第八节 函数与方程学案-2025届高三数学一轮复习

梦想不会发光，会发光的是追逐梦想的你。 第二章 函数的概念、性质与基本初等函数 第八节 函数与方程 一、必备知识点 [学习要求] 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用二分法求方程的近似解. [知识梳理] 知识点一　函数的零点 1.函数零点的概念 对于函数y＝f（x），x∈D，我们把使f（x）＝0的 叫做函数y＝f（x），x∈D的零点. 注意：零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x. 2.三个等价关系 3.零点存在定理 知识点二　二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、基础知识必备题型 考点一　判断函数零点所在的区间 [例1]（1）（2024·陕西咸阳模拟）函数f＝log4x－的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. （2）（2024·湖北荆州模拟）若x0是方程＝的根，则x0属于区间（  ） A. B. C. D. 跟踪训练：1. （2024·湖南长沙模拟）设函数f（x）＝x－ln x，则函数y＝f（x）（  ） A.在区间，（1，e）内均有零点 B.在区间，（1，e）内均无零点 C.在区间内有零点，在区间（1，e）内无零点 D.在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点 2.（2024·山东滨州模拟）[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝（  ） A.2 B.3 C.4 D.5 考点二　判断函数的零点个数 [例2]　 （1）（2024·山东潍坊模拟）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数是（  ） A.3 B.4 C.5 D.6 （2）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ex＋x－3，则f（x）的零点个数为（  ） A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪训练：1.（2024·山东济南质检）函数f（x）＝x·cos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为（  ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.函数f＝的零点个数为（  ） A.3 B.2 C.1 D.0 考点三　函数零点的综合应用 [例3] （1）（2024·陕西安康模拟）若函数f（x）＝－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围是（  ） A. B.（－e，＋∞） C. D.（－∞，e） （2）（2024·贵州黔东南模拟）已知函数f＝若函数y＝f－a2有3个零点，则实数a的取值范围是    . 三、课堂检测 1.（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（  ） A.f（x）＝3x－1 B.f（x）＝x2－2x＋1 C.f（x）＝log4x D.f（x）＝ex－2 2.函数f（x）＝的所有零点构成的集合为（  ） A.{1} B.{－1} C.{－1，1} D.{－1，0，1} 3.（2024·福建宁德模拟）函数f（x）＝x3－x＋1的零点所在的区间是（  ） A.（－2，－1） B.（－1，0） C.（0，1） D.（1，2） 4.函数f（x）＝ex＋3x零点的个数为（  ） A.0 B.1 C.2 D.4 四、巩固练习 1.函数f＝ex＋2x－6的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 2.用二分法研究函数f＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f＜0，f＞0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（  ） A.，f B.，f C.，f D.，f 3.（2024·北京模拟）函数f（x）＝－＋log2x的零点所在区间是（  ） A. B. C.（1，2） D.（2，3） 4.（2024·上海模拟）若函数f（x）＝ln x－＋a在区间（1，e）上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A.（0，1） B. C. D. 5.（2024·江苏南通模拟）已知方程ln x＝11－2x的实数解为x0，且x0∈（k，k＋1），k∈N*，则k＝（  ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.（2024·内蒙古通辽模拟）函数y＝log3的零点为    . 7.已知函数f（x）＝且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是    . 8.已知函数f（x）＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝    ，b＝    . （选做）9.（2024·江西九江模拟）已知函数f（x）＝2x＋x－4，g（x）＝ex＋x－4，h（x）＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（  ） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b （选做）10.（2024·北京模拟）已知函数f＝若函数g＝f－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（  ） A. B. C. D. （选做）11.函数f（x）＝｜x2－2x｜－a2－1（a＞0）的零点的个数是    . 2 高中数学一轮复习资料 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梦想不会发光，会发光的是追逐梦想的你。 第二章 函数的概念、性质与基本初等函数 第八节 函数与方程 一、必备知识点 [学习要求] 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用二分法求方程的近似解. [知识梳理] 知识点一　函数的零点 1.函数零点的概念 对于函数y＝f（x），x∈D，我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x），x∈D的零点. 注意：零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x. 2.三个等价关系 3.零点存在定理 知识点二　二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、基础知识必备题型 考点一　判断函数零点所在的区间 [例1]　 （1）（2024·陕西咸阳模拟）函数f＝log4x－的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. （2）（2024·湖北荆州模拟）若x0是方程＝的根，则x0属于区间（  ） A. B. C. D. [答案]　（1）C　（2）C [解析]　（1）函数f＝log4x－，可判断函数为单调递增函数， 所以f＝0－1＝－1＜0， f＝－＜0， f＝log43－. 因为35＞43，所以3＞，log43＞＝＞＝， 所以f＝log43－＞0， 可得ff＜0，即函数f的零点所在的区间是. （2）构造函数f（x）＝－， 易知函数f（x）在R上单调递减，且函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线， 易知f（0）＝－0＝1＞0，f＝－＞0， f＝－＜0，f＝－＜0， f（1）＝－1＝－＜0， 结合选项，因为f·f＜0， 故函数f（x）的零点所在的区间为， 即方程＝的根x0属于区间. 跟踪训练：1. （2024·湖南长沙模拟）设函数f（x）＝x－ln x，则函数y＝f（x）（  ） A.在区间，（1，e）内均有零点 B.在区间，（1，e）内均无零点 C.在区间内有零点，在区间（1，e）内无零点 D.在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点 答案：D 解析：令f（x）＝0得x＝ln x. 作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图， 显然y＝f（x）在内无零点，在（1，e）内有零点.2.（2024·山东滨州模拟）[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝（  ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：设f（x）＝ln x＋3x－15，显然f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增， 故f（x）＝0只有一个根， 又f（4）＝ln 4－3＝2ln 2－3＜2（ln 2－1）＜0，f（5）＝ln 5＞0， 所以x0∈（4，5），故[x0]＝4. 考点二　判断函数的零点个数 [例2]　 （1）（2024·山东潍坊模拟）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数是（  ） A.3 B.4 C.5 D.6 （2）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ex＋x－3，则f（x）的零点个数为（  ） A.1 B.2 C.3 D.4 [答案]　（1）A　（2）C [解析]　（1）求函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数， 转化为方程（x2－x）ln｜2x－3｜＝0在区间[－2，2]上的根的个数. 由（x2－x）ln｜2x－3｜＝0，得x2－x＝0或ln｜2x－3｜＝0， 解得x＝0或x＝1或x＝2， 所以函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数为3. （2）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，即x＝0是函数f（x）的1个零点. 当x＞0时，令f（x）＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f（x）有1个零点. 根据对称性知，当x＜0时，函数f（x）也有1个零点. 综上所述，f（x）的零点个数为3. 跟踪训练：1.（2024·山东济南质检）函数f（x）＝x·cos 2x在区间[0，2π]上的零点的个数为（  ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：D 解析：f（x）＝x·cos 2x＝0⇒x＝0或cos 2x＝0.又cos 2x＝0在[0，2π]上有，，，共4个根，故原函数有5个零点. 2.函数f＝的零点个数为（  ） A.3 B.2 C.1 D.0 答案：B 解析：由f＝0得 或解得x＝－2或x＝e. 因此函数f共有2个零点. 考点三　函数零点的综合应用 [例3] （1）（2024·陕西安康模拟）若函数f（x）＝－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围是（  ） A. B.（－e，＋∞） C. D.（－∞，e） （2）（2024·贵州黔东南模拟）已知函数f＝若函数y＝f－a2有3个零点，则实数a的取值范围是    . [答案]　（1）D　（2）[－，0）∪（0，] [解析]　（1）由题意知，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的图象在（0，＋∞）上有交点. 当a＞0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位长度得到的， 根据图象可知此时只需要g（0）＝ln a＜1， 即0＜a＜e； 当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移－a个单位长度得到的， 此时在（0，＋∞）上y＝e－x与g（x）的图象恒有交点，满足条件. 综上，a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）. （2）由函数解析式可得图象如图所示， 要使函数y＝f－a2有3个零点，即 f与y＝a2有三个交点， 由图知0＜a2≤2⇒－≤a＜0或0＜a≤，即a∈[－，0）∪（0，]. 三、课堂检测 1.（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（  ） A.f（x）＝3x－1 B.f（x）＝x2－2x＋1 C.f（x）＝log4x D.f（x）＝ex－2 答案：ACD 解析：f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，f（1）＝0，当x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，在零点两侧附近函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中的函数在函数的零点两侧附近函数值异号. 2.函数f（x）＝的所有零点构成的集合为（  ） A.{1} B.{－1} C.{－1，1} D.{－1，0，1} 答案：C 解析：当x≤0时，f（x）＝x＋1＝0⇒x＝－1，当x＞0时，f（x）＝log2x＝0⇒x＝1，所以函数f（x）的所有零点构成的集合为{－1，1}. 3.（2024·福建宁德模拟）函数f（x）＝x3－x＋1的零点所在的区间是（  ） A.（－2，－1） B.（－1，0） C.（0，1） D.（1，2） 答案：A 解析：f（－2）＝－5，f（－1）＝1，f（0）＝1，f（1）＝1，f（2）＝7.因为f（－2）·f（－1）＜0，f（－1）·f（0）＞0，f（0）·f（1）＞0，f（1）·f（2）＞0，所以函数f（x）＝x3－x＋1的零点所在的区间是（－2，－1）. 4.函数f（x）＝ex＋3x零点的个数为（  ） A.0 B.1 C.2 D.4 答案：B 四、巩固练习 1.函数f＝ex＋2x－6的零点所在的区间是（  ） A. B. C. D. 答案：C 解析：函数f（x）＝ex＋2x－6 是R上的连续增函数， 因为f（1）＝e－4＜0，f（2）＝e2－2＞0， 可得f（1）f（2）＜0， 所以函数f（x） 的零点所在的区间是（1，2）. 2.用二分法研究函数f＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f＜0，f＞0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（  ） A.，f B.，f C.，f D.，f 答案：D 解析：因为f（0）f（0.5）＜0， 由零点存在性知零点x0∈， 根据二分法，第二次应计算f，即f. 3.（2024·北京模拟）函数f（x）＝－＋log2x的零点所在区间是（  ） A. B. C.（1，2） D.（2，3） 答案：C 解析：易知增函数加增函数为增函数，函数f（x）在定义域（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝log21－＝－1＜0， f（2）＝log22－＝1－＝＞0，所以f（x）存在唯一零点x0，且x0∈（1，2）. 4.（2024·上海模拟）若函数f（x）＝ln x－＋a在区间（1，e）上存在零点，则实数a的取值范围为（  ） A.（0，1） B. C. D. 答案：C 解析：∵函数f（x）＝ln x－＋a在区间（1，e）上为增函数，且在区间（1，e）上存在零点，∴f（1）＝ln 1－1＋a＜0，f（e）＝ln e－＋a＞0，解得－1＜a＜1. 5.（2024·江苏南通模拟）已知方程ln x＝11－2x的实数解为x0，且x0∈（k，k＋1），k∈N*，则k＝（  ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解析：令f（x）＝ln x＋2x－11， 由f（1）f（2）＝－9（ln 2－7）＞0， f（2）f（3）＝（ln 2－7）（ln 3－5）＞0， f（3）f（4）＝（ln 3－5）（ln 4－3）＞0， f（4）f（5）＝（ln 4－3）（ln 5－1）＜0， 可知k＝4. 6.（2024·内蒙古通辽模拟）函数y＝log3的零点为    . 答案：2 解析：令log3＝0，故x－1＝1，解得x＝2， 故y＝log3的零点为2. 7.已知函数f（x）＝且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是    . 答案：（1，＋∞） 解析：方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，即f（x）＝－x＋a有且只有一个实根， 即函数y＝f（x）的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点. 如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距. 由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f（x）有两个交点， 当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝f（x）只有一个交点. 故实数a的取值范围是（1，＋∞）. 8.已知函数f（x）＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝    ，b＝    . 答案：1　2 解析：∵函数f（x）＝3x＋x－5，∴f（1）＝31＋1－5＝－1＜0，f（2）＝32＋2－5＝6＞0， ∴f（1）f（2）＜0，且函数f（x）在R上单调递增， ∴f（x）的零点x0在区间（1，2）内，∴a＝1，b＝2. （选做）9.（2024·江西九江模拟）已知函数f（x）＝2x＋x－4，g（x）＝ex＋x－4，h（x）＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（  ） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b 答案：C 解析：由已知条件得 f（x）的零点可以看成y＝2x与y＝4－x的交点的横坐标，g（x）的零点可以看成y＝ex与y＝4－x的交点的横坐标，h（x）的零点可以看成y＝ln x与y＝4－x的交点的横坐标， 在同一坐标系分别画出y＝2x，y＝ex，y＝ln x，y＝4－x的函数图象，如图所示， 可知c＞a＞b. （选做）10.（2024·北京模拟）已知函数f＝若函数g＝f－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（  ） A. B. C. D. 答案：D 解析：函数g＝f－k有两个不同的零点， 即为函数y＝f与直线y＝k有两个交点， 函数y＝f图象如图所示， 所以k∈. （选做）11.函数f（x）＝｜x2－2x｜－a2－1（a＞0）的零点的个数是    . 答案：2 解析：令f（x）＝0，则｜x2－2x｜＝a2＋1. 因为a＞0，所以a2＋1＞1. 作出函数y＝｜x2－2x｜的图象如图所示， 所以函数y＝｜x2－2x｜的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，因此函数f（x）＝｜x2－2x｜－a2－1有2个零点. 2 高中数学一轮复习资料 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$