1.2.1空间中的点、直线与空间向量（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 在空间中，如何用向量表示一个点的位置？ 尝试与发现 一、点的位置向量 1.基点：在空间中我们取定点O作为基点. 2.向量表示：空间中任意一点P的位置可以用来表示. 3.点的位置向量：为点P的位置向量. 空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定。 尝试与发现 如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，设，如果只借助，能不能确定直线AB在空间中的位置？ A B C D A1 D1 C1 B1 因为，所以只借助向量不能确定直线AB在空间中的位置，但是向量可以描述所有与直线AB平行或重合的直线。 二、直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量，此时，也称向量v与直线l平行，记作v//l v l 二、直线的方向向量 按照空间中直线的方向向量的定义可知： 如果A,B是直线l上两个不同的点，则就是直线l的一个方向向量； 如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行； 如果v1与v2都是直线l的方向向量，则v1//v2 v1 l v2 A B 【典型例题一】 例1. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，求证：直线BD1与直线CE不平行. A B C D E A1 D1 C1 B1 证明：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,1,0)，E(0,,1), 所以 又因为，所以与不平行， 所以直线BD1与直线CE不平行 x y z 尝试与发现 设，2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为，通过作图讨论与<2>的关系. <2> <2> 如图所示，=<2> 或 =-<2> l1 l2 l1 l2 三、空间中两条直线所成的角 空间中，两条直线l1与l2所成角的大小为， 与其方向向量，2夹角的关系为 =<2> 或 = <2> 特别地，sin = sin<2> cos = |cos<2>| 而且，l1⊥l2 <2>= 2=0 【典型例题二】 例2. 已知a，b是平面内地两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b，求证：n⊥ 证明：设m是内的任意一条直线， 且n，a，b，m分别为直线n，a，b，m的方向向量，如图所示， 由题意 n·a=0，n·b=0， 因为a与b相交，所以a，b不共线， 又因为a，b，m共面， 所以存在唯一的实数对(x，y)，使m=xa+yb， 因此n·m=xn·a+yn·b=0， 从而可知n⊥m，所以n⊥m， 因为直线n垂直于平面内的任意一条直线，所以n⊥ m n a b n m a b 【典型例题三】 例2. 如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两相互垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2，求直线AE与BC所成角的大小。 解：由题意不共面，且， ， 又因为 所以 = 类似地，，同理可得，， 所以，cos<>= 所以<>=，所以直线AE与BC所成角的大小 O A B C E 【典型例题三】 例2. 如图所示，在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两相互垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2，求直线AE与BC所成角的大小。 解：因为OA,OB,OC两两相互垂直，所以以O为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由OB=OC=2OA=2可知， A(1,0,0)，B(0,2,0)，E(0,0,1)，C(0,0,2)， 所以， 所以，cos<>= 所以<>=，所以直线AE与BC所成角的大小 O A B C E x y z 尝试与发现 设，2分别是空间中直线l1，l2的方向向量， (1)如果l1与l2异面，那么2可能平行吗？ (2)如果2不平行，那么l1与l2一定异面吗？ 四、异面直线与空间向量 设，2分别是空间中直线l1，l2的方向向量， 如果l1与l2异面，则2是不可能平行的； 如果2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交。 即“2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件。 【典型例题四】 例4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 解：以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系. 则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)， 所以， 假设满足条件的M,N存在，而且 则 因为MN⊥AD1，MN⊥BD，所以⊥，⊥， 所以 因此，满足条件的M，N是存在的。 当堂练习 1.若A(1，0，-1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A.(2，2，6) B.(-1，1，3) C.(3，1，1) D.(-3，0，1) A 当堂练习 2.设直线l1，l2的方向向量分别为a=(-2，2，1)，b=(3，-2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A.-2 B.2 C.10 D.6 C 当堂练习 3.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a，b所成的角是　　　　.  60° 课堂小结 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$