第02讲 比例线段（3个知识点+3种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第02讲 比例线段（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 题型强化 题型一．比例的性质 1．已知，那么的值为　　 A． B． C． D． 2．已知，且，则　　． 3．阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ．（第二步） （1）回答下列问题： ①第一步运用了 　等式　的基本性质， ②第二步的解题过程运用了 　　的方法， 由得利用了 　　的基本性质． （2）模仿材料解题： 已知，求的值． 题型二．比例线段 4．下列说法正确的是　　 A．等边三角形只有一条对称轴 B．若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形 C．等腰三角形的一个底角为，则顶角为 D．两直线平行，同旁内角相等 5．如果2，3，6与能组成比例，那么的值可以是　　（只要写出一个数）． 6．求比例中的的值． 题型三．黄金分割 7．黄金比是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，是介于整数和之间，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则　　． 9．若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在中，，在边上，且． （1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明； （2）若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图2，试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 分层练习 一、单选题 1．在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（　　） A． B． C． D． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 4．已知线段，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知点P在线段上，满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知，那么 ． 8．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 . 9．如果，那么 ． 10．如果（其中且），则 ． 11．如果线段c是a、b的比例中项，且，，则 ． 12．已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ． 13．已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 14．已知点P是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ． 15．线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为 ． 16．若，则 ． 17．已知线段cm，点是的黄金分割点，且那么线段的长为 ． 18．已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为 ． 三、解答题 19．两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？ 20．若，求的值． 21．已知，，求的值． 22．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 23．已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 24．已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段． 25．作黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB． ②连接DA，在DA上截取DE=DB． ③在AB上截取AC=AE则点C为线段AB的黄金分割点． 26．如图，点、分别在的边、上，. （1）若，，求； （2）若，，求.（用，表示） 27．梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心． （1）求证：G1G2//AD； （2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 比例线段（3个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 题型强化 题型一．比例的性质 1．已知，那么的值为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用已知得出，进而代入化简得出答案． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数代入化简是解题关键． 2．已知，且，则　　． 【分析】设比值为，然后用表示出、、，再代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：设， 则，，， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，利用“设法”，用表示出、、进行计算更加简单． 3．阅读材料： 已知，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ．（第二步） （1）回答下列问题： ①第一步运用了 　等式　的基本性质， ②第二步的解题过程运用了 　　的方法， 由得利用了 　　的基本性质． （2）模仿材料解题： 已知，求的值． 【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答； （2）仿照例题的思路，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质， ②第二步的解题过程运用了代入消元的方法， 由得利用了分式的基本性质， 故答案为：等式，代入消元，分式； （2）， 设，，， ． 【点评】本题考查了比例的性质，理解例题的思路是解题的关键． 题型二．比例线段 4．下列说法正确的是　　 A．等边三角形只有一条对称轴 B．若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形 C．等腰三角形的一个底角为，则顶角为 D．两直线平行，同旁内角相等 【分析】根据轴对称的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质和平行线的性质对各选项分析判断即可． 【解答】解：．等边三角形有3条对称轴，故此选项不合题意； ．若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形，故此选项符合题意； ．等腰三角形的一个底角为，则顶角为，故此选项不合题意； ．两直线平行，同旁内角互补，故此选项不合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了轴对称的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质和平行线的性质，正确掌握相关图形的性质是解题关键． 5．如果2，3，6与能组成比例，那么的值可以是　9或1或4　（只要写出一个数）． 【分析】由2，3，6与能组成比例，分别从若2，3，6，成比例，若，2，3，6成比例，若2，，3，6成比例，若2，3，，6成比例去分析，根据比例线段的定义，即可求得答案． 【解答】解：若2，3，6，成比例，则，解得：； 若，2，3，6成比例，则，解得：； 若2，，3，6成比例，则，解得：； 若2，3，，6成比例，则，解得：； 的值可以是9或1或4． 故答案为：9或1或4（只要写出一个数）． 【点评】此题考查了比例线段的定义．此题难度不大，解题的关键是掌握比例线段的定义的应用，注意分类讨论思想的应用． 6．求比例中的的值． 【分析】利用两内项之积等于两外项之积将比例式转化为等积式，解方程即可求得的值． 【解答】解：，（4分） ，（2分） ．（2分） 【点评】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解． 题型三．黄金分割 7．黄金比是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，是介于整数和之间，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据，判断出的值即可． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查黄金分割，估算无理数的大小等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则　　． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ． 故本题答案为：． 【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值． 9．若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在中，，在边上，且． （1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明； （2）若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图2，试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和黄金三角形的定义即可得出结论； （2）证明，得出，借助已知利用线段的和差可得． 【解答】解：（1）和都是黄金三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 和都是黄金三角形； （2），理由如下； 由（1）知，，， 是的平分线， 在和中 ， ， 即， 又，， ， 又， ， 即． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、黄金三角形的定义、全等三角形的判定与性质等知识；掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．在比例尺为的地图上测得A、B两地间的图上距离为，则A、B两地间的实际距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查比例尺，根据：由比例尺 ，即可计算． 【详解】解：， 故选：C． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】若线段a，b，c，d，满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴A不符合题意； ∵， ∴B不符合题意； ∵， ∴C不符合题意； ∵， ∴D符合题意； 故选D． 4．已知线段，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了比例的性质，直接利用已知进而表示出a，b，c，进而代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴设，，， ， 故选：D． 5．已知点P在线段上，满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比． 【详解】解：∵点P在线段上，满足， ∴点P把线段分割成和两段，是和的比例中项， ∴根据线段黄金分割的定义得：． 故选：A． 【点睛】考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 6．已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【详解】解：令，，则， 可变形为， 整理，得， ， 解得， 边长为正数， ，， 即，， ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 二、填空题 7．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 设，则， ， 故答案为：． 8．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 . 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 故答案为： 9．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，先由条件可得，再整体代入计算即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 10．如果（其中且），则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例的变形．先将转化为，再根据比例的基本性质，可求得的值． 【详解】解：（其中且）， ， ， 故答案为：． 11．如果线段c是a、b的比例中项，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义，列式计算即可． 本题考查了比例中项即，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 12．已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， ． 故答案为：8． 13．已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段 的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， ∴ 故答案为：． 14．已知点P是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义列方程是解题的关键． 【详解】解：设长为x，则长为， 列方程得：， 解得：，（舍去） ∴长为， 故答案为：． 15．线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根据题意设的长可以得出，利用给定的关系式可列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设，则， 根据得代入得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 16．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的性质，比的性质，求代数式的值，根据分式的性质变形是关键．根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 17．已知线段cm，点是的黄金分割点，且那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，根据黄金比值是，列式计算即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， 故答案为：． 18．已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点，线段成比例的计算，公式法解一元二次方程，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设，则， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 19．两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？ 【答案】 【分析】根据比例尺的定义，求图上距离与实际距离的比即可． 【详解】两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为， 这幅地图的比例尺为：2:200000=1:100000． 【点睛】本题考查了成比例线段，解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要一致． 20．若，求的值． 【答案】6或 【分析】分两种情况：当时，当时，分别求出m的值即可． 【详解】解：当时， 根据比例的等比性可得： ； 当时，可得， ∴． 【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论． 21．已知，，求的值． 【答案】26 【分析】设，则，再代入可求出k，从而可得a，b，c的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，代数式的求值，方程思想的应用，熟练的利用比例的基本性质进行解题是关键． 22．已知：线段，且． (1)求的值； (2)如果线段，满足，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）首先设，则，，，利用求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）设， 则，，， ， ， ， ，，． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键． 23．已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 【答案】或 【分析】分三种情况：当点在线段上，当点在线段的延长线时，当点在线段的延长线时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分三种情况： 当点在线段上，如图： ， 点是的黄金分割点， ； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 原方程没有实数根； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去， 的长为； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键． 24．已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段． 【答案】cm、cm、cm 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论． 【详解】解：设这条线段长xcm， ①若四条线段的长度大小为：x，1，，2时，，解得：； ②若四条线段的长度大小为： 1，x，，2时，，解得：； ③若四条线段的长度大小为： 1，，x，2时，，解得：； ④若四条线段的长度大小为： 1，，2 ，x时，，解得：； 综上所述，线段长度为cm、cm或cm． 【点睛】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键． 25．作黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： ①经过点B作BD⊥AB，使BD=AB． ②连接DA，在DA上截取DE=DB． ③在AB上截取AC=AE则点C为线段AB的黄金分割点． 【答案】见解析 【详解】 26．如图，点、分别在的边、上，. （1）若，，求； （2）若，，求.（用，表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先设，然后根据三角形的性质同高的三角形面积比等于底的比，和三角形平行线定理得出，列出分式方程，解得即可； （2）首先设，由（1）中的面积比等式列出等式，求出，然后即可求出. 【详解】（1）设， 根据题意可得，， ， ， ，， ， 解得：（舍），， ； （2）由（1）知. 设， ∵，， ， 解得， . 【点睛】此题主要考查三角形平行线的性质，解题关键是根据比例关系列出等式. 27．梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心． （1）求证：G1G2//AD； （2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF．易得EF为的中位线，故EF//AD，根据重心的性质可得，即//，即可得证； （2）根据点P为黄金分割点，可得，再根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF． 因为、为三角形AOB和三角形COD的重心， 所以点E、F为AO、DO的中点， 所以EF为的中位线， 所以EF//AD， 又因为， 所以//， 所以//． （2） 因为点P为黄金分割点， 所以， 又因为RQ是中位线， 所以RQ//BC，， 因为AD//PQ， 所以， 所以． 【点睛】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$