2.2导数的概念及其几何意义课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 2　导数的概念及其几何意义 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.理解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数的方法. 2.理解导数的几何意义. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　导数的概念 1.设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 =　　　　　　　　.  平均变化率的极限  2.当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的　　　　　　.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的　　　　,通常用符号f'(x0)表示,记作 f'(x0)=　　　　　　　=　　　　　 　　.  瞬时变化率 导数 名师点睛 对于导数的概念,注意以下几点: (1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在; (2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关. 思考辨析 对于函数y=f(x)=2x2+1,当x从x0变到x0+Δx时,y关于x的平均变化率是多少?当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数吗? 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.(　　) (2)函数在点x0处的导数f'(x0)是一个常数.(　　) 2.利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值. √ √ 知识点2　导数的几何意义 1.割线:设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,且函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]的平均变化率为 ,如图(1),它是经过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y=f(x)在点A处的　　　　　　　.  一条割线 2.切线:如图(2),设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0). 名师点睛 1.直线倾斜角 与其斜率k之间的关系是k=tan θ. 2.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤: (1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率; (2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 3.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率. 思考辨析 如图,我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大,观察有何现象出现? 提示 当不断放大时,曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线,即在很小的范围内,曲线可以看作直线,这就是以直代曲的思想. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率. (　　) (2)直线与曲线相切,则直线与已知的曲线只有一个公共点.(　　) √ × 2.[人教B版教材例题]已知函数f(x)= ,求曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的方程. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　导数的概念 角度1.求函数在某点处的导数 A.-4 B.2 C.-2 D.±2 D ★(2)求函数y=f(x)=x+ 在x=1处的导数. 规律方法　求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下: (1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); 变式训练1(1)y=f(x)=x2在x=1处的导数为(　　) A.2x B.2 C.2+Δx D.1 B 解析 当x从1变到1+Δx时,函数值从1变到(1+Δx)2,函数值y关于x的平均变化率为 当x趋于1,即Δx趋于0时,平均变化率趋于2,所以f'(1)=2. ★(2)利用导数的定义,求 在x=1处的导数. 角度2.对导数定义式的理解和应用 【例2】 设函数f(x)在x0处可导,则 等于(　　) A.f'(x0) B.f'(-x0) C.-f'(x0) D.-f'(-x0) C 规律方法　导数定义式的变形应用 在导数的定义式中,自变量的增量Δx可以有多种表达形式,但不论采用哪种形式,Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式,如将Δx变为mΔx,则 Δy=f(x0+mΔx)-f(x0),只有这样,才有 变式训练2设函数f(x)满足 A.-1 B.1 C.-2 D.2 A 探究点二　导数几何意义的应用 角度1.曲线在某点处的切线方程 【例3】 求曲线y=f(x)= 在点M(3, )处的切线方程. 规律方法　求曲线在某点处的切线方程的步骤 变式训练3曲线y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是　　　　.  -3 令Δx趋于0,可知y=f(x)=x2+1在x=2处的导数为f'(2)=4. 于是,函数y=f(x)=x2+1在点(2,5)处的切线斜率为4,因此函数y=f(x)=x2+1在点P(2,5)处的切线方程为y-5=4(x-2),即y=4x-3. 所以切线与y轴交点的纵坐标是-3. 角度2.曲线过某点的切线方程 【例4】 求抛物线y=f(x)= x2过点(4, )的切线方程. 规律方法　1.首先要理解过某点的含义,切线过某点,这点不一定是切点. 2.过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0,f(x0)). (3)解方程得k=f'(x0),x0,f(x0),从而写出切线方程. 3.本例考查了切线的含义及切线方程的求法.体现了直观想象和数学运算的数学核心素养. 变式训练4求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程. 当x0=0时,切线斜率k=1,过点(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0. 当x0=-2时,切线斜率k=-3,过点(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0. 故所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0. 探究点三　利用导数的几何意义判断函数图象 【例5】 已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设 =a,则下列不等式正确的是(　　) A.f'(1)<a<f'(2) B.a<f'(1)<f'(2) C.f'(2)<f'(1)<a D.f'(1)<f'(2)<a A 规律方法　导数的几何意义就是切线的斜率,在比较导数大小的问题上可以用数形结合思想来解决.(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值,从而得出在x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的.(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢. 变式训练5函数y=f(x)的图象如图所示,下列不等关系正确的是(　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)  C 解析 如图所示,根据导数的几何意义,可得f'(2)表示切线l1的斜率k1>0,f'(3)表示切线l3的斜率k3>0, 又由平均变化率的定义,可得 =f(3)-f(2),表示割线l2的斜率k2,结合图象,可得0<k3<k2<k1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 故选C. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)导数的概念. (2)导数几何意义的应用. (3)利用导数几何意义求曲线的切线方程. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:求切线方程时f(x0),f'(x0)混淆. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 18 19 20 21 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2.[探究点二(角度1)]如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f'(4)=(　　) A. B.3 C.4 D.5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3. [探究点二(角度1)]已知曲线y=f(x)=- x2-2上一点P(1,- ),则在点P处的切线的倾斜角为(　　) A.30° B.45° C.135° D.165° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4. [探究点二(角度1)]若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则(　　) A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0 C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在 C 解析 由导数的几何意义,可得f'(x0)=-2<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5. [探究点二(角度1)]设曲线y=f(x)=ax2在点(2,4a)处的切线与直线 4x-y+4=0垂直,则a等于(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6. [探究点一(角度1)]若点(0,1)在曲线f(x)=x2+ax+b上,且f'(0)=1,则a+b=　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7. [探究点一(角度2)]在曲线y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8. [探究点二(角度1)]已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 =　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9. [探究点二(角度1)]曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10. [探究点二(角度1)]已知曲线y=- x2,求该曲线在点P(2,-2)处的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11. [探究点二(角度1)]在曲线y=x2上哪一点处的切线分别满足下列条件: (1)平行于直线y=4x-5; (2)垂直于直线2x-6y+5=0; (3)与x轴成135°的倾斜角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12.[探究点二(角度2)]已知曲线 ,求曲线过点P(2,4)的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B 级 关键能力提升练 13.已知 =-2,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 (　　) A.-4 B.4 C.2 D.-2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.若曲线y=f(x)=x+ 上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1) B.(-1,1) C.(-∞,1) D.(1,+∞) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16.(多选题)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为 的是(　　) A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+ 的图象在点(1,m)处的切线,则a+b=　　　　,m=　　　　　.  5 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18.若抛物线y=f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为　　　　.  4 令Δx趋于0,则函数y=x2-x+c在x=-2处的切线斜率为-5. ∴切线方程为y=-5x. ∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10, 将P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19.设P为曲线C:y=f(x)=x2+2x+3上一点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为[0, ],则点P的横坐标的取值范围为　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,已知其关系式为T(t)= +15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min). (1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率是多少?它表示什么实际意义? (2)求T'(5),并解释它的实际意义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 级 学科素养创新练 21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),已知f'(0)>0,且对于任意实数x,有f(x)≥0,则 的最小值为　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 提示 =2Δx+4x0,当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数. 解 f'(5)= ==3. θ 解 因为f'(2)==-.又因为f(2)=,所以所求切线方程为y-=-(x-2),即y=-x+1. 【例1】 (1)已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于(　　) 解析 因为, 所以f'(m)==-, 所以-=-,m2=4,解得m=±2. 解 当x从1变到1+Δx时,函数值从1+变到(1+Δx)+,函数值y关于x的平均变化率为=1-. 当Δx趋于0时,平均变化率趋于0,所以f'(1)=0. (2)求平均变化率; (3)取极限,得导数f'(x0)=. =Δx+2. f(x)= 解 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=, ∴, ∴f'(1)= = = =. 解析 令Δx代替-Δx,则当Δx趋于0时,也有-Δx趋于0,于是=-. 因为函数f(x)在x0处可导, 所以由导数的定义得=f'(x0), 故=-f'(x0). =f'(x0). =2,则f'(x0)=(　　) 解析 因为 =-2 =-2f'(x0)=2, 所以f'(x0)=-1,故选A. 解 =-. 令Δx趋于0,可知y=f(x)=在x=3处的导数为f'(3)=-, 即函数y=f(x)=在点(3,)处的切线斜率为-. 因此函数y=f(x)=在点M(3,)处的切线方程为y-=-(x-3),即y=-x+. 解析 =4+Δx. 解 设切线在抛物线上的切点为(x0,), ∵f'(x0)=x0+Δx)=x0,∴x0,即-8x0+7=0,解得x0=7或x0=1,即切点为(7,),或(1,), 故切线方程为y-(x-7)或y-(x-1), 化简得14x-4y-49=0或2x-4y-1=0, 即所求的切线方程为14x-4y-49=0或2x-4y-1=0. (2)建立方程f'(x0)=. 解 设切点为(x0,+x0+1), 则切线的斜率为k==2x0+1. 又k=, ∴2x0+1=,解得x0=0或x0=-2. 1.[ 探究点一(角度2)]已知函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=-1,则=(　　) A.-1 B.1 C. D.-2 解析 根据题意,函数y=f(x)在x=x0处的导数为f'(x0)=-1, 而=2=2f'(x0)=-2.故选D. A.2 B.- C. D.-1 解析 由y=ax2,得Δy=a(2+Δx)2-22a=4aΔx+a(Δx)2,则=4a+aΔx,令Δx趋于0,∴f'(2)=4a. 又y=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,∴4a=-,∴a=-. 解析 ∵f'(0)=(a+Δx)=a=1,又f(0)=1,即b=1, ∴a+b=2. =　　　　　.  解析 ∵=2+Δx, ∴(2+Δx)=2. 解析 由题意知a+b=3, 又f'(1)==2a=2, 则a=1,b=2,故=2. 解析 ∵f'(1)==3, ∴曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2,则切线与x轴,直线x=2所围成的三角形面积为×(2-)×4=. 解 由f'(x)=(-x-Δx)=-x, 所以f'(2)=-2,即该曲线在点P(2,-2)处的切线斜率为-2,所以所求的切线方程为y-(-2)=-2(x-2),即2x+y-2=0,所以曲线y=-x2在点P(2,-2)处的切线方程为2x+y-2=0. (2)因为与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0×=-1,得x0=-,即点P(-)处的切线垂直于直线2x-6y+5=0. (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=2x0=-1,得x0=-,即点P(-)处的切线与x轴成135°的倾斜角. 解 (1)y'=(2x+Δx)=2x. 设点P(x0,y0)是曲线上满足条件的切点. 因为切线与直线y=4x-5平行,所以k=y'=2x0=4,得x0=2, 即点P(2,4)处的切线平行于直线y=4x-5. y=x3+ 解 设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为k=, ∴切线方程为y-(x-x0), 即y=·x-.∵点P(2,4)在切线上, ∴4=2,即-3+4=0. ∴-4+4=0, ∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得x0=-1,或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 解析 根据题意,因为=-2, 即f'(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=-2.故选D. 解析 y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k=f'(x0)=(1-)=1-<1,即k<1. 15.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列(n∈N+)的前n项和为Sn,则S2 021的值为(　　) A. B. C. D. 解析 设切点坐标为(x0,y0), 则==, 令Δx趋于0,则f'(x0)=3-2=tan=1, 所以x0=±1, 当x0=1时,y0=-1, 当x0=-1时,y0=1.故选BC. 解析 由题意知m=a+2,1+m=b, 因为f'(1)=(a-)=a-2,所以曲线f(x)在点(1,m)处的切线斜率为a-2,由a-2=-1,得a=1,m=3,b=4,a+b=5. 解析 ==-5+Δx. [-1,-] 解析 设点P的横坐标为x0, 则===2x0+2+Δx, 令Δx趋于0,则函数y=x2+2x+3在x=x0处的切线斜率为2x0+2, 由题意,得0≤2x0+2≤1, ∴-1≤x0≤-,∴点P的横坐标的取值范围为[-1,-]. 解 (1)在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温的平均变化率为 =-1.6(℃/min),它表示在0 min到10 min这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (2)T'(5)=== =-1.2(℃/min),它表示太阳落山后5 min时,蜥蜴体温下降的速度为 1.2 ℃/min. 解析 由导数的定义,得f'(0)=[a·(Δx)+b]=b>0. 又∴ac≥,∴c>0. ∴=2. 当且仅当a=c=时等号成立. $$