精品解析：广西“飞天”校际2024-2025学年高三上学期7月考试数学试题

2024年7月“飞天”高三年级考试 数学 姓名______ 考号______ 注意事项： 1.本杯即原飞机杯 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应答案的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的4个选项中只有一项符合题意. 1. 复数z满足：，则（ ） A 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用可得答案. 【详解】设，， 因为，所以，可得， 所以. 故选：C. 2. 能正确表示图中阴影部分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交并补运算即可得解. 【详解】图中阴影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，对比选项可知，只有A符合题意. 故选：A. 3. ，是两个不共线的单位向量，，，，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算公式判断AB，再根据向量模的不等式，判断CD. 【详解】设 , , , 则不是定值，故AB错误； ，因为，是两个不共线的单位向量， 所以，即， 故选：D 4. 红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置方法（ ） A. 7 B. 8 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】列举法可得答案. 【详解】如图，用对角线线段代表正八面体的6个顶点上小球及颜色， 所以共6种. 故选：D. 5. 在三子棋游戏（规则同五子棋，三子连成一线即可获胜）中，两个未经训练的人工智能依次随机等可能地投放棋子（用A和B表示，A先下），某时刻战况如图，则A能获胜的概率为（ ） A B A B B A A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥加法公式、独立乘法公式即可求解. 【详解】1. A B A B B A A ； 2. A B A B A B A ； 3. A B A B B A A ； 故所求概率为. 故选：B. 6. 四面体中，其余各棱长均为，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设、分别是，的中点，易得， ，求出，问题转化为：上是否存在一点，使得即可，设，则，利用勾股定理求出，进而求出外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解. 【详解】图，设、分别是，的中点， 连接、、、， 由四面体中，，其余各条棱长均为， 所以，， 由、分别是，的中点， 所以，， 所以，， 即为、中垂线，所以球心在上，设球心为，外接球的半径为， 所以， 问题转化为：上是否存在一点，使得即可， 设，则，， ， 于是，解得， 所以， 于是四面体外接球的表面积. 故选：C 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】应用余弦定理结合已知条件计算即可. 【详解】①， ②， ①×2-②得， 所以， 由正弦定理得， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数性质可得当时，，最后应用分组求和即可. 【详解】当时，，，， 所以， 则 . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分析得，从而得解. 二、多项选择题，至少有一个选项符合题意，本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知曲线：，，则（ ） A. 与有唯一交点 B. 与有唯一交点 C. 与联立恒得两组整数根 D. 与相交得到的弦，长恒为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接联立各选项中直线与题述直线方程即可逐一判断. 【详解】对于A，取，则将代入，得，该方程无解，故A错误； 对于B，将代入，得，解得，故B正确； 对于CD，将代入，得， 即，解得，，所得弦长为，故CD正确. 故选：BCD. 10. 在集合中取连续k项作为一组数据，下列正确的是（ ） A. k为奇数时，平均数 B. k为奇数时，平均数 C. k为偶数时，方差不一定 D. k为偶数时，方差一定 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平均数、方差计算公式即可判断. 【详解】对于AB，对于平均数： 假设从第m项开始取，那么平场数，显然是奇数，A对B错； 对于方差： 对于CD，利用特值，如3，5，7，9，11，13，15； 其平均数为， 其方差为，而，故C对D错. 故选：AC. 11. 数列满足，，则下列正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 恒成立 D. 恒成立 【答案】AB 【解析】 【分析】应用数列的递推公式证明数列单调性，得出递推式子判断各个选项即可. 【详解】设a，b，，， 同理，a，b，t，，而， 所以故是递增数列，A对； ， 又，则, 得出，时取等， 于是，故B对； ，，而， 时，不符合题意，C错；就不成立，D错. 故选：AB. 三、填空题，本题共3小题，每小题5分. 12. 随机变量，则______. 【答案】0.34135 【解析】 【分析】由题意将所求概率转换为特殊区间的概率即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故答案为：0.34135. 13. 记双曲线的左右焦点分别为，分别过和坐标原点O作直线m，n，且，记到m，n的距离分别为，，则______，若n是C的渐近线，则当取最小值时，______. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】第一空：由点到直线的距离公式直接计算；第二空：结合平方关系、基本不等式即可求解. 【详解】 第一空：由题意斜率不为0，所以设，而， 所以， 第二空：若n是C的渐近线，则，， 而，等号成立当且仅当， 此时. 故答案为：2，. 14. 设定义域为R的函数对任意的实数a，b均有，且，若实数t使得恒成立，t的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】对变形，得到解析式，代入，根据恒成立列出表达式，求解即可. 【详解】， 当，时，，k是常数，， 即，， 当时，， 所以 ， 可解得 所以恒成立，在恒成立， 只需，解之得不存在. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知条件归纳出表达式，验证当是否成立， 再由已知条件算出k取值范围，最后根据恒成立得出方程无解， 解之可得. 四、解答题，本题共5小题，请写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 在中，，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）当，时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简得到，再结合正弦定理即可求解； （2）由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 由余弦定理有，即，解得，， 所以，所以， 故所求面积：. 16. 点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为. （1）求椭圆方程； （2）记的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2）最小值是1 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程组，求得的值即可求解； （2）画出图形，将所求转换为，结合满足的条件等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，， 联立解得，，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ，其中是下顶点，， 注意到，设， 所以， 由复合函数单调性可知，当时，有最小值1，注意到，所以的最小值为1， 即的最小值为1. 17. 已知，，，. （1）求在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式，结合二倍角的正弦公式化简函数的解析式，最后根据导数的几何意义进行求解即可； （2）构造新函数，令该函数的导函数等于零，然后求出的表达式为，再构造新函数，对其求导，然后得到，然后对其分母构造新函数，利用导数研究其单调性，结合零点存在原理，最后确定函数的单调性，结合单调性进行求解即可. 【小问1详解】 所以 ， 即， 【小问2详解】 令 不难发现恒成立 令， ， 令 令 当时，易知 所以单调递增，所以 所以单调递减，注意到， 当时，时单调增，时单调减 其中， 所以存在，不符合题意 当时，时单调增，时单调减 恰好，符合题意 当时，时单调增，时单调减 其中， 所以存在，不符合题意 综上所述， 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导函数的形式多次求导，其中当导函数是分式型时，通过对分子构造新函数. 18. 在直三棱柱中底面是正三角形，底面边长为3，侧棱长未知，分别是，的中点，是直三棱柱表面上的一点，且P到底面的距离为.当平面时，当P在平面中时，到的距离为. （1）求直三棱柱的侧棱长； （2）当P到的距离为1时，求二面角的余弦值； （3）P每次移动都移动1个单位，从上出发顺时针移动的概率为，逆时针移动的概率为，一旦走完一圈便不再移动，与平面的夹角为，求第n次移动后的概率. 【答案】（1） （2）或 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于点Q，连接，根据线面平行的性质证明，即可得解； （2）以AC中点O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）先得到点的轨迹，再分净向左1，2，3，4，5步，和净向右4，5，6，7，8步两种情况讨论即可. 【小问1详解】 如图，延长交于点Q，连接， 设高为， 因为平面，P在平面中， 平面平面，平面， 所以， 根据几何关系得到， 即侧棱长为； 【小问2详解】 以AC中点O为原点，建立如图的坐标系， 则，，， 或， 故，， 设平面的法向量为， 则有，可取， ，或， 设平面的法向量为， 则有， 当时，可取， 此时， 当时，可取， 此时， 综上所述，二面角的余弦值为或； 【小问3详解】 由题意得下图： 由夹角得到与P点轨迹平面相交的圆，圆内和圆上的点符合题意图中， P从A出发，只需考虑净结果， 一：净向左1，2，3，4，5步均可， 设向左步， 得到 所以， 当为偶数时， 当为奇数时； 二：净向右4，5，6，7，8步均可， 设向右步， 得到， 当为偶数时， 当为奇数时， 综上：当n为偶数时， 当为奇数时. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 数列是正项递增数列，由数列中所有项构成集合A，它的任意一个子集记为，定义集合B是每一个子集中的所有数之和（即分别写出1个数，2个数，……n个数之和）. （1）若，写出，以及集合B； （2），将集合B中元素分成n组，要求每组中最大项与最小项之比不超过2，证明一个符合题意的分组； （3），将集合B中的元素分成n组，要求与（2）相同，证明存在这个分组. 【答案】（1）或或，， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接由、集合B的定义即可求解； （2）通过分析得知，只需证明，构造函数，只需，结合导数即可证明； （3）分析得知只需证明即可证明原命题 【小问1详解】 或或，，； 【小问2详解】 不难发现共有个数， 不妨让最大数与最小数之比， 可以分为，，，……，， 假设分为n组，这样最后一个数是第个， 只需证明， ， 令，只需， ，（其中是的导数）， 所以， 所以，即不必分至n组即可将个数全部分完， 在已经分好的组中再多分几组，均可满足题意， 仅一组中还可再分组，显然成立， 故可分至n组，故该分组符合题意； 【小问3详解】 要证，其中，s是某些数之和， 只需证明， 假设，从而，使得， 所以， 所以， 故存在这样的分组. 【点睛】关键点点睛：关键在于对集合新定义的充分理解，紧扣新定义进行推理验算，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年7月“飞天”高三年级考试 数学 姓名______ 考号______ 注意事项： 1.本杯即原飞机杯 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应答案的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题，本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的4个选项中只有一项符合题意. 1. 复数z满足：，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 能正确表示图中阴影部分的是（ ） A. B. C. D. 3. ，是两个不共线的单位向量，，，，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 红黄蓝三种不同颜色小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置方法（ ） A. 7 B. 8 C. 4 D. 6 5. 在三子棋游戏（规则同五子棋，三子连成一线即可获胜）中，两个未经训练人工智能依次随机等可能地投放棋子（用A和B表示，A先下），某时刻战况如图，则A能获胜的概率为（ ） A B A B B A A. B. C. D. 6. 四面体中，其余各棱长均为，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题，至少有一个选项符合题意，本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知曲线：，，则（ ） A. 与有唯一交点 B. 与有唯一交点 C. 与联立恒得两组整数根 D. 与相交得到的弦，长恒为 10. 在集合中取连续k项作为一组数据，下列正确的是（ ） A. k为奇数时，平均数 B. k为奇数时，平均数 C. k为偶数时，方差不一定 D. k为偶数时，方差一定 11. 数列满足，，则下列正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 恒成立 D. 恒成立 三、填空题，本题共3小题，每小题5分. 12. 随机变量，则______. 13. 记双曲线左右焦点分别为，分别过和坐标原点O作直线m，n，且，记到m，n的距离分别为，，则______，若n是C的渐近线，则当取最小值时，______. 14. 设定义域为R函数对任意的实数a，b均有，且，若实数t使得恒成立，t的取值范围是______. 四、解答题，本题共5小题，请写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤. 15. 在中，，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）当，时，求的面积. 16. 点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点重合），P的横坐标非负，的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为. （1）求椭圆方程； （2）记的面积为，的面积为，求的最小值. 17. 已知，，，. （1）求在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围. 18. 在直三棱柱中底面是正三角形，底面边长为3，侧棱长未知，分别是，的中点，是直三棱柱表面上的一点，且P到底面的距离为.当平面时，当P在平面中时，到的距离为. （1）求直三棱柱的侧棱长； （2）当P到距离为1时，求二面角的余弦值； （3）P每次移动都移动1个单位，从上出发顺时针移动的概率为，逆时针移动的概率为，一旦走完一圈便不再移动，与平面的夹角为，求第n次移动后的概率. 19. 数列是正项递增数列，由数列中所有项构成集合A，它的任意一个子集记为，定义集合B是每一个子集中的所有数之和（即分别写出1个数，2个数，……n个数之和）. （1）若，写出，以及集合B； （2），将集合B中的元素分成n组，要求每组中最大项与最小项之比不超过2，证明一个符合题意的分组； （3），将集合B中的元素分成n组，要求与（2）相同，证明存在这个分组. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$