2.7 导数的应用课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

第二章　导数及其应用 7　导数的应用 北师大版 数学 选择性必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.能理解并能解释实际问题中导数的意义. 2.能利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　实际问题中导数的意义 1.功与功率:在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特. 2.降雨强度:在气象学中,通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度. 3.边际成本: 在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本. 思考辨析 降雨强度是什么含义? 提示 单位时间内的降雨量. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)已知物体运动的路程s与时间t的函数关系为s=f(t),则瞬时速度v=f'(t).(　　) (2)已知做的功W与时间t的函数关系W=W(t),则W'(t)的实际意义为t时刻单位时间内做的功.(　　) √ √ 知识点2　利用导数解决最优化问题 1.最优化问题 在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题通称为最优化问题. 2.最优化问题的求解步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x). (2)求导函数f'(x),解方程f'(x)=0. (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. (4)依据实际问题的意义给出答案. 名师点睛 解决最优化问题的一般步骤 (1)认真阅读理解关于实际问题的材料.一般地,实际问题的材料都非常多、信息量较大、涉及的量也比较多,因此需要仔细地阅读题目,发现其中有用的信息,揭示其数学本质. (2)在理解题意的基础上,建立数学模型,把要解决的实际问题转化为数学问题,建立相应的函数关系式. (3)针对数学模型,设计解决方案,用导数解决函数问题,同时要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域. (4)根据函数问题的答案去回答实际问题中的最优化问题. 在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该点处取最值吗?你能列举几个关于利润的等量关系吗? 提示 根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.举例:利润=收入-成本,利润=每件产品的利润×销售件数. 过关自诊 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)磁盘的最大存储量问题是最优化问题.(　　) (2)求某长方体容器的容积最大问题是最优化问题.(　　) (3)汽油的使用效率的提高问题是最优化问题.(　　) (4)制作一水箱的用料最省问题是最优化问题.(　　) √ √ × √ 重难探究·能力素养速提升 探究点一　实际问题中导数意义的应用 【例1】 (1)一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t+ t2表示,并且物体的动能Ek= mv2(m为物体质量,v为物体运动速度),则物体开始运动后第7 s时的动能是(　　) A.160 J B.165 J C.170 J D.175 J A (2)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度(单位:m)是h(t)=4.9t2+6.5t+10.求运动员在t=1 s时的瞬时速度. 解 h'(t)=9.8t+6.5, ∴h'(1)=9.8+6.5=16.3(m/s), ∴运动员在t=1 s时的瞬时速度为16.3 m/s. 规律方法　在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.如:加速度是速度关于时间的导数、速度是路程关于时间的导数、功率是功关于时间的导数等. 变式训练1(1)火车开出车站一段时间内,速度v(单位:m/s)与行驶时间t(单位:s)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,当加速度为2.8 m/s2时,火车开出去(　　) B 解析 由题意可知,v'(t)=0.4+1.2t, 令0.4+1.2t=2.8,可得t=2 s. (2)设x(单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离,y(单位:km)表示这一点的海拔高度,y是x的函数,满足解析式 y=f(x),若函数y=f(x)在x=100处的导数f'(100)=-0.1.试解释它的实际意义. 解 f'(100)=-0.1表示从源头流到100 km处的海拔高度的瞬时变化率,如果保持这一速度,每经过1 km,该河流的海拔高度下降0.1 km. 探究点二　导数在几何中的应用 角度1.平面几何中的最值问题 【例2】 如图所示,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值. 解 设点B的坐标为(x,0),且0<x<2, ∵f(x)=4x-x2的图象的对称轴为直线x=2, ∴点C的坐标为(4-x,0), ∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2. ∴设矩形ABCD的面积为y, 则y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3, ∴y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8). 规律方法　平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形,主要研究与面积相关的最值问题.一般将面积用变量表示出来后求导数,求极值,从而求最值. 变式训练2 如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于A,B,C三点处,AB=AC,A到线段BC的距离AO=40,∠ABO= .今计划建一个生活垃圾中转站P,为方便运输,P准备建在线段AO(不含端点)上. (1)设PO=x(0<x<40),试将P到三个小区距离的最远者S表示为x的函数,并求S的最小值; (2)设∠PBO=α(0<α< ),试将P到三个小区的距离之 和y表示为α的函数,并确定当α取何值时,可使y最小. 角度2.立体几何中的最值问题 【例3】 现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正棱锥的高PO1的4倍. (1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大? (2)设A1B1=a m,PO1=h m, 则0<h<6,O1O=4h m. 连接O1B1. 规律方法　1.立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积,在此基础上解决与实际相关的问题. 2.解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系,将图形进行拆分或组合,以便简化求值过程. 变式训练3为了应对某比赛,大会组委会将对长方体泳池进行检修,已知泳池深度为2 m,其容积为2 500 m3,如果池底每平方米的维修费用为150元,设入水处的较短池壁长度为x,且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比,且比例系数为 k(k>0),较长的池壁总维修费用满足代数式 ,则当泳池的维修费用最低时,x的值为　　　　　.  25 探究点三　导数在经济生活中的应用 【例4】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系: C(x)= (1≤x≤10),设f(x)为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和. (1)求f(x)的表达式; (2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. ∴当1≤x<6时,f'(x)<0;当6≤x≤10时,f'(x)≥0. ∴f(x)在[1,6)内单调递减,在[6,10]上单调递增. ∴当x=6时,f(x)取得最小值f(6)=112, ∴当隔热层修建6 cm厚时,总费用最小,最小值为112万元. 规律方法　利润最大问题的求解策略 利用导数解决利润(收益)最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润(收益)的函数解析式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润(收益).常见的基本等量关系如下: (1)利润(收益)=收入-成本; (2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量. 解此类问题需注意两点:①价格要大于或等于成本,否则就会亏本;②销量要大于0,否则不会获利. 变式训练4经过市场调查,某小微企业计划生产一款小型电子产品.已知生产该产品需投入固定成本2万元,每生产x(x>0)万件,需另投入流动成本P(x)(单位:万元),当年产量小于9万件时, P(x)= x2+2x;当年产量不小于9万件时,P(x)=6x+ln x+ -22,每件产品售价为6元,假若该企业生产的电子产品当年能全部售完. (1)写出年利润Q(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)当年产量约为多少万件时,该企业的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(参考数据:e3≈20) 本节要点归纳 1.知识清单: (1)实际问题中导数的意义. (2)导数在几何中的应用. (3)导数在经济生活中的应用. 2.方法归纳:数学建模、数形结合. 3.常见误区:不能理清各个变量之间的关系,从而无法正确地建立函数模型. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1. [探究点三]已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A.3万件 B.1万件 C.2万件 D.7万件 C 解析 函数的定义域为(0,+∞),y'=-x2+4=-(x-2)(x+2), 由y'=0得x=2或x=-2(舍), 当x>2时,y'<0,当0<x<2时,y'>0, 即当x=2时,函数取得极大值,同时也是最大值, 即该生产厂家获取最大年利润的年产量为2万件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点一]某公司的盈利y(单位:元)和时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设f'(x)>0恒成立,且f'(10)=10,f'(20)=1,则这些数据说明第20天与第10天比较(　　) A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加,但增加的幅度变小 C.公司在亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利在增加,且增加的幅度变大 B 解析 因为f'(x)>0恒成立,f'(10)>f'(20)>0,所以公司的盈利在增加,且增加的幅度变小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. [探究点二(角度2)]将周长为4的矩形ABCD绕直线AB旋转一周所得圆柱体积最大时,线段AB长为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. [探究点三]某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一件产品,成本增加100元,若总收入R与月产量x(单位:件)的关系是 则当总利润最大时,每月生产产品的件数是(　　) A.150 B.200 C.250 D.300 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. [探究点三]电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为 ,为使耗电量最小,则其速度应定为　　　　.  40 解析由题设知y'=x2-39x-40(x>0), 令y'>0,解得x>40或x<-1, 故函数 在[40,+∞)内单调递增,在(0,40]上单调递减. ∴当x=40时,y取得最小值. 所以为使耗电量最小,则其速度应定为40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点三]某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件,生产过程中总成本w(x)(单位:万元)是关于x(单位:百件)的一次函数,且w(1)=57,w(10)=120.预计生产的产品能全部售完,且当年产量为x百件时,每百件产品的销售收入G(x)(单位:万元)满足 (1)写出该企业今年生产这种产品的利润F(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百件)的函数关系式; (2)当年产量为多少百件时,该企业在这种产品的生产中获利最大?最大利润是多少? (参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,ln 5≈1.61,ln 7≈1.95) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令F'(x)>0,解得0<x<7,F'(x)<0,解得x>7, 所以F(x)在(0,7)内单调递增,在(7,+∞)内单调递减, 所以当x=7时,有F(x)max=F(7)=20ln 7+12≈20×1.95+12=51. 答:当产量为7百件时,该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点二(角度1)·2024四川绵阳检测]剪纸是一种镂空艺术,是中国古老的民间艺术.如图,一张圆形纸片,直径AB=20 cm,需要剪去菱形EFGH,可以经过两次对折、沿EF裁剪、展开后得到.若CF=EF,要使镂空的菱形EFGH面积最大,试求菱形的边长EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 设圆心为O,由圆的性质可知,点A,E,O,G,B共线,点C,F,O,H,D共线. 由菱形性质可知,EG⊥FH,设OF=m,OE=n,又半径为10,则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(多选题)已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1 000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部 销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且 当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时,则有(　　) A.年产量为9 000件 B.年产量为10 000件 C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.现有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,甲地与乙地之间的距离约为500海里.运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船行驶的速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.为了使全程运输成本最低,轮船行驶速度应为(　　) A.25海里/时 B.35海里/时 C.20海里/时 D.30海里/时 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.某企业生产甲、乙两种产品,根据以往经验和市场调查,甲产品的利润与投入资金成正比,乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比,已知甲、乙产品分别投入资金4万元时,所获得利润(单位:万元)情况如下: 投入资金 甲产品利润 乙产品利润 4 1 2.5 该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品,那么可获得的最大利润(单位:万元)是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选题)声音是由物体振动产生的声波,可以用正弦函数描述.纯音的数学模型是函数y=Asin ωt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sin x+ sin 2x,则(　　) C.f(x)在[0,2π]上有3个零点 D.f(x)在[0,2π]上有3个极值点 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/时)的函数解析式可以表示为 且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以 　　　　　　　千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.  80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令f'(x)=0,得x=80, 当x∈(0,80)时,f'(x)<0,该函数单调递减; 当x∈(80,120]时,f'(x)>0,该函数单调递增, 所以当x=80时,f(x)取得最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)=-ln x,x∈(0,e).在曲线y=f(x)上某一点作切线与x轴和y轴分别交于A,B两点,设O为坐标原点,则△AOB面积的最大值为　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 一艘渔船在进行渔业作业的过程中,产生的主要费用有燃油费用和人工费用,已知渔船每小时的燃油费用与渔船速度的立方成正比,已知当渔船的速度为10海里/小时时,燃油费用是600元/小时,人工费用是4 050元/小时,记渔船的航行速度为v(单位:海里/小时),满足0<v≤30,记渔船航行一个小时的主要费用为q元(主要费用=燃油费+人工费),渔船每航行1海里产生的主要费用为p元. (1)用航行速度v(单位:海里/小时)表示出渔船航行1小时的主要费用q元; (2)用航行速度v(单位:海里/小时)表示出航行1海里产生的主要费用p元; (3)求航行1海里产生的主要费用p(单位:元)的最小值,及此时渔船的航行速度v(单位:海里/小时)的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 (1)设渔船每小时的燃油费用为y元,由题意可设y=kv3, 又当渔船的速度为10海里/小时时,燃油费用是600元/小时,得 600=1 000k,k=0.6,航行1小时的主要费用为q=0.6v3+4 050(0<v≤30). 故当v=15时,pmin=405, 即当航行速度为15海里/小时时,航行1海里产生的主要费用p有最小值405元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求a,b的值; (2)若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50万元,才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元? (参考数据:ln 10≈2.303,ln 5≈1.609) C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令φ'(x)=0,解得x=25或x=-50(舍去), 当10≤x<25时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增;当25<x≤40时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减, ∴φ(x)max=φ(25)=10ln 5+15≈10×1.609+15=31.09, ∴当甲、乙两种产品各投资25万元时,公司取得最大利润,最大利润为31.09万元. 解析 s(t)=t+t2,则s'(t)=v(t)=1+t, 当t=7时,v=8, 所以Ek=mv2=×5×82=160(J). A. s B.2 s C. s D. s 令y'=0,解得x=2±, ∵0<x<2,∴x=2-. ∵当0<x<2-时,y'>0,函数单调递增; 当2-<x<2时,y'<0,函数单调递减, ∴当x=2-时,矩形面积取到最大值ymax=. (参考数据:tan) 解 (1)在Rt△AOB中,因为AO=40,∠ABO=,所以BO=≈20, 所以PA=40-x,PB=PC=. ①当PA≥PB,即0<x≤5时,S=S(x)=40-x; ②当PA<PB,即5<x<40时,S=S(x)=, 从而S= 当0<x≤5时,Smin=S(5)=35, 当5<x<40时,S>S(5)=35. 综上所述,当x=5时,S取最小值为35. (2)在Rt△BPO中,BP=,PO=20tan α, 所以y=40+20(0<α<). 因为y'=20, 所以当0<α<时,y'<0;当<α<时,y'>0, 所以,当α=时,可使y最小. 解 (1)由PO1=2 m知,O1O=4PO1=8 m. ∵A1B1=AB=6 m, ∴正四棱锥P-A1B1C1D1的体积 V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3). 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3). ∴仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3). ∵在Rt△PO1B1中,O1+P=P, ∴()2+h2=36,即a2=2(36-h2). 于是仓库的容积V=V柱+V锥 =a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6, 从而V'=(36-3h2)=26(12-h2). 令V'=0,得h=2或h=-2(舍). 当0<h<2时,V'>0,V单调递增; 当2<h<6时,V'<0,V单调递减. 故当h=2时,V取得极大值,也是最大值. ∴当PO1=2 m时,仓库的容积最大. 解析 由题可知池底面积为=1 250,为定值,即池底维修费用为定值,则泳池维修费用由池壁维修费用决定. 又因为x表示较短池壁长,则0<x≤,解得0<x≤25,则池壁维修费用表达式为2×x+. 设f(x)=x+,0<x≤25,则f'(x)=, 令f'(x)=0,解得x=25,令f'(x)>0,解得25<x≤25,令f'(x)<0,解得0<x<25, 得f(x)在(0,25)内单调递减,在(25,25]上单调递增,即f(x)min=f(25). 所以当泳池维修费用最低时,x=25. 解 (1)每年能源消耗费用为C(x)=,建造费用为8x, ∴f(x)=32C(x)+8x=+8x(1≤x≤10). (2)f'(x)=8-,令f'(x)=0,解得x=6或x=-10(舍去). 解 (1)因为每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元, 由题意可得,当0<x<9时,Q(x)=6x-2-P(x)=6x-2-=-x2+4x-2; 当x≥9时,Q(x)=6x-2-P(x)=6x-2-=20-ln x-. 综上,Q(x)= (2)由(1)可知,当0<x<9时,Q(x)=-x2+4x-2=-(x-8)2+14≤14,当且仅当x=8时,等号成立, 当x≥9时,Q(x)=20-ln x-,则Q'(x)=-, 所以,当9≤x≤e3时,Q'(x)≥0,函数Q(x)单调递增; 当x>e3时,Q'(x)<0,函数Q(x)单调递减. 所以当x=e3时,Q(x)取得最大值Q(e3)=20-ln e3-=16. 综上,当x=e3≈20时,Q(x)取得最大值16万元, 即当年产量约为20万件时,该小微企业的这一产品所获年利润最大,最大年利润是16万元. y=-x3+4x+ A. B. C. D.1 R(x)= y=x3-x2-40x(x>0) y=x3-x2-40x(x>0) G(x)=-+4. 解 (1)设w(x)=kx+b, 由可得解得 所以w(x)=7x+50, 依题意得,F(x)=xG(x)-50-7x =x-50-7x =-+20ln x-3x+34(x>0). (2)由(1)得,F(x)=-+20ln x-3x+34,则F'(x)=-3==-, EF==CF=10-m, 即2m=10-n2,0<n<10, 故S菱形EFGH=4S△OEF=2OE·OF=2mn=-n3+10n, 令f(x)=-x3+10x,0<x<10, 则f'(x)=-x2+10,0<x<10, 由f'(x)>0,得0<x<; 由f'(x)<0,得<x<10, 故f(x)在内单调递增,在内单调递减, 所以当x=时,f(x)在(0,10)上取最大值,从而要使镂空的菱形EFGH面积最大,则n=. 由2m=10-n2可得,m=, 则此时EF=10-m=. 8.在用计算机进行的数学模拟实验中,一种应用微生物跑步参加化学反应,其物理速度f(t)与时间t的关系是f(t)=t+cos πt(0<t<),则(　　) A.f(t)有最小值 B.f(t)有最大值 C.f(t)有最小值 D.f(t)有最大值 R(x)= A. B. C. D. A.f(x)在[0,]上单调递增 B.f(x)的最大值为 解析当x∈[0,2π]时,f'(x)=cos x+cos 2x=2cos2x+cos x-1, 由f'(x)>0,得<cos x≤1或cos x<-1(舍), ∴0≤x<<x≤2π; 由f'(x)<0,得-1<cos x<, ∴<x<,∴函数f(x)在[0,],(,2π]上单调递增,在()内单调递减, ∴f(x)在[0,2π]上有2个极值点,故AD错误. ∵x=为函数f(x)的极大值点,x=为函数f(x)的极小值点, 且f(0)=0,f()=,f()=-,f(2π)=0, ∴f(x)max=f()=,故B正确. 由f(x)=sin x+sin 2x=0,得sin x+sin xcos x=0, ∴sin x=0或cos x=-1,当x∈[0,2π]时,x=0,x=π,x=2π,则f(x)在[0,2π]上有3个零点,故C正确. y=x3-x+8,x∈(0,120] 解析当速度为x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为f(x)升, 依题意得f(x)=(x3-x+8)·x2+(0<x≤120). 则f'(x)=(0<x≤120). 　 (2)p=(0<v≤30). (3)p=(0<v≤30),则p'=. 由p'>0,解得15<v<30,由p'<0,解得0<v<15, 可得函数p=在(0,15)内单调递减,在(15,30]上单调递增, 16.某工厂计划投入一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成本利润f(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:f(x)=-b(a,b为常数,a,b∈R);乙产品的平均成本利润g(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:g(x)=.已知当投资甲产品为1万元,10万元时,获得的利润分别为5万元,16.515万元. 解 (1)由题意知 整理得解得 (2)设甲产品投资x万元,乙产品投资(50-x)万元,且x∈[10,40], 则该公司获得的利润φ(x)=x+(50-x)·=5ln x+5+2,x∈[10,40], 则φ'(x)=. $$