24.1 圆的有关性质24.1.4圆周角-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练24.1圆的有关性质 24.1.4圆周角 知识点1 圆周角及圆周角定理 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·云南昭通·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 3．（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，内接于，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·四川阿坝·期末）如图，点A、B、C是上的点，，连结交于点D，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，是弦且不是直径，，垂足为E，则下列结论不一定正确的是（  ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，的半径为，，，三点在圆上，，则的长等于 .    7．（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图，在半径为1的上顺次取点A，B，C，D，E，连接．若，则 °． 知识点2 圆周角推论 8．（2024·河南周口·模拟预测）如图，是的直径，点C在上．若，，则长为（    ） A． B． C．3 D．2 9．（2024·黑龙江·三模）如图，在中，，，则的度数为 ． 10．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在半径为2的中，半径垂直弦，D为上的点，，则的长是 ． 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且位于直径的两侧，连接．若，则的度数为 ． 12．（2024·宁夏银川·三模）如图，是的直径，内接于，，，，则的半径为 ． 13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 14．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）如图是小华应用直角曲尺来检验半圆形工件是否合格，其中所应用的数学知识是 ． 15．（2022·山东日照·中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    16．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，在圆形纸片圆O中，为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，是的直径，点为圆上一点且，是劣弧的中点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·山东济宁·三模）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则(   ) A． B． C． D． 19．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，的三个顶点均在量角器的圆周上，且点A、B、C所对应的刻度读数分别是、、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形内接于，连接、是的直径， ，若，则的度数为（        ） A． B． C．45 D． 22．（2023·江苏盐城·三模）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数为 ．    23．（2024·江苏无锡·三模）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 24．（2024·北京·三模）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为 °． 25．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 26．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点． 27．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 28．（22-23九年级上·福建莆田·期中）【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》部分内容． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：的圆周角所对的弦是直径．（如图） 【推论证明】如图①已知：的三个顶点都在上，且． 求证：线段是的直径． 请你结合图①写出推论的证明过程． 【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的上，为直径，，是的角平分线．求线段的长． 【拓展应用】如图③，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练24.1圆的有关性质 24.1.4圆周角 知识点1 圆周角及圆周角定理 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（22-23九年级上·云南昭通·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 【答案】B 【分析】根据直径，弦，等弧，圆周角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、过圆心的弦是圆的直径，故此选项不符合题意； B、直径是圆中最长的弦，故此选项符合题意； C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故此选项不符合题意； D、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握经过圆心的弦叫直径，连接圆上任意两点的线段叫弦，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，顶点在圆上，两边分别与圆相交的角是圆周角是解题的关键． 3．（22-23九年级上·广西百色·期末）如图，内接于，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 直接根据圆周角定理求解即可． 【详解】由题意得：． 故选：B． 4．（22-23七年级下·四川阿坝·期末）如图，点A、B、C是上的点，，连结交于点D，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再由圆周角定理可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 5．（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，是弦且不是直径，，垂足为E，则下列结论不一定正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，由于，根据垂径定理有，，，根据圆周角定理及圆的性质求出，．熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    ∵，是的直径， ∴，，， ∴，， ∴A不正确，符合题意；B、C、D正确，不符合题意； 故选：A． 6．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，的半径为，，，三点在圆上，，则的长等于 .    【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，，由圆周角定理知，从而得是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：连接，，    , 是等边三角形， ， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·吉林松原·期中）如图，在半径为1的上顺次取点A，B，C，D，E，连接．若，则 °． 【答案】60 【分析】利用圆周角定理解题即可． 【详解】 解：∵∠BAE＝65°， ∴∠BOE＝2∠BAE＝130°， ∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°． 故答案为：60． 【点睛】 本题主要考查圆周角定理，能够熟练运用圆周角定理求圆心角是解题关键． 知识点2 圆周角推论 8．（2024·河南周口·模拟预测）如图，是的直径，点C在上．若，，则长为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角、勾股定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， 故选：A． 9．（2024·黑龙江·三模）如图，在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 先根据圆周角定理得到，再利用三角形内角和计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解： 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，在半径为2的中，半径垂直弦，D为上的点，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，关键是由圆周角定理求出． 由圆周角定理求出，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：交于H， 半径， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知是的直径，C，D是上的点，且位于直径的两侧，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/57度 【分析】本题考查了圆周角定理．由圆周角定理得出，，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2024·宁夏银川·三模）如图，是的直径，内接于，，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．连接，根据，可得，从而得到，再由是的直径，可得，然后根据勾股定理，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为． 故答案为：； 13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）如图是小华应用直角曲尺来检验半圆形工件是否合格，其中所应用的数学知识是 ． 【答案】直径所对的圆周角为直角 【分析】直角曲尺放入半圆形工件的部分是直角，若直角能碰到半圆，则说明直角三角形与半圆的两个交点连线为直径，即此工件是半圆． 【详解】其中所应用的数学知识是直径所对的圆周角为直角 故答案为: 直径所对的圆周角为直角 【点睛】此题考查圆周角的性质，解题关键是直径所对的圆周角为直角 15．（2022·山东日照·中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．    【答案】 【分析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解：连接AC，    ∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角， ∴AC是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键． 16．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，在圆形纸片圆O中，为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可得，得到，根据第二次折叠得到，利用，即可得到的度数． 【详解】解：把纸片折叠，使点A与点B重合，折痕为， ， 为直径， ， ， ， 把纸片再次折叠，使点A与点C重合，折痕为， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，熟知上述性质是解题的关键． 17．（23-24九年级下·山东临沂·期中）如图，是的直径，点为圆上一点且，是劣弧的中点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆的相关性质．连接，由是的直径，可得，进而求出，根据是劣弧的中点，可推出． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， 是劣弧的中点， ， ， 故选：C． 18．（2024·山东济宁·三模）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】解：连接， 半径，互相垂直， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 19．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，的三个顶点均在量角器的圆周上，且点A、B、C所对应的刻度读数分别是、、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，根据题意补全图形，可得，由圆周角定理可知，，再结合内接四边形对角互补，是解决问题的关键． 【详解】解：如图，点为内弧所对的圆心，取上点，连接、、、，， ∵点A、C 对应的刻度分别为、， ∴， 由圆周角定理可知，， ∴， 故选：A． 20．（2024·湖北·中考真题）为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得，故可得答案 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， 故选：C 21．（2024·辽宁·模拟预测）如图，四边形内接于，连接、是的直径， ，若，则的度数为（        ） A． B． C．45 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等边对等角，直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 由，可得，由，可得，由是的直径，可得，则，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 22．（2023·江苏盐城·三模）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】由点A是中优弧的中点，推出，从而得到，用三角形内角和为求，再由圆的内接四边形对角互补求即可． 【详解】解：∵点A是中优弧的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等弧所对的圆周角相等，圆的内接四边形对角互补等知识，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键． 23．（2024·江苏无锡·三模）如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则等于 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握圆周角的相关知识是解题关键．首先根据题意可得，，易知，进而可得，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 24．（2024·北京·三模）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为 °． 【答案】40 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、平行线性质等知识，先由平行线的性质及圆周角定理得到，再由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余求解即可得到答案，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 是的直径， ，则， 故答案为：． 25．（2024·甘肃金昌·三模）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答． （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 26．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理得到，从而有，得出，根据圆周角定理的推论可得，然后根据等腰三角形的三线合一的性质即可得证， 本题考查圆周角定理，也考查了等腰三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ， 即D是的中点． 27．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为，BF为 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角得，再结合，可得出，即可得证； （2）根据圆心角、弧、弦之间的关系得，在中，得，得出的半径，再根据，得，继而得到，设，则，在中，根据勾股定理得出， 解得：，即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴的半径为， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为，的长为． 【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，圆心角、弧、弦之间的关系，直角三角形两锐角互余，等角对等边，勾股定理，等积法等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 28．（22-23九年级上·福建莆田·期中）【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》部分内容． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：的圆周角所对的弦是直径．（如图） 【推论证明】如图①已知：的三个顶点都在上，且． 求证：线段是的直径． 请你结合图①写出推论的证明过程． 【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的上，为直径，，是的角平分线．求线段的长． 【拓展应用】如图③，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，求m的取值范围． 【答案】推论证明：见解析；深入探究：；拓展应用： 【分析】对于（1），取的中点为D，连接，根据直角三角形的性质得出答案； 对于（2），作，，交延长线点G，结合圆的性质可证明，可说明四边形是正方形，，然后证明，再根据勾股定理求出，即可得出答案； 对于（3），当过A、B两点的与只有一个交点时，即与相切，连结并延长交点E，根据勾股定理求，再说明四边形是矩形，可得此时m的值；当点M与D点或C点重合时，连结并延长交点E，再说明D、O、B三点共线，求出此时的m的值， 可得答案． 【详解】解：（1）取的中点为D，连接． ∵， ∴， ∴点D与点O重合 ∴线段是的直径； （2）过D点作，交点F．过D作，交延长线点G． ∵为直径， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，半径为5， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 在中，； （3）当过A、B两点的与只有一个交点时，即与相切，连结并延长交点E． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵，与相切， ∴， ∴四边形是矩形． 在中，， ∴， ∴． 当点M与D点或C点重合时，连结并延长交点E． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴D、O、B三点共线，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，弧、弦、圆心角的关系，正方形的判定，勾股定理，圆周角定理，切线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$