第二十二章二次函数单元复习专题2024-2025学年人教版数学九年级上册

二次函数单元复习 类型之一　二次函数的图象与性质 1.已知抛物线y=ax2的开口比抛物线y=3x2的开口大且开口向下,则a的取值范围是 (　　) A.a<3 B.-3<a<0 C.a<-3 D.a>3 2.[2020·绥化] 将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式是 (　　) A.y=2(x-6)2 B.y=2(x-6)2+4 C.y=2x2 D.y=2x2+4 3.[2020·甘孜州] 如图22-X-1,二次函数y=a(x+1)2+k的图象与x轴交于A(-3,0),B两点,下列说法错误的是 (　　) 图22-X-1 A.a<0 B.图象的对称轴为直线x=-1 C.点B的坐标为(1,0) D.当x<0时,y随x的增大而增大 4.[2019·南充] 已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 (　　) A.2>y1>y2 B.2>y2>y1 C.y1>y2>2 D.y2>y1>2 5.[2020·天津] 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0,c>1)经过点(2,0),其对称轴是直线x=,有下列结论: ①abc>0; ②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根; ③a<-. 其中,正确结论的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6.[2020·北京] 在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1<x2. (1)若抛物线的对称轴为直线x=1,当x1,x2为何值时,y1=y2=c? (2)设抛物线的对称轴为直线x=t,若对于x1+x2>3,都有y1<y2,求t的取值范围. 类型之二　用待定系数法确定二次函数的解析式 7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)三点. (1)求此抛物线的函数解析式; (2)P为抛物线对称轴上一点,满足PA=PB,求点P的坐标. 类型之三　二次函数与一元二次方程、不等式的关系 8.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是 (　　) A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 9.[2020·荆门] 若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 (　　) A.有两个大于1的不相等实数根 B.有两个小于1的不相等实数根 C.有一个大于1、另一个小于1的实数根 D.没有实数根 10.[2019·济宁] 如图22-X-2,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是　　　　　　.  图22-X-2 类型之四　二次函数的实际应用 11.[2020·呼伦贝尔] 某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具,若按每件50元销售,一个月可售出500件,销售价每件每涨1元,月销量就减少10件.设销售价为每件x元(x≥50),月销量为y件,月销售利润为w元. (1)写出y与x之间的函数解析式和w与x之间的函数解析式(不要求写自变量的取值范围); (2)商店要在月销售成本不超过10000元的情况下,使月销售利润为8000元,销售价应定为每件多少元? (3)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润?求出最大利润. 类型之五　数学活动 12.甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图22-X-3,甲在点O正上方1 m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数解析式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m. (1)当a=-时, ①求h的值; ②通过计算判断此球能否过网. (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到距点O的水平距离为7 m,离地面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值. 图22-X-3 教师详解详析 1．B　[解析] 因为抛物线y＝ax2的开口比抛物线y＝3x2的开口大且开口向下，所以a＜0且|a|＜3， 所以－3＜a＜0.故选B. 2．C 3．D 4．A　[解析] 当x＝1时，y1＝－(x＋1)2＋2＝－(1＋1)2＋2＝－2；当x＝2时，y2＝－(x＋1)2＋2＝－(2＋1)2＋2＝－7.所以2>y1>y2. 5．C　[解析] 抛物线的对称轴为直线x＝， 而点(2，0)关于直线x＝的对称点的坐标为(－1，0)， ∵c>1， ∴抛物线开口向下， ∴a<0. ∵抛物线的对称轴为直线x＝， ∴ab<0， ∴abc<0，故①错误． ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴顶点在x轴的上方． ∵a<0， ∴抛物线与直线y＝a有两个交点， ∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝a有两个不等的实数根，故②正确． ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(2，0)， ∴4a＋2b＋c＝0. ∵抛物线的对称轴为直线x＝，即－＝，∴b＝－a， ∴4a－2a＋c＝0，即2a＋c＝0， ∴－2a＝c. ∵c>1，∴－2a>1， ∴a<－，故③正确．故选C. 6．解：(1)由y1＝y2＝c， 得x1＝0. ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴M，N两点关于直线x＝1对称， ∴x2＝2. ∴当x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c. (2)当x1≥t时，y1<y2恒成立，此时x1＋x2>2t. 当x2≤t时，y1<y2恒不成立，此时x1＋x2<2t. 当x1<t，x2>t时，要使y1<y2，需t－x1<x2－t， ∴x1＋x2>2t. 综上可知，当x1＋x2>2t时，y1<y2. 又∵当x1＋x2>3时，y1<y2恒成立， ∴2t≤3，∴t≤. 7．解：(1)根据题意，得 解得 所以此抛物线的函数解析式为y＝x2－2x－3. (2)抛物线的对称轴为直线x＝－＝1. 设P(1，t)，因为PA＝PB， 所以(1－3)2＋t2＝(1－2)2＋(t＋3)2， 解得t＝－1， 所以点P的坐标为(1，－1)． 8．B　[解析] 因为二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)， 所以该抛物线的对称轴是直线x＝. 又因为二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)， 所以根据抛物线的对称性知，该抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)， 所以关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2. 9．C 10．x＜－3或x＞1 11．解：(1)由题意得y＝500－10(x－50)＝1000－10x， w＝(x－40)(1000－10x)＝－10x2＋1400x－40000. (2)由题意得－10x2＋1400x－40000＝8000，解得x1＝60，x2＝80. 当x＝60时，月销售成本＝40×(1000－10×60)＝16000＞10000，不符合要求，舍去； 当x＝80时，月销售成本＝40×(1000－10×80)＝8000＜10000，符合要求，∴销售价应定为每件80元． (3)∵w＝－10x2＋1400x－40000＝－10(x－70)2＋9000， 又∵－10＜0，∴当x＝70时，w取最大值9000， 故当销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元． 12．[解析] (1)①把(0，1)，a＝－代入y＝a(x－4)2＋h即可求得h的值；②把x＝5代入y＝a(x－4)2＋h可求得羽毛球的高度，与1.55 m比较大小，做出正确的判断；(2)由题意，把(0，1)，(7，)代入y＝a(x－4)2＋h即可求得a的值． 解：(1)①把(0，1)，a＝－代入y＝a(x－4)2＋h，得1＝－×16＋h，解得h＝. ②把x＝5代入y＝－(x－4)2＋， 得y＝－×(5－4)2＋＝1.625. 因为1.625>1.55，所以此球能过网． (2)把(0，1)，(7，)分别代入y＝a(x－4)2＋h，得解得 所以a＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$