 4．（多选）（2024·吉林长春·模拟预测）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线左､右两支于两点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立的等量关系式求解. 【详解】    如果为直角，设，则， 又，，所以， 由，则，得， 在中，，即， 即， 化简得，所以； 如果为直角，设， 则，，，， 因为， 所以，故， 在中，由余弦定理可知， 整理得，即，所以，故B正确； 如果为直角，则，， 则，又， 所以，，， 在等腰直角中，， 即， 化简得，所以，故C正确. 故选：BC. 【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出之间的数量关系. 题型七　椭圆、双曲线、抛物线中弦长问题 例题1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，进而可求直线的方程，联立方程组可求弦长. 【详解】由，得. 双曲线的渐近线方程为，， 因为到的渐近线的距离为，所以，解得，所以， 过的直线与圆相切于，则可得， 所以， 过且与圆相切的直线方程为， 联立方程组，消去得.设， 则，所以. 故选：D. 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过且不与轴垂直的直线交于两点，，，则的方程为 . 【答案】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立求出弦长，再结合抛物线定义及几何图形列式求解即得. 【详解】设过的直线的方程为，，由对称性不妨令， 由消去得：，，则， 于是， 如图，过点作轴于点，由抛物线的定义得， 则，，， 因此，即，而，解得， 所以的方程为. 故答案为： 例题3．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，方程为， 此时， 当直线的斜率存在时，设方程为， 联立，消得， 恒成立，故， 则， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当，即时，取得最大值，此时， 综上所述，当最大时，求直线的方程为. 巩固训练 1．（2024·四川·模拟预测）已知过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线l的方程，联立其与抛物线方程可得韦达定理，再由可得，即可求得、，结合抛物线定义可得求解即可. 【详解】如图所示，    设，，不妨设，设直线l的方程：， 消去x得，， 所以，， 由可得， 所以由上边三式可解得，，， 所以由抛物线定义可知. 故选：D． 2．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知椭圆，一组平行直线的斜率是. (1)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上； (2)这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于两点，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设这组平行直线的方程为，与椭圆方程联立，借助韦达定理求得弦中点坐标即可判断得解. （2）求出椭圆焦点坐标及直线的方程，再利用弦长公式计算即得. 【详解】（1）设这组平行直线的方程为，则，消去y得， 由，得， 设交点坐标为， 则，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为， 显然点始终在直线上， 所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上. （2）椭圆的焦点坐标为，由对称性，不妨取焦点，直线， 设，由（1）知，， 所以. 3．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解， （2）根据点差法，结合中点弦可得直线方程，即可根据弦长公式求解. 【详解】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为，所以， 由可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）设中点的坐标为， 则   两式子相减得：， 化简得， 即，又，所以， 所以中点的坐标为， 所以直线的方程为，即. 将代入得，， 则， , 题型八 椭圆、双曲线、抛物线中点弦问题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若椭圆的弦被点M(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1 ①，＋＝1 ②，①－②，得＝－.因为点M(4，2)是弦的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以k＝＝－，即此弦所在直线的斜率为－. 例题2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 例题3．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，进而可得抛物线的方程； （2）根据点差法求中点弦所在直线方程. 【详解】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为． （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即． 巩固训练 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为． (1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长； (2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程． 【答案】(1) (2)在椭圆内部，． 【分析】（1）解法一：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；解法二：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，再由弦长公式直接计算； （2）将点代入椭圆方程，即可判断点与椭圆的位置关系，设以为中点椭圆的弦与椭圆交于，利用点差法求出中点弦的斜率，从而求出中点弦方程. 【详解】（1）解法一：因为椭圆，即，则， 所以椭圆的右焦点为， 则过点且斜率为1的直线方程为， 由，消去整理得，显然，设直线与椭圆交于，， ∴，， 所以． 解法二：椭圆，即，则， 所以椭圆的右焦点为， 则过点且斜率为1的直线方程为，即， 由，其中 ， 所以． （2）∵，∴点在椭圆内部． 设以为中点的弦与椭圆交于， ∵为中点，∴， 把分别代入椭圆， 得，∴， ∴，∴， ∴以为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 ，整理得． 3．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由双曲线的离心率可得，设出双曲线方程，代入已知点的坐标求解，则双曲线方程可求； （2）利用“点差法”求直线的斜率，然后结合的坐标可求出的方程． 【详解】（1）由，得，即， ∴， 设双曲线的方程为或， 把代入两个方程，得或， 解得（第二个方程无解）， ∴双曲线的标准方程为； （2）设，， ∵，都在双曲线上，∴，， 两式作差可得：，即， ∵为的中点，∴，， 可得， ∴直线的方程为，即， 联立，得， ，符合题意． ∴直线的方程为．    题型九 直线与圆锥曲线综合中的三角形（四边形）面积问题 例题1．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：（）于不同的两点，且三等分线段． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三等分点得向量关系，即可求解，将其代入椭圆方程中即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据弦长公式以及点到直线距离公式，可得三角形面积表达式，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，故, 由于是线段的三等分点，所以, 故， 将代入椭圆方程可得， 故椭圆方程为， （2）设直线：， 则， 设, 则， 故， 点到直线的距离， 故，当且仅当，即时等号成立， 时，，符合题意， 故的面积最大时，求直线l的方程为 例题2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆共焦点，点、分别是以椭圆半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限的交点，若点满足，（为坐标原点）， (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由椭圆方程求得焦点坐标和圆的方程，通过联立方程组求出两点，由，求出的值得双曲线的离心率； （2）由的坐标，可求出的面积. 【详解】（1）椭圆中，，，， 椭圆焦点为，∴双曲线的焦点坐标为. 双曲线的渐近线方程为， 的方程：. 由得，，. 由题意知，、分别为第一、二象限的交点， ∴，， ∴，， ∵，∴，∴. 化简整理得， 又∵代入上式，解之得，. ∴双曲线方程：. 离心率. （2）由（1）知，， ∴，. ∴. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线的焦点是F，A，B是曲线C上不同的两点，且存在实数使得，曲线C在点A，B处的切线交于点D． (1)求点D的轨迹方程； (2)点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一个交点恰好是AB的中点，当时，求四边形ADBE的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）由题意知、、三点共线，可设直线的方程为，并设点，，将直线的方程与曲线的方程联立，并列出韦达定理，利用导数求出曲线在点、处的切线方程，将两切线方程联立，求出点的坐标，即可得出点的轨迹方程； （2）由，利用坐标运算得出，代入韦达定理解出，根据对称性取，求出线段的中点的坐标为，由转化为可求出点的坐标，并得出点的坐标，利用弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式分别计算出和的高，并计算出这两个三角形的面积，相加即可得出四边形的面积. 【详解】（1）曲线就是抛物线，它的焦点坐标为， 存在实数使得，则、、三点共线， 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，整理得，，设，， 则，，由，求导得，切线斜率， 曲线在点处的切线方程是，即， 同理得曲线在点处的切线方程是， 由，得，因此点的坐标为， 所以点的轨迹方程为. （2）当时，由，得，则， 于是，解得，，，由对称性不妨取， ， 设的中点为，则，， 由点在以点为直径的圆上，得， 设，则，即，解得，则， 将直线的方程，即， 则点到的距离， 因此， 由（1）点，即，点到的距离 因此， 显然、在两侧，所以四边形ADBE的面积． 巩固训练 1．（2024·北京·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率. (1)求椭圆C的方程和短轴长； (2)点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）线段为直径的圆过C的上下顶点，得，即，然后计算离心率，从而点代入可得椭圆C的方程并可求短轴长； （2）由题可知，的面积等于，所以求的值；由，得，进而得点的坐标关系，即，将点代入C，求得，再由，得 ，即，从而计算的面积即可. 【详解】（1）设，上下顶点分别为. 由以线段为直径的圆过C的上下顶点，得，得，即. 因为，即，所以， 由点在C上，得，，解得， 所以，则， 短轴长. （2）根据题意，画出图象如图所示： 因为，所以， 又，则，即，. 设， 由得，即， 因为点在椭圆上， 所以，即， 两式相减得，即， ，又点在轴的上方，所以. 又得，即. 于是. 2．（2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛内蒙古赛区初赛试卷）已知双曲线，直线与双曲线的左右支分别相交于，两点，双曲线在，两点处的切线相交于点，求面积的最小值. 【答案】9 【分析】联立只需与双曲线方程，结合已知得，由韦达定理、弦长公式得，结合切点弦的有关结论得出点的横纵坐标为，进一步，从而可表示出的面积，结合导数即可求解. 【详解】 设,将与双曲线方程联立， 整理可得， 由于与双曲线左右两支相交于两点,于是有， 由，可得， 因此, 设,故点所对应的切点弦为, 即为，故可得,, 故, 令，代入上式有, 令,设,则, 当时，；当时，. 故最大值为, 因此三角形面积的最小值为. 3．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）动圆经过定点，且与直线相切.记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，设点是线段上的动点（除端点），原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线定义求解； （2）根据题意，由对称性得：四边形的面积，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，求出四边形的面积表达式，得解. 【详解】（1）点到定点的距离与到定直线的距离相等， 点的轨迹是以A为焦点，为准线的抛物线.其方程为. （2）设直线，，， 由对称性得：四边形的面积， 由消去，得，， 由韦达定理得， 当时，四边形的面积取得最小值. 题型十 直线与圆锥曲线综合中的定点问题 例题1．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率公式求出，即可得解； （2）设直线MN方程：，，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再求出直线EN方程，进而可得出结论. 【详解】（1）的周长为8，，故， ，，故，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）， 设直线MN方程：，，，， 联立方程，得， 所以，， 所以， 又，所以直线EN方程为：， 令，则， 所以直线EN过定点． 例题2．（2024·福建南平·二模）已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4，记点的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由斜率公式结合题意即可列式，化简即可得解. （2）设直线的方程为：，将其与椭圆方程联立，从而，，思路一：由斜率公式、（1）中结论以及点在直线上，可得，从而结合韦达定理可得为定值2，由此即可得证；思路二：联立直线与直线的方程，可得，在里面代入，结合韦达定理即可得出为定值，由此即可得证. 【详解】（1）设，则，， 由已知，有， 故的方程为. （2）解法一：    设，， 若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾， 故设直线的方程为：， 由，得， ，则，， 由点在直线上，设，则，， 所以，又，则， 即， ， ， ， ， ，所以（舍去），或， 所以的方程为，过定点 解法二：设，， 若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾， 故设直线的方程为：， 由得，， ，则，， 所以， 即， 又直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与直线的方程，可得， 又点在直线上，故， 所以 ， 故，直线的方程为，过定点. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知点为抛物线：的焦点，过点的动直线与抛物线交于M，N两点． (1)当直线的倾斜角为45°时，求； (2)试确定在轴上是否存在点，使得直线，关于轴对称．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)存在， 【分析】（1）根据抛物线方程可得焦点坐标，可得直线的方程，联立抛物线方程消去y，然后利用韦达定理和焦点弦公式可得； （2）当直线斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程消去y，利用韦达定理代入求解可得P点坐标.当直线斜率不存在时，根据对称性分析即可，然后综合可得. 【详解】（1）∵，∴焦点， 已知直线过且直线的倾斜角为45°，此时直线的斜率， 故直线的方程为． 由，得，即， ． 设，，则， ∴． （2）假设满足条件的点存在，设，由（1）知． （ⅰ）当直线不与轴垂直时，设的方程为， 由，得， 则，且，． ∵直线，关于轴对称， ∴， 又，， ∴， 解得，此时． （ⅱ）当直线与轴垂直时，由抛物线的对称性可知轴上任意一点都可使直线，关于轴对称． 综上，轴上存在唯一的点，使得直线，关于x轴对称． 巩固训练 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为2，点为椭圆上的点. (1)求椭圆的方程； (2)设点A，B在椭圆上，直线PA，PB均与圆：相切，证明：直线AB过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意，可得关于的方程，解之可得椭圆C的方程； （2）先由直线与圆相切可得，再联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理分别求出，，，，代入可得的关系式，进而可得直线AB过定点. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）由题意，，    且直线和直线斜率存在， 设直线的方程为，直线的方程为， 由题知，所以， 所以，同理，， 所以是方程的两根，所以. 设，设直线的方程为， 将代入，得， 所以，①，② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以， 若，则直线，此时过点，舍去. 若，则直线，此时恒过点， 所以直线过定点. 2．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知双曲线经过点，一条渐近线方程为，直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程. (2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在定点M，. 【分析】（1）根据渐近线方程，求出a,b的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，最后解出a,b即可. （2）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率存在时，设出直线的点斜式方程并代入双曲线方程并化简，进而根据根与系数的关系与得到答案. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，即， 又，于是， 所以双曲线的方程是． （2）双曲线的右焦点为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，， 由消去y得：， 显然，设，， 则，假设存在点符合条件， 而，由，得， 即，整理得， 于是，整理得， 依题意，对任意的恒成立， 因此，解得，此时点M的坐标为， 当直线l的斜率不存在时，直线与双曲线的二交点，不妨令， 当点M的坐标为时，， 所以存在定点M符合条件，． 3．（23-24高二下·福建福州·期末）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证直线过定点； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可； （2）设出直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标运算可得答案. 【详解】（1）抛物线，, 其焦点为，准线方程为， 可得，且， 解得，或（舍去），， 则抛物线的方程为； （2）如图，设直线的方程为，， 联立，可得， 则，又，所以， 由，可得，解得，或（舍去）， 所以直线恒过定点. 题型十一直线与圆锥曲线综合中的定值问题 例题1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程. (2)设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，1 【分析】（1）根据椭圆离心率和点坐标，可得结果 （2）设出直线得方程并与椭圆方程联合，利用韦达定理得出表达式，整理可得斜率为定值. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以解得 所以椭圆的方程为. （2）如下图所示： 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 直线的方程为，即， 联立方程组消去，得. 因为为直线与椭圆的交点， 所以，即， 把换为得，所以. 因为， 所以直线的斜率为， 即直线的斜率为定值1. 例题2．（2024·河北石家庄·二模）已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上是否存在点，使得为定值，定值为. 【分析】（1）根据题意，用点到直线和点到点的距离公式列出方程，整理得出方程即可. （2）假设存在，先考虑斜率不为0的情况，设其方程为，再与曲线联立后用韦达定理，表达出，若要上式为定值，则必须有，即，代入求出.再考虑斜率为0的时候，直接求出即可. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 即，化简得：，所以双曲线的标准方程为； （2）如图 当直线的斜率不为0时，设其方程为. 由于直线与双曲线交点两个，则直线不能与渐近线平行，渐近线斜率为，则. 代入，整理得，，设，，，，， 则， 所以 ． 若要上式为定值，则必须有，即，，故存在点满足． 当直线的斜率为0时，，，此时点亦满足，故存在点满足． 综上所得，在轴上是否存在点，使得为定值，定值为. 例题3．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，先求出点B的纵坐标，再代入三角形面积公式中求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出P，N，Q的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算进行求证即可. 【详解】（1）（1）抛物线方程的准线方程为， 因为，所以点A在线段OF的中垂线上， 所以，，此时， 即，解得 因为三角形OFB的面积为， 所以，解得， 则抛物线的抛物线的方程为. （2）证明：设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，，因为M为线段PQ的中点， 所以 ， 则当时，为定值，与k的取值无关， 故在轴上存在点，使得为定值，定值为. 巩固训练 1．（2024·贵州六盘水·三模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且动点满足，记P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合向量的线性运算的坐标表示即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，结合方程的根与系数关系及直线的斜率关系即可求解． 【详解】（1）解：设， 因为，所以， 由得，， 将，代入得，， 所以动点P的轨迹C的方程为； （2）由（1）知， 联立得，， 由韦达定理得，， 于是，从而， 因为，， 则，， ，所以．    2．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值．    3．（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．    (1)求证：； (2)求抛物线的方程； (3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可证明；（2）设，表示出，，利用抛物线的定义，点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于，的方程，求解即可；（3）设过点作直线的方程为：，，，联立方程，由韦达定理得到，，分别表示出，，化简即可得到答案. 【详解】（1）因为点在抛物线上， 所以，化简得，得证； （2）由，可得， 设，则，， 则，故， 即， 又点在抛物线上， 则， 联立，解得， 所以抛物线的方程为 （3）设过点作直线的方程为：，，      联立，得， 则，，， 则，， 所以， 化简得， ， 化简得：， 所以 题型十二直线与圆锥曲线综合中的定直线问题 例题1．（23-24高三上·北京·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及长轴长列方程组求解即可； （2）先直接计算直线l的斜率不存在时的情况，然后直线l的斜率存在时，设，与椭圆联立，写出韦达定理，写出直线AM和BN的方程，求出时的值，作差，整理后代入韦达定理计算即可. 【详解】（1）因为，椭圆C离心率为， 所以，解得，． 所以椭圆C的方程是； （2）①若直线l的斜率不存在时， 因为椭圆C的右焦点为，所以直线l的方程是， 所以点M的坐标是，点N的坐标是， 所以直线AM的方程是，直线BN的方程是． 所以直线AM，BN的交点Q的坐标是， 所以点Q在直线上． ②若直线l的斜率存在时，设斜率为k．所以直线l的方程为． 联立方程组消去y，整理得． 显然．不妨设，， 所以，． 所以直线AM方程是．令，得． 直线BN的方程是．令，得． 所以． 其中 ． 所以点Q在直线上    例题2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H在定直线上 【分析】（1）由，，结合双曲线定义表示，结合的周长为32求出，即可求出双曲线的标准方程； （2）设，则，设，则有及，所以，即可得出结论． 【详解】（1）由，， 则， 所以，解得，， 所以双曲线的标准方程为．    （2）因为，设，则， 设，则有， 由，得， 即，可化为， 由，得， 即，可化为， 所以， 所以， 即， 所以点H在定直线上．    例题3．（23-24高二下·浙江金华·阶段练习）如图所示，P（在函数的左边）与Q（在函数的右边）分别为函数的两个点，F为该抛物线的焦点． （1）若P的坐标为（-2，t），连接PF交抛物线另一点于H点，求H点的坐标； （2）记PQ直线为m，其在y轴上的截距为6，过P作抛物线的切线，交抛物线的准线于M点，连接QF，若QF恰好经过M点，求直线m的方程． 【答案】（1）（2，1）；（2）． 【分析】（1）首先求得点的坐标，再结合抛物线方程，即可求得点的坐标； （2）首先设点的坐标，并设出直线，与抛物线方程联立，得到韦达定理，再求出在点处的切线方程，求出点的坐标，利用点三点共线，即可求得直线方程. 【详解】（1） ∵P位于抛物线上，故P的坐标为（-2，1）- 又∵F为抛物线的焦点，得2p=4，解得故F：（0，1） 则过PF的直线为y=1 根据抛物线的对称性，则H点坐标为（2，1）- （2） 由（1）可知，抛物线的准线方程应当为y=-1 令P：）；Q： 设过PQ的直线m为，将其代入抛物线 得，故 因为P为切点，故其切线方程为,根据化简得 当y=-1时，得，得 故M点的坐标为（，-1）Q点的坐标为 则MQ直线方程为，其过点（0，1）， 故有，化简得 得，化简得 得，故，（舍） 故解得4k=2，得k=，直线m的方程为 巩固训练 1．（2024·北京·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定直线为. 【分析】（1）根据题意，列出满足的方程组，求得，即可求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，结合坐标，写出直线的方程，借助韦达定理，求得两直线交点坐标的纵坐标为定值，即可证明，进而求出定直线方程. 【详解】（1）由题可得：，，又；解得； 故椭圆的方程为：. （2）设直线与的交点为，根据题意，作图如下： 由题可知，直线的斜率存在，又过点，故设其方程为， 联立，可得，显然其， 设两点坐标为，则； 因为都垂直于轴，故， 则方程为：，方程为：， 联立方程可得：， 故，也即直线与的交点在定直线上. 【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是求得直线方程后，充分利用利用韦达定理，求出交点的纵坐标即可. 2．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用可整理得到轨迹方程； （2）设，，表示出直线的方程，联立后可整理得到，联立与双曲线方程可得韦达定理的结论，利用可整理得到所求定直线. 【详解】（1），，，整理可得：， 又，曲线的方程为：. （2）   由题意知：直线斜率不为，则可设， 设， 则直线，直线， 由得：， 由得：，则，即， ，，， ，解得：， 即点在定直线上. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，消掉变量后可得定直线方程. 3．（2024·浙江绍兴）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，交轴于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，如图． （1）若（为坐标原点），求的值； （2）过作直线的垂线交于点．记，的面积分别为．若，求直线的方程． 【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）设直线为，设，则，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系得，而由可得，从而可求出的值； （2）由（1）可得，直线，从而可求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可表示出的面积，再结合图形表示出，再由列方程可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程 【详解】（1）设直线为，设，则， 由，得，则， 因为， 所以（舍）或4． ． （2）由（1）（*） ．  ． ，令    ．① 由几何关系知．．   不妨设． 又 将（*）代入 ．② 由①②： 又过点 ．代入． 仅有一个解． ． 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考要点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，解题的关键是结合先求出的面积，再结合图形表示出，再由列方程可求出直线的斜率，属于中档题 题型十三直线与圆锥曲线综合中的向量问题 例题1．（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． (1)求椭圆方程； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出关于，，的方程组，求出，，即可得解. （2）由向量共线得出的值、直线斜率存在且不为，设直线方程为，联立椭圆方程求出值和韦达定理，利用得出，结合所得韦达定理即可求解. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题，解得，， 因此椭圆的方程为即． （2）由题意可知向量起点相同，终点共线， 又由得， 故，即，即， 显然直线斜率存在且不为，设其方程为， 联立方程，消去，得，所以， 设，，则，， 又由得，即， 因此，从而，， 所以， 整理得，即， 解得或．经检验，此时， 因此的取值范围是. 例题2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线定义可知点的轨迹是双曲线的右支，由此即可得解； （2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程，由可知，结合韦达定理即可求解参数，由此即可得解. 【详解】（1）因为，且， 所以点的轨迹是双曲线的右支，可设其方程为， 所以， 所以其轨迹方程为. （2） 由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 由题意， 设， 则， ， ， 且， ， 直线的方程. 例题3．（23-24高二下·上海松江·期末）已知点为抛物线上一点，点P到的准线的距离为5. (1)求抛物线的标准方程； (2)过原点的一条直线与圆相切，交抛物线于另一点，且，求圆的方程； (3)设为的焦点，，为上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线定义计算求参得出抛物线方程； （2）直线和圆的位置关系转化为点到直线距离为半径即可计算； （3）联立方程组结合韦达定理计算求参数范围，再应用面积公式求最值即可. 【详解】（1）由题可知，解得.所以的标准方程为 （2）设，则， 由对称性，不妨取，则， 直线方程为，即，由圆的圆心到的距离为， 得，解得， 故圆的方程为. （3）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或， 所以当时，的面积. 巩固训练 1．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为． (1)若三角形的面积为2，求点的坐标； (2)若，证明：直线过定点； (3)若，求满足的关系式． 【答案】(1)或 (2)直线过定点，证明见解析 (3) 【分析】（1）设点，由椭圆方程得出，结合三角形的面积为2得出，代入椭圆方程得出，即可得出点的坐标； （2）设，联立椭圆与直线的方程，得出，结合及即可得出，即可证明； （3）由得出，代入，得出，两边平方，结合即可得出满足的关系式． 【详解】（1）设点， 由，得，所以， 所以，即，， 代入，则，即， 所以点的坐标为或． （2）设， 联立得，， ， 则， ，即， 所以，即直线过定点． （3）设， 由（1）（2）得，， ， 因为，所以，即， 代入，得， 则， 所以， 因为， 所以，整理得， 故满足的关系式为． 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线． (1)求的顶点C的轨迹方程； (2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设顶点C的坐标为，由，知．由且向量与共线，知N在边的中垂线上，由此能求出的顶点C的轨迹方程． （2）设，，过点的直线方程为，代入，得．再由根的判别式和韦达定理能求出的取值范围． 【详解】（1）设顶点C的坐标为，因为，． 又且向量与共线， ∴N在边的中垂线上，． 而，即， 化简并整理得顶点C的轨迹方程为． （2） 设， 过点的直线方程为，代入， 得，， 得， 而是方程的两根， ，． ， 即， 故的取值范围为. 3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，点为线段的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的方程； (2)是否存在直线使得点满足？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线方程求出即可. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）假定存在直线使得点满足， 设直线的方程为，由对称性知，，设， 由消去得：，则，， 点的纵坐标为，而轴，则点， ，， ，显然， 于是，即， ，解得， 所以存在直线使得点满足，直线的方程为，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$