精品解析：天津市红桥区2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时.务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一批热水器共有98台，其中甲厂生产有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（　　） A. 9，5 B. 8，6 C. 10，4 D. 7，7 2 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 幸福感指数是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为6，6，7，7，8，8，8，9，9，10，则这组数据的80%分位数是（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ） A. 这五个社团的总人数为100 B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C. 这五个社团总人数占该校学生人数的8% D. 从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50% 6. 甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为，，则两人中至少有一人通过的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 8. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（　） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 9. 已知随机变量的分布列为： 设，则的数学期望的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 一组数据1，3，5，7，9的中位数为_____________． 11. 在的展开式中，的系数是_____________． 12. 若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为_____________． 13. 已知，则_____________． 14. 在展开式中常数项等于___ 15. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有_____________种． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文宇说明、证明过程或演算步骤. 16. 某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） 用表中字母列举出所有可能的结果 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率. 17. 设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个. （1）若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率； （2）若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为，求随机变量的概率分布列及数学期望值. 18. 用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ （1）奇数都排在一起； （2）偶数不相邻； （3）三个偶数从左到右按从小到大顺序排列． 19. 当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活.一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中随机抽取n名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图： 组数 分组（单位：岁） 频数 频率 1 5 005 2 20 0.20 3 a 0.35 4 30 b 5 10 0.10 合计 n 1.00 （1）求出表中a，b，n的值，并补全频率分布直方图； （2）媒体记者为了做好调查工作，决定在第2，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查，再从这6名1民中随机抽取2名接受电视采访，求第2组至少有一名接受电视采访的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时.务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽取一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽取的热水器的台数是（　　） A 9，5 B. 8，6 C. 10，4 D. 7，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的公式得到甲厂生产的热水器的台数是×14＝8，乙厂生产的热水器的台数是×14＝6. 【详解】抽得甲厂生产的热水器的台数是×14＝8，抽得乙厂生产的热水器的台数是×14＝6. 故答案为B. 【点睛】这个题目考查了分层抽抽样的定义以及利用分层抽样的概念得到结果；是基础题. 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】由条件概率公式得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题. 3. 幸福感指数是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为6，6，7，7，8，8，8，9，9，10，则这组数据的80%分位数是（ ） A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及百分位数的定义，先计算这组数据的80%分位数的位置，进而即可求解这组数据的80%分位数. 【详解】解：∵， ∴数据6，6，7，7，8，8，8，9，9，10的80%分位数为. 故选：C. 4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量. 【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为. 故选：D. 5. 某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ） A. 这五个社团的总人数为100 B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C. 这五个社团总人数占该校学生人数的8% D. 从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50% 【答案】B 【解析】 【分析】根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项． 【详解】这五个社团的总人数为，．A错误，C错误． 因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为 ，B正确．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误． 故选：B． 6. 甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为，，则两人中至少有一人通过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解即得. 【详解】依题意，两人中至少有一人通过的概率为. 故选：A 7. 已知的展开式中各项的二项式系数和为32，则展开式中常数项为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据各项二项式系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. 【详解】由题意得，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以， 故选：B 8. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（　） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】从4个人中选2个作为一个元素，再将它与其他两个元素在一起进行排列，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种分组方法，即1，1，2， 首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列， 共有C42A33＝36种结果， 故选C． 【点睛】本题考查分步计数原理的应用分组分配问题，注意此类问题一般要首先分组，再进行排列，属于基础题. 9. 已知随机变量的分布列为： 设，则的数学期望的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质可求出，再根据期望公式即可求出随机变量的数学期望，最后根据，即可求出随机变量的数学期望. 【详解】根据分布列的性质，得，解得， 所以随机变量的数学期望为．又， 所以随机变量的数学期望为． 故选：C. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 一组数据1，3，5，7，9的中位数为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根中位数定义，即可求解. 【详解】根据中位数定义，可知，一组数据1，3，5，7，9的中位数为5. 故答案为：5 11. 在的展开式中，的系数是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：. 12. 若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解. 【详解】由题意可知：恰好有两次击中目标的概率为. 故答案为：. 13. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，即可求解. 【详解】令，得， 令，得， 所以. 故答案为： 14. 在的展开式中常数项等于___ 【答案】9 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项． 【详解】二项式的展开式的通项为， ∴中的常数项为． 故答案为9． 【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况． 15. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有_____________种． 【答案】50 【解析】 【分析】分甲选龙和甲不选龙两种情况，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有10种方法， 第二种情况是甲选牛或羊，甲有2种方法，乙也有2种方法，那么丙有10种方法，则共有种方法， 所以共有种方法. 故答案为：50 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文宇说明、证明过程或演算步骤. 16. 某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） 用表中字母列举出所有可能的结果 设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率. 【答案】(1)15,(2) 【解析】 【详解】试题分析：(1)列举事件，关键是按一定顺序，做到不重不漏.从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为 {A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.(2) 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，其事件包含{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件发生的概率 试题解析：解（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件发生的概率 考点：古典概型概率 17. 设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个. （1）若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率； （2）若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为，求随机变量的概率分布列及数学期望值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率公式求解即可； （2）随机变量的可能取值并求出每个值的概率即可求解 【小问1详解】 记“甲从中一次性摸出2个球，两个球颜色不相同”为事件， 甲从中一次性摸出2个球共有种， 两个球颜色不相同有种， 所以； 【小问2详解】 随机变量的可能取值为， 且，， ，， 所以随机变量的概率分布列为 18. 用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ （1）奇数都排在一起； （2）偶数不相邻； （3）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列． 【答案】（1）576 （2）1440 （3）840 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法，先将奇数看成一个整体，再与其他元素一起排列； （2）利用插空法，先排奇数，再让偶数插空，； （3）按照偶数顺序一定问题，先让偶数占位，再排奇数. 【小问1详解】 ①先将4个奇数排好，有种排法， ②将四个数字看成一个整体，与其他3个数字全排列，有种排法， 则有个； 【小问2详解】 ①先将4个奇数排好，有种排法， ②排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排3个偶数，有种排法， 则有； 【小问3详解】 ①在7个数位中任选3个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列， 有种排法， ②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上，有种排法， 则有个． 19. 当今，手机已经成为人们不可或缺交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活.一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中随机抽取n名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图： 组数 分组（单位：岁） 频数 频率 1 5 0.05 2 20 0.20 3 a 035 4 30 b 5 10 0.10 合计 n 1.00 （1）求出表中a，b，n的值，并补全频率分布直方图； （2）媒体记者为了做好调查工作，决定在第2，4，5组中用分层抽样方法抽取6名市民进行问卷调查，再从这6名1民中随机抽取2名接受电视采访，求第2组至少有一名接受电视采访的概率. 【答案】（1），，，直方图见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表中频数和频率的比例关系，即可求解得到a，b，n； （2）分别求出第2，4，5组中用分层抽样的方法得到的人数，利用古典概型计算即得解. 【详解】（1）由题意及频率分布表可知：， 所以，. 补全频率分布直方图，如图所示. （2）第2，4，5组总人数为， 故第2组应抽人数为，记为1，2， 第4组应抽人数为，记为a，b，c， 第5组应抽人数为，记为m. 从这6名市民中随机抽取两名的所有的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，，共15个， 符合条件第2组至少有一名接受电视采访的基本事件有9个， 故第2组至少有一名接受电视采访概率. 【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了频率分布表，频率分布直方图，分层抽样，古典概型等知识点，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $