第六节 对数与对数函数学案-2025届高三数学一轮复习

梦想不会发光，会发光的是追逐梦想的你。 第二章 函数的概念、性质与基本初等函数 第六节 对数与对数函数 一、必备知识点 [学习要求] 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.　2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.　3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）互为反函数. [知识梳理] 知识点一　对数与对数运算 1.对数的概念 如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 （1）对数的性质 ①＝ ； ②logaaN＝ （a＞0，且a≠1）； ③零和负数没有对数. （2）对数的运算法则（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0） ①loga（MN）＝ ；②loga＝ ；③logaMn＝ （n∈R）. （3）对数的重要公式 ①换底公式： （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）； ②logab＝. 知识点二　对数函数及其性质 1.对数函数的概念 函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）. 2.对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 R 性质 过定点 ，即x＝ 时，y＝ 当x＞1时， ；当0＜x＜1时， 当x＞1时， ；当0＜x＜1时， 在（0，＋∞）上是 函数 在（0，＋∞）上是 函数 知识点三　反函数 指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线 对称. 二、基础知识必备题型 考点一　对数式的化简与求值回顾与反思： [例1]（1）＋lg 2×lg 50 －lg 4 ＝（  ） A.2 B.0 C.lg D. （2）已知2a＝7b＝k，若＋＝1，则k的值为（  ） A.28 B. C.14 D. 跟踪训练：1.设4m＝36，3n＝6，则＋＝    . 2.计算：＋eln 3＋lo－log34·log23＝    . 考点二　对数函数的图象及应用回顾与反思： [例2] （1）（2024·四川绵阳模拟）已知函数y＝loga（a，b为常数， 其中a＞0且a≠1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A.a＝0.5，b＝2 B.a＝2，b＝2 C.a＝0.5，b＝0.5 D.a＝2，b＝0.5 （2）（2024·广东佛山模拟）已知函数f（x）＝｜ln x｜，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a＋2b的取值范围是    . 跟踪训练：1．如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． （选做）3．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、课堂检测 1.计算＋log25－log210的值为（  ） A.－10 B.－8 C.10 D.8 2.在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 3．函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 考点三　对数函数的性质及应用回顾与反思： [例3] （1）指数函数（且）过点，则 经过点 . （2）（2024·陕西咸阳模拟）已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612， 则a，b，c的大小关系为（  ） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b （3）不等式log2－log4＞0的解集为    . 跟踪训练：1. 若函数f（x）＝loga（x＋2）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过点M，则点M的坐标为（  ） A.（－1，3） B.（－1，2） C.（－2，2） D.（－2，3） 2.（2024·山东潍坊模拟）已知a＝20.5，b＝log25，c＝log410，则a，b，c的大小关系为（  ） A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a 3．不等式的解集为 ． 回顾与反思： 考点四　与对数函数有关的综合性问题 [例4] 1.（2024·江苏南通模拟）若定义在R上的奇函数f在上单调递增， 且f＝0，则满足ln·f＞0的x的取值范围是（  ） A.∪ B.∪ C.∪ D. 2.（2024·河南开封模拟）已知函数f（x）＝loga（6－ax）（a＞0，且a≠1） 在（0，2）上单调递减，则实数a的取值范围是（  ） A.（1，3] B.（1，3） C.（0，1） D.（1，＋∞） 三、课堂检测 1．已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．关于的不等式：的解集为 ．． （选做）3．已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . （选做）4．不等式的解集为 四、巩固练习 1.已知函数f＝若f＝2，则a的值为（  ） A.2或－ B.2或 C.或－ D.1或 2.（2024·辽宁沈阳模拟）已知a＝log2.57，b＝log415，c＝，则下列判断正确的是（  ） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a 3.已知函数f（x）＝ln（－2x）－1，则f（lg 3）＋f＝（  ） A.－1 B.0 C.2 D.－2 4.（多选）函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（  ） A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 5.（2024·安徽安庆模拟）已知函数f＝log2恒过定点，则＋的最小值为（  ） A.2＋1 B.2 C.3 D.＋2 6.（2024·北京模拟）已知函数f＝x2＋ln，则f（  ） A.是奇函数，且在上是减函数 B.是奇函数，且在上是增函数 C.是偶函数，且在上是减函数 D.是偶函数，且在上是增函数 7.（2024·安徽淮北模拟）计算：＋＋4＝    . 8.函数y＝loga（2x－3）＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝    . （选做）9.（2024·北京模拟）已知函数f＝log2x－，则不等式f（x）＜0的解集为（  ） A.∪ B.∪ C. D. （选做）10. 设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2. （1）求实数a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在区间上的最大值. 2 高中数学一轮复习资料 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梦想不会发光，会发光的是追逐梦想的你。 第二章 函数的概念、性质与基本初等函数 第六节 对数与对数函数 一、必备知识点 [学习要求] 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.　2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.　3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）互为反函数. [知识梳理] 知识点一　对数与对数运算 1.对数的概念 如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 （1）对数的性质 ①＝N；②logaaN＝N（a＞0，且a≠1）；③零和负数没有对数. （2）对数的运算法则（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0） ①loga（MN）＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM（n∈R）. （3）对数的重要公式 ①换底公式：logab＝（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）；②logab＝. 知识点二　对数函数及其性质 1.对数函数的概念 函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）. 2.对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 （0，＋∞） 值域 R 性质 过定点（1，0），即x＝1时，y＝0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数 知识点三　反函数 指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 二、基础知识必备题型 考点一　对数式的化简与求值 [例1]（1）（2024·四川成都模拟）＋lg 2×lg 50 －lg 4 ＝（  ） A.2 B.0 C.lg D. （2）（2024·山东德州模拟）已知2a＝7b＝k，若＋＝1，则k的值为（  ） A.28 B. C.14 D. [答案]　（1）B　（2）A [解析]　（1）＋lg 2×lg 50 －lg 4＝＋lg 2× －lg 4 ＝＋2lg 2－ －2lg 2＝0. （2）∵2a＝7b＝k， ∴a＝log2k，b＝log7k， ∴＝logk2，＝logk7， ∴＋＝2logk2＋logk7＝logk28＝1， 跟踪训练：1.（2024·天津模拟）设4m＝36，3n＝6，则＋＝    . 答案：1 解析：由4m＝36，得2m＝6，则m＝log26，由3n＝6，得n＝log36， 所以＋＝＋＝log62＋log63＝log66＝1. 2.计算：＋eln 3＋lo－log34·log23＝    . 答案：3 解析：原式＝＋3－log2 －2log32·log23＝＋3－－2＝3. 考点二　对数函数的图象及应用 [例2] （1）（2024·四川绵阳模拟）已知函数y＝loga（a，b为常数，其中a＞0且a≠1）的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A.a＝0.5，b＝2 B.a＝2，b＝2 C.a＝0.5，b＝0.5 D.a＝2，b＝0.5 [答案]　（1）D　 [解析]　（1）由图象可得函数在定义域上单调递增， 所以a＞1，排除A，C； 又因为函数过点（0.5，0），所以b＋0.5＝1，解得b＝0.5. （2）（2024·广东佛山模拟）已知函数f（x）＝｜ln x｜，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a＋2b的取值范围是    . 答案：（3，＋∞） 解析：f（x）＝｜ln x｜的图象如图， 因为f（a）＝f（b）， 所以｜ln a｜＝｜ln b｜. 因为0＜a＜b， 所以ln a＜0，ln b＞0， 所以0＜a＜1，b＞1， 所以－ln a＝ln b， 所以ln a＋ln b＝ln（ab）＝0， 所以ab＝1，则b＝， 所以a＋2b＝a＋. 令g（x）＝x＋（0＜x＜1）， 则g（x）在（0，1）上单调递减， 所以g（x）＞g（1）＝1＋2＝3， 所以a＋2b＞3， 所以a＋2b的取值范围为（3，＋∞）. 跟踪训练：1．如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【详解】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 2．在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. （选做）3．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得. 【详解】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3. 故选：D 三、课堂检测 1.计算＋log25－log210的值为（  ） A.－10 B.－8 C.10 D.8 答案：D 解析：＋log25－log210＝（36＋log2＝9－1＝8. 2.在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 3．函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】因为，故排除D； 当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确. 故选：A. 考点三　对数函数的性质及应用 [例3]（1）指数函数（且）过点，则经过点 . 【答案】 【分析】先求出经过的定点，再证明与是一对反函数，即可得到经过的定点. 【详解】由（且）可知，时，，则点为， 由可得，两边取对数得，，交换可得，， 即与是一对反函数，图象关于轴对称， 故经过点. 故答案为： （2）（2024·陕西咸阳模拟）已知a＝2－0.01，b＝log510，c＝log612，则a，b，c的大小关系为（  ） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 答案：A 解析：a＝2－0.01∈＝，b＝1＋log52＞1，c＝1＋log62＞1， 且log52＞log62，故b＞c＞a. （3）不等式log2－log4＞0的解集为    . [答案]　∪ [解析]　由题设log2－log2＞0⇒log2＞log2， 则即可得x∈∪. 跟踪训练：1.若函数f（x）＝loga（x＋2）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过点M，则点M的坐标为（  ） A.（－1，3） B.（－1，2） C.（－2，2） D.（－2，3） 答案：B 解析：∵当x＝－1时，f（－1）＝loga（－1＋2）＋2＝2，与a的值无关，∴点M的坐标为（－1，2）. 2.（2024·山东潍坊模拟）已知a＝20.5，b＝log25，c＝log410，则a，b，c的大小关系为（  ） A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a [答案]　B [解析]　因为a＝20.5＝，c＝log410＝log2＜log25，所以b＞c， c＝log410＝log2＞log22＝＞，所以c＞a， 所以a＜c＜b. 3．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集. 【详解】由于函数在上递减， 所以解得， 所以原不等式的解集为， 故答案为： . 回顾与反思： 考点四　与对数函数有关的综合性问题 [例4] 1.（2024·江苏南通模拟）若定义在R上的奇函数f在上单调递增，且f＝0，则满足ln·f＞0的x的取值范围是（  ） A.∪ B.∪ C.∪ D. 答案：D 解析：由题意作出f的大致图象如图所示. 由ln·f（x－1）＞0⇒ 即⇒无解， 或 即⇒x＞3. 2.（2024·河南开封模拟）已知函数f（x）＝loga（6－ax）（a＞0，且a≠1）在（0，2）上单调递减，则实数a的取值范围是（  ） A.（1，3] B.（1，3） C.（0，1） D.（1，＋∞） [答案]　（1）A　 [解析]　（1）令t（x）＝6－ax，因为a＞0， 所以t（x）＝6－ax为减函数. 又由函数f（x）＝loga（6－ax）在（0，2）上单调递减， 可得函数t（x）＝6－ax＞0在（0，2）上恒成立，且a＞1， 故有解得1＜a≤3. 三、课堂检测 1．已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解. 【详解】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 故选：C 2．关于的不等式：的解集为 ．． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性求解． 【详解】∵在上是严格增函数， ∴解得，解集为． （选做）3．已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论. 【详解】令时，可得， 可知函数，且的图象恒过定点， 因为定点在直线上， 可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. （选做）4．不等式的解集为 【答案】 【分析】对原不等式整理可得，结合对数函数性质分析求解. 【详解】因为，且， 若，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、巩固练习 1.已知函数f＝若f＝2，则a的值为（  ） A.2或－ B.2或 C.或－ D.1或 答案：A 解析：当a≥1时，log2a＋1＝2，解得a＝2， 当a＜1时，a2＝2，得a＝－， 所以a的值是2或－. 2.（2024·辽宁沈阳模拟）已知a＝log2.57，b＝log415，c＝，则下列判断正确的是（  ） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a 答案：D 解析：因为a＝log2.57＞log2.52.52＝2，b＝log415＜log416＝2，c＝＝2，所以b＜c＜a. 3.已知函数f（x）＝ln（－2x）－1，则f（lg 3）＋f＝（  ） A.－1 B.0 C.2 D.－2 答案：D 解析：∵f（－x）＝ln（＋2x）－1＝ln－1＝－ln（－2x）－1， ∴f（－x）＋f（x）＝－2，∴f（lg 3）＋f＝f（lg 3）＋f（－lg 3）＝－2. 4.（多选）函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（  ） A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 答案：BC 解析：由图象可知0＜a＜1， 令y＝0得loga（x＋c）＝0，x＋c＝1，x＝1－c， 由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1. 5.（2024·安徽安庆模拟）已知函数f＝log2恒过定点，则＋的最小值为（  ） A.2＋1 B.2 C.3 D.＋2 答案：A 解析：由题意可知2a＋b＝1， 则＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1， 当且仅当a＝，b＝－1时， ＋的最小值为2＋1. 6.（2024·北京模拟）已知函数f＝x2＋ln，则f（  ） A.是奇函数，且在上是减函数 B.是奇函数，且在上是增函数 C.是偶函数，且在上是减函数 D.是偶函数，且在上是增函数 答案：D 解析：函数f＝x2＋ln的定义域为， 且f＝＋ln＝x2＋ln＝f，所以f＝x2＋ln为偶函数，函数图象关于y轴对称， 当x＞0时f＝x2＋ln x，因为y＝x2与y＝ln x在上单调递增， 所以f在上单调递增. 7.（2024·安徽淮北模拟）计算：＋＋4＝    . 答案：10 解析：＋＋4＝22＋＋＝4＋2＋4＝10. 8.函数y＝loga（2x－3）＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝    . 答案：27 解析：令2x－3＝1，得x＝2，此时y＝8，故定点A（2，8）， 设f（x）＝xα，则f（2）＝2α＝8，得α＝3，故f（3）＝33＝27. （选做）9. （2024·北京模拟）已知函数f＝log2x－，则不等式f（x）＜0的解集为（  ） A.∪ B.∪ C. D. 答案：B 解析：由题意，不等式f（x）＜0，即log2x－＜0， 等价于log2x＜在上的解， 令g＝log2x，h＝，则不等式为g＜h， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 可得不等式f（x）＜0的解集为∪. （选做）10. 设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2. （1）求实数a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在区间上的最大值. 解：（1）∵f（1）＝2，∴loga4＝2（a＞0，且a≠1）， ∴a＝2.由得－1＜x＜3， ∴函数f（x）的定义域为（－1，3）. （2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x） ＝log2[（1＋x）（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]， ∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增； 当x∈时，f（x）单调递减， 故函数f（x）在上的最大值是f（1）＝log24＝2. 2 高中数学一轮复习资料 学科网（北京）股份有限公司 $$