第02讲 二次函数的图象和性质（3个知识点+6种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第02讲 二次函数的图象和性质（3个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型强化 题型一．二次函数的图象 1．（2024•安徽模拟）二次函数与一次函数，是常数，且在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 2．（2021秋•大观区校级期中）如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①，②，③的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　　（填序号） 3．（花山区校级模拟）阅读以下材料： 定义：对于三个数、、，用，，表示这三个数中的最大数． 例如：①，2，； ②，2， 根据以上材料，解决下列问题： （1）如果，，，求的取值范围； （2）在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，的图象（不需列表），通过观察图象，填空：，，的最小值为 　　． 题型二．二次函数的性质 4．（2023秋•杜集区校级月考）已知二次函数的图象开口向下，则的值是 　　． 5．（2024•砀山县二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是　　 A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 6．（2023秋•蜀山区校级期中）阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“问真二次函数”． 　 　； （2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求的值． 题型三．待定系数法求二次函数解析式 7．（2022秋•蚌山区校级月考）已知抛物线的顶点坐标是，且与轴交于点，这个抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 8．（2021秋•全椒县期中）顶点是，开口方向、大小与完全相同的抛物线解析式为 　　． 9．（2023秋•临泉县期末）抛物线的图象如图所示，其中点为顶点． （1）写出点，的坐标； （2）求出抛物线的解析式． 题型四、把y=ax²+bx+c化成顶点式 10．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）抛物线上的点到x轴的最短距离为（     ） A． B．1 C． D．2 11．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 12．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 题型五、画y=ax²+bx+c的图象 13．（九年级·安徽马鞍山·阶段练习）函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数．    (1)用配方法求函数图象点坐标、对称轴： (2)在所给平面直角坐标系中画出此函数的图象（需列表）． 题型六、y=ax²+bx+c的最值 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 17．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，直线：经过定点．    (1)求和的值及点的坐标； (2)如图，当时，位于直线上方的抛物线上有一点，过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)如图，连接并延长，将射线绕点顺时针旋转后，与抛物线相交于点，求点的坐标． 分层练习 一、单选题 1．（2024·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（      ）    A． B． C． D． 6．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．4 8．（2024·安徽淮北·三模）如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知多项式，下列说法正确的个数为（    ） 若，则代数式的值为；当时，代数式的最小值为；当时，若，则的取值范围是． A．个 B．个 C．个 D．个 10．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ； 12．（20-21九年级上·安徽芜湖·期中）若二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下，则m的值为 ． 13．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 . 14．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标． 16．（21-22九年级上·安徽亳州·期末）已知二次函数中，x与y的部分对应值如下表所示： x … －4 －3 －1 0 … y … m 0 0 －3 … (1)表中的m＝______； (2)求此二次函数的最大值． 17．（20-21九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数y=x2+4x-5． （1）求该函数图象的顶点坐标． （2）求此抛物线与轴的交点坐标． 18．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线 经过（0，3），当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若点A（m，n）是抛物线上的一点，设，求s的最小值． 19．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 20．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 21．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并用描点法画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 y … (2)观察图象，直接写出当时，y的取值范围为 ． 22．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)直接写出直线的函数表达式为：______； (2)是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标． 23．（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． (1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； (2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b； (3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比． 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在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型强化 题型一．二次函数的图象 1．（2024•安徽模拟）二次函数与一次函数，是常数，且在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：二次函数， 对称轴为直线，故，不符合题意； 当时，，， 二次函数与一次函数交于轴上的点，故不符合题意，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，是解题的关键． 2．（2021秋•大观区校级期中）如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①，②，③的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　①③②　（填序号） 【分析】抛物线的形状与有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【解答】解：①， ②， ③中，二次项系数分别为、、， ， 抛物线②的开口最宽，抛物线①的开口最窄． 故答案为：①③②． 【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄；越小，抛物线的开口越宽． 3．（花山区校级模拟）阅读以下材料： 定义：对于三个数、、，用，，表示这三个数中的最大数． 例如：①，2，； ②，2， 根据以上材料，解决下列问题： （1）如果，，，求的取值范围； （2）在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，的图象（不需列表），通过观察图象，填空：，，的最小值为 　　． 【分析】（1）根据材料提供的方法得到 解之即可求得的取值范围； （2）作出函数的图象后在坐标系中找到最低的即可确定最小值． 【解答】解：（1）由题意知， 解之得，所以的取值范围是； （2）函数图象如图所示 由图象可知：三个函数当取相同的值时有最小值是， 故，，的最小值为． 【点评】本题考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是读懂题目提供的题目结合一次函数和二次函数的知识求解． 题型二．二次函数的性质 4．（2023秋•杜集区校级月考）已知二次函数的图象开口向下，则的值是 　　． 【分析】利用二次函数的定义得，由图象开口向下得，进而求出． 【解答】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的定义和性质，难度不大． 5．（2024•砀山县二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是　　 A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【分析】根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【解答】解：因为二次函数的表达式为， 所以抛物线的开口向上． 故说法正确； 又抛物线的对称轴是直线， 故说法正确； 因为抛物线的顶点坐标为， 故说法正确； 因为抛物线对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，随的增大而减小． 故说法不正确； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 6．（2023秋•蜀山区校级期中）阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“问真二次函数”． 　 （答案不唯一）　； （2）已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求的值． 【分析】（1）先将配方求出顶点坐标，然后根据题干中“同倍二次函数”定义求解． （2）由二次函数的顶点为，二次函数的顶点坐标为，，根据“问真二次函数”定义可得，解关于的方程即可． 【解答】解：（1）， 图象顶点坐标为， 二次函数的一个“问真二次函数”可以是， 故答案为：． （2）二次函数的顶点为， 二次函数的顶点坐标为，， 函数恰是的“问真二次函数”， ， 解得． ， ，符合题意， ． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解． 题型三．待定系数法求二次函数解析式 7．（2022秋•蚌山区校级月考）已知抛物线的顶点坐标是，且与轴交于点，这个抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则设抛物线的顶点式为，再把代入可计算出的值即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得，． 所以，这条抛物线的解析式为：． 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是根据所给点的特征选择适当的方法． 8．（2021秋•全椒县期中）顶点是，开口方向、大小与完全相同的抛物线解析式为 　　． 【分析】设二次函数的解析式为，根据顶点是，即可求得、的值，与抛物线的开口方向及大小相同，即可确定的值，即可得到抛物线的解析式． 【解答】解：设二次函数的解析式为， 抛物线顶点是， ，， 抛物线开口方向、大小与完全相同， ， 抛物线解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 9．（2023秋•临泉县期末）抛物线的图象如图所示，其中点为顶点． （1）写出点，的坐标； （2）求出抛物线的解析式． 【分析】（1）观察图象即可写出点，的坐标； （2）利用待定系数法即可求解． 【解答】解：（1）观察图象可知，，； （2）为顶点，， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， 抛物线的解析式为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，属于中考常考题型． 题型四、把y=ax²+bx+c化成顶点式 10．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）抛物线上的点到x轴的最短距离为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．把抛物线解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线有最低点， ∴抛物线上的点到x轴的最短距离为2． 故选：D． 11．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 12．（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊三角形问题； （1）将点代入解析式得出，进而化为顶点式，即可求解； （2）①根据解析式，得出抛物线与轴的交点的坐标为，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，根据建立方程，即可求解． ②由①得点的坐标为，点的坐标为．勾股定理分别求得，根据为直角三角形，分类讨论，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， ， 顶点的坐标为． （2）①当时，， 抛物线与轴的交点的坐标为． 如图所示，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点， 设直线的表达式为， 把，代入 得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， ， ， 解得； ②由①得点的坐标为，点的坐标为． ， ，， 为直角三角形， 分以下几种情况： 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得，此方程无实数解； 综上，点的坐标为或． 题型五、画y=ax²+bx+c的图象 13．（九年级·安徽马鞍山·阶段练习）函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可． 【详解】函数的二次项系数为-1，所以开口向下，抛物线与y轴的交点为（0，1）. 符合条件的图象是B． 故选B． 【点睛】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键． 14．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 【答案】 /0.5 【分析】（1）根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可； （2）根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点关于对称轴的对称点，分析图象，写出的取值范围即可． 【详解】（1）二次函数， 函数经过和，是对称点， 对称轴为直线， 故答案为： （2）二次函数， 二次项系数为， 函数图象开口向上， 又和在此函数的图象上，对称轴为直线， 画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标， ， 点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、）， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键． 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数．    (1)用配方法求函数图象点坐标、对称轴： (2)在所给平面直角坐标系中画出此函数的图象（需列表）． 【答案】(1)该函数图象的顶点坐标为，对称轴是直线 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、图象特征及用描点法画二次函数的图象． （1）先用配方法将该二次函数化为的形式，二次函数的对称轴为，顶点坐标为． （2）用描点法画函数图象，取点时先取顶点，再以对称轴为轴取几对对称点，再描点即可． 熟练掌握二次函数图象的画法及二次函数图像的特征是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴该函数图像的顶点坐标为，对称轴是直线． （2）列表格如下： x … 0 1 2 3 4 … y … … 如图为二次函数的图象.    题型六、y=ax²+bx+c的最值 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数的最值．根据题意得出，根据得出，进而将化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 当时，或， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的最大值为， 故选：A． 17．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质，求二次函数解析式； （1）把代入计算即可； （2）对称轴为，根据且A、B两点在该抛物线对称轴同侧可得或，再结合时，求解即可． 【详解】（1）把代入得， 解得， 故答案为：； （2）∵ ∴抛物线对称轴为， ∵A、B两点在该抛物线对称轴同侧， ∴或， 当时，当时随的增大而增大， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，当时随的增大而减小， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，直线：经过定点．    (1)求和的值及点的坐标； (2)如图，当时，位于直线上方的抛物线上有一点，过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)如图，连接并延长，将射线绕点顺时针旋转后，与抛物线相交于点，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，由，即可求解； （）由，即可求解； （）证明，则且，求取，进而求解． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， 则， 则， 则， 则抛物线的表达式为：， ∵， 则点； （2）当时，直线的表达式为：，如题干图， 设点，则点， 则， 故的最大值为； （3）过点作于点， ∵，则为等腰直角三角形， 则， 过点作轴的垂线交轴于点，交点和轴的平行线于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 则且， 即且， 解得：， 即点， 设直线的表达式为， 由点的坐标得，， 解得：， ∴直线的表达式为：， 将上式和抛物线的表达式联立得：， 解得：（舍去）或， 则． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．（2024·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：A、函数在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； B、函数中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； C、函数中，y的值随x值的增大而增大，符合题意； D、函数中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性和对称性求解，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，在处有最大值， 到的距离为，到的距离为， ， 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出、、的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数开口向下，对称轴在轴右侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与轴交点在轴上方， 满足上述条件的函数图象只有选项B． 故选：B． 4．（2024·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴为直线，故B，D不符合题意； ∵当时，，， ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意． 故选：A． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，，，点E是线段的三等分点（），动点F从点D出发向终点E运动，以为边作等边，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，过作，垂足为H，利用勾股定理求出和，设，求出和，利用表示出阴影部分的面积，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过作，垂足为H，    ∵，，点E是线段的三等分点（）， ∴，， ∴， 设，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ 令，则， ∴， 则， 当时，最小，且为， 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积，利用二次函数的性质求解． 6．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质． 由根的判别式结合k为非负数得到，由一元二次方程根与系数的关系得到，，将展开变形得到，代入后得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知，此方程有两个非负实数根， ∴，解得或， ∵k为非负实数， ∴． ∵方程的两实数根为a，b， ∴，， ∴ ， ∵当时，随k的增大而增大， 又， ∴当时，有最小值，为， ∴的最小值为2． 故选：C 8．（2024·安徽淮北·三模）如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，作于点M，则，证明四边形是矩形，四边形是矩形，，，则，设，则，，，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：作于点M，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点E始终为边的中点， ∴， 设，则，， ∴， 当时，最小，此时． 故选：B 9．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）已知多项式，下列说法正确的个数为（    ） 若，则代数式的值为；当时，代数式的最小值为；当时，若，则的取值范围是． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．①根据题意求出的值，代入即可判断；②当当时，代数式的解析式是一次函数，故可判断；③根据绝对值的意义以及二次函数的性质求出取值范围即可． 【详解】解：①：， 解得或 ，故①错误； 当时， 没有最小值，故②错误； 当时， 令 有最大值 当时， 解得 的解集为 即当，则的取值范围是，故③错误； 故选A． 10．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象判断系数的符号及式子的符号，注意数形结合．由抛物线开口方向、图象与y轴交点位置、对称轴位置可确定a、c、b的符号，从而可判断①；由抛物线的对称轴可判断②；由二次函数的最小值可判断③；由时的函数值可判断④；由抛物线的对称性判断⑤；由此可确定答案． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向上，则；图象与y轴交于y轴负半轴，则；对称轴为直线，即，则，故①正确； 由，得，故②错误； 由于二次函数当时取得最小值，则对于任意实数m，，故有，故③正确； 由图象知，时的函数值与时的函数值相等，所以当时，，故④正确； 由于，且，即，表明自变量取时，二次函数的函数值相等，由抛物线的对称性得：，即，故⑤正确；因此正确的有①③④⑤三个． 故选：C． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽宣城·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 12．（20-21九年级上·安徽芜湖·期中）若二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下，则m的值为 ． 【答案】-2 【分析】直接利用二次函数的定义以及其性质得出m的值． 【详解】解：∵二次函数y＝(m+1)x|m|的图象的开口向下， ∴|m|＝2，且m+1＜0， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键． 13．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 . 【答案】0或7/7或0 【分析】先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分h＜2，和h＞5三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若h＜2，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若h＞5，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为0或7， 故答案为：0或7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 14．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)坐标为 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）先将二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数平移的法则进行解答即可． 【详解】（1）， 故顶点坐标为， 函数的对称轴为，且开口向下， 故当时，随的增大而减小； 故答案为； （2）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 令，解得， 新拋物线与轴的交点坐标为． 16．（21-22九年级上·安徽亳州·期末）已知二次函数中，x与y的部分对应值如下表所示： x … －4 －3 －1 0 … y … m 0 0 －3 … (1)表中的m＝______； (2)求此二次函数的最大值． 【答案】(1)-3 (2)1 【分析】（1）根据抛物线关于对称轴对称的点坐标特征，先求出对称轴，则（-4，m）和（0，-3）是对称点，得m=-3； （2）先根据待定系数法求出抛物线的解析式，再将x=-2，代入解析式求出最大值． 【详解】（1）解：∵（-3,0）和（-1,0）关于对称轴对称， ∴对称轴 ∴（-4，m）和（0，-3）是对称点 ∴m=-3 故答案为：m=-3 （2）解：将x=-3，y=0；x=-1，y=0；x=0，y=-3代入得： 解得 ∴ 对称轴 ∵a=-1<0 ∴当x=-2时， 【点睛】本题考查了二次函数的对称点的特征，及函数的最值，熟记二次函数的性质是解题的关键． 17．（20-21九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数y=x2+4x-5． （1）求该函数图象的顶点坐标． （2）求此抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）顶点坐标（-2，-9）；（2）（1，0）、（-5，0） 【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）令y=0，解方程，即可求出抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：（1）∵y=x2+4x-5=（x-2）2-9， ∴顶点坐标为（-2，-9）； （2）令y=0，则x2+4x-5=0， 解得x=1，x=-5． 所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（-5，0）． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点及二次函数的三种形式，都是二次函数的基础知识，要求学生熟练掌握． 18．（21-22九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线 经过（0，3），当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等． （1）求二次函数的解析式； （2）若点A（m，n）是抛物线上的一点，设，求s的最小值． 【答案】（1）；（2）9． 【分析】（1）由题意可知该二次函数的对称轴为，又根据该二次函数对称轴为，即可求出a的值．再由该二次函数图象经过点(0，3)，即可求出c的值，则可得出二次函数解析式． （2）由点A在抛物线上，可得出，即可求出再结合即得出s的最小值． 【详解】（1）∵x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等． ∴该二次函数的对称轴为． 又∵二次函数的对称轴为 ∴， 解得：． 故该二次函数解析式为， 整理得：． ∵该二次函数图象经过点(0，3)． ∴， 故该二次函数解析式为：． （2）∵点A在抛物线上， ∴ ∴且 由二次函数的性质可得： 当时，函数值最小，最小值为： ∴的最小值为9． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式及求二次函数的最值是解答本题的关键． 19．（2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数最值，二次函数在线段长的应用； （1）由抛物线的解析式可求，将其代入直线的解析式得，由直线解析式可求，将、的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求解； （2）由可求得，由在抛物线上得，即可求解；②将化成顶点式即可求解． 掌握待定系数法，会求二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ， ， ， 当时， ， ， ， 解得：， ； （2）解：①由题意得 ， 点是抛物线上的一个动点， ， ； ② ， ． 20．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论； （3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小 ∴二次函数 的最大值是15，即 解得， ∵， ∴， ∴； （3）∵在抛物线上， ∵， 当 时，m的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键． 21．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数． (1)补全表格，并用描点法画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 y … (2)观察图象，直接写出当时，y的取值范围为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了函数图象的知识，熟练掌握描点法绘制函数图象是解题关键． （1）完成表格，用描点法画出函数图象即可； （2）结合函数图象，即可获得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 表格如下， …… 0 1 2 3 …… …… 0 3 4 3 0 …… 根据列表，画出这个二次函数的图象如下图： （2）由函数图象可知，当时，的取值范围为． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)直接写出直线的函数表达式为：______； (2)是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据二次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （）设点的横坐标，则点的坐标为，把点的纵坐标代入抛物线的解析式，求出点的横坐标，再根据列出方程，解方程即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，掌握二次函数与一次函数的交点坐标的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，， 解得，， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：设点的横坐标，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，， ∵点在点的右侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∵，轴， ∴， 整理得，， ∴， 解得（不符，舍去），， ∴点的横坐标． 23．（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． (1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； (2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b； (3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得左端点，，得到右端点，垂足点，顶点或，设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，确定的值即可． （2）根据题意，得，解得，且抛物线以原点为左端点，得左端点，，得到右端点，垂足点，根据抛物线，得顶点，设抛物线解析式为，点 代入解析式，计算即可． （3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G，根据题意，设左端点，右端点，垂足点，顶点，设抛物线解析式为，抛物线解析式为，设，则，计算解答即可． 【详解】（1）根据题意，得左端点，，右端点，垂足点，顶点或， 设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，∴或， 解得或， 故抛物线解析式为或． （2）根据题意，得， 解得， ∵抛物线以原点为左端点， ∴左端点，，右端点，垂足点， ∵抛物线， ∴顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故． （3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G， 根据题意，设左端点，右端点，垂足点， ∵抛物线， ∴顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， 设，则， 则，， ∴ 整理，得， 解得， 故或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式的确定，新定义抛物线，熟练掌握待定系数法，正确理解新定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$