1.4.1 用空间向量研究空间中直线、平面的平行（第2课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课（人教A版2019）

1.4.1空间中直线、平面的平行 基础巩固 1．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A．⊥ B． C．与相交但不垂直 D．或 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C． D．4 3．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内 5．如图，正方体的棱长为a、M、N分别为A1B和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（ ） A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定 6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 8．如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面； 9．已知正方体，求证:平面//平面. 10．如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB. 能力提升 11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）    A． B． C． D． 13．（多选）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，若G为FC上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．若G为线段FC的中点，则平面AEF B．多面体ABCDFE的体积为144 C．的最小值为108 D． 14．在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A． B．17 C． D． 15．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点在上，且，点为的中点，则下列结论正确的是（） A．平面 B． C．四点共面 D．三棱锥的体积为 16．已知，平面的法向量，若，则 ． 17．在棱长为1的正方体中，为的中点，、是正方体表面上相异两点，满足，.若，均在平面内，则与的位置关系是 ，的最小值为 . 18．如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．如图所示，在四棱锥中，底面，，∥，，.点E为棱的中点，求证： (1)； (2)∥平面； 20．如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点. (1)证明：； (2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度. 拓展延伸 21．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 22．如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1空间中直线、平面的平行 基础巩固 1．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A．⊥ B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】根据，所以，进而可以得到与的关系. 【详解】因为， 所以，所以或. 故选：D. 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】由，得，即，解得. 故选：C 3．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为为空间内三个不共面的向量，所以可以作为空间内的一组基底， 又平面和平面的法向量分别为和且， 所以，则，即， 所以，解得，所以. 故选：B 4．在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．平面与所有坐标轴相交 D．原点一定不在平面内 【答案】C 【分析】根据空间位置关系的向量方法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，所以，故或，故A选项错误； 对于B选项，，所以，故或，故B选项错误； 对于C选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面与所有坐标轴相交，故正确； 对于D选项，由法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点与平面关系，故错误. 故选：C 5．如图，正方体的棱长为a、M、N分别为A1B和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（ ） A．相交但不平行 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用向量法，计算出与平面的法向量垂直，由此判断出与平面平行. 【详解】∵正方体棱长为a， ∴， ∴ = 又∵是平面的法向量， 且 ∴， ∴MN //平面 故选：B 6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，与交于点分别为的中点，点满足，若平面，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】因为平面平面，所以， 又底面是正方形，所以，则两两垂直， 以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，， 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，得. 设， 因为平面，所以， 即，解得， 故，所以. 故选:B. 7．如图所示，在正方体中，E是棱DD1的三等分点（靠近点），点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3， ，设， 所以设平面的法向量为， 所以，取，则， ， 由于∥平面，所以，即， 故，所以 所以， 故答案为： 8．如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    【答案】证明见解析 【分析】 建系，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为，平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴， 过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 可得，，，， 因为是的中点，则， 则，因为，， 可得， 因为平面BCD的法向量可取为， 则，且平面BCD， 所以PQ平面BCD． 9．已知正方体，求证:平面//平面. 【答案】证明见解析 【分析】方法1：建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，判断两个法向量平行即可； 方法2：建立空间直角坐标系，根据面面平行的判定证明即可 【详解】证明： 方法1：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系 则．    设平面的法向量为 又因为，， 所以，即． 令，可得平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 又因为，，所以，即． 令，可得平面的一个法向量为． 因为，所以．所以平面平面． 方法2：由方法1，得，，， 所以，，即，． 所以平面，平面． 又因为，所以平面//平面． 10．如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.    【答案】证明见解析 【分析】建立空间坐标系，设A，C，P三点坐标，用此三点的坐标表示出，，，然后观察能否用表示出即可判断线面是否平行． 【详解】建立如图所示的空间坐标系，    设，则， ∴， ， ∵，∴，设λ， 则λ ，． ∴， ∴． ∵BP⊂平面PAB，BA⊂平面PAB，MN⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB． 能力提升 11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【详解】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0,,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C 12．如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的性质得到平面，然后建立空间直角坐标系，设，，，根据∥平面，得到，，然后得到，最后求最值即可. 【详解】   因为为正方体，所以平面，， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，， 设，，， ，，， 因为∥平面，所以， 因为，所以，即， ， 所以当时，最小，最小为. 故选：A. 13．一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，若G为FC上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．若G为线段FC的中点，则平面AEF B．多面体ABCDFE的体积为144 C．的最小值为108 D． 【答案】ABD 【分析】以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 对A，由向量法证（为平面AEF的法向量），即可进一步证线面平行； 对B，多面体ABCDFE的体积等于一个棱长为6的正方体的体积减去两个三棱锥的体积； 对C，设，由结合向量模运算得二次函数即可求最值； 对D，由向量数量积关于向量垂直的表示判断即可. 【详解】由题意得，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面ABCD，，，∴AD平面ABCD，BE平面ABCD. 以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面AEF的法向量为，则有，取，则. 对A，若G为线段FC的中点，则，又．则．因为，又平面AEF，所以平面AEF，故A正确； 对B，多面体ABCDFE的体积等于一个棱长为6的正方体的体积减去两个三棱锥的体积，则，故B正确； 对C，设，所以， 所以， 故当时，取得最小值为99，故C错误； 对D，因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 14．在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A． B．17 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面MPN的法向量，设出，根据求出，计算出，得到最小值. 【详解】以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面MPN的法向量为， 则， 令，则，故， 设，则， 因为直线与平面平行，所以， ， 因为，所以， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故选：A 15．如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点在上，且，点为的中点，则下列结论正确的是（） A．平面 B． C．四点共面 D．三棱锥的体积为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断ABC，再利用棱锥的体积公式判断D，从而得解. 【详解】依题意，建立空间直角坐标系，如图， 则， 因为，所以，即， 对于A，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 所以，又点平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 所以，所以不成立，故B错误； 对于C，，则， 所以三点共线，又易知三点也共线， 所以四点共面，故C正确； 对于D，因为， 又为的中点，所以到底面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D错误. 故选：AC. 16．已知，平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【分析】利用直线与平面垂直得到直线的方向向量与平面的法向量共线，从而利用空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，所以与共线， 又，，则， 所以，. 故答案为：. 17．在棱长为1的正方体中，为的中点，、是正方体表面上相异两点，满足，.若，均在平面内，则与的位置关系是 ，的最小值为 . 【答案】 平行 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能判断与的位置关系，设，，，推导出，由此能求出的最小值． 【详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，，，1，， ，均在平面内，设，，，，，， 则，1，，，，，，，， ，． ， 解得，所以可得 ，即与的位置关系是平行． ， 当，即，，时，的最小值为． 故答案为：平行，． 18．如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，证出，且，根据线面垂直的判定定理即可证明. （2）假设存在，利用线面垂直的定义证出即可. 【详解】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面， 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图 所示空间直角坐标系. 则， ， 因为是的中点， 所以， 所以， 所以，且. 所以，，且. 所以⊥平面. （2）假设在线段上存在点，使得//平面. 设， 则. 因为//平面，⊥平面， 所以.   所以. 所以，在线段上存在点，使得//平面.其中. 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直的判定定理，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题. 19．如图所示，在四棱锥中，底面，，∥，，.点E为棱的中点，求证： (1)； (2)∥平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可， （2）求出平面的法向量，利用向量法证明即可 【详解】（1）因为平面，平面，平面， 所以， 因为 ， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，所以， 所以， （2）平面的一个法向量为， 因为，所以， 因为平面，所以∥平面； 20．如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点. (1)证明：； (2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，证明平面后可证得线线垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求得点位置，计算出向量的模得结论． 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接. 底面是正方形，，，， ，，平面.平面. 平面，. （2）以O为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. ，，，. 设平面的法向量为.则 取，则，，得. 设，，则. 平面，，得.故. 拓展延伸 21．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、，求出平面的一个法向量，，由因为平面，则，可得，利用二次函数的基本性质结合空间向量的模长公式可求得线段长度的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 22．如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【答案】(1)； (2)不存在，证明见解析. 【分析】（1）设，由扇形的面积公式分别表示出上底的面积，下底的面积，再代入体积公式即可得，在中由余弦定理求解即可； （2）过作的垂线交劣弧于，以所在的直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】（1）解：由题意可知，设， 设上底的面积为，下底的面积为， 则，， 所以，解得， 在中由余弦定理可得， 所以； （2）不存在，证明如下： 证明：过作的垂线交劣弧于， 由（1）可知，所以， 以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，    则，，，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 由，可得， 因为，所以， 取，则有， 如果平面，则有， 即， 即，矛盾，所以平面不成立， 故劣弧上不存在使∥平面. 试卷第24页，共25页 试卷第23页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $$