24.1 圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练24.1圆的有关性质 24.1.2垂直于弦的直径 知识点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2．（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．圆中最长的弦是直径 B．弦是直径 C．弧是半圆 D．圆只有一条对称轴 3．下列叙述中不正确的是（　　） A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴 C．连接圆上两点的线段叫弦 D．圆上两点间的部分叫弧 知识点2 与圆有关的概念 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知在中，半径垂直于弦，，，那么（　　） A．12 B． C．13 D．16 6．（2024·广东广州·二模）如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．4 D． 7．（2024·广西南宁·模拟预测）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 9．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 10．（23-24九年级上·北京海淀·期末）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 12．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点A、B是上两点，，点P是上的动点（与A、B不重合），连接、，过点O分别作于E，于F，求的长． 知识点3 垂径定理推论 13．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，根据下列条件填空： （1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ； （2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ； （3）如果，且，那么有 ， ， ．    14．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 16．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 17．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 18．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．    19．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的弦，点C在上，且，分别连接，并延长，交弦于点D，，，若点E在上，，则的长为 ．    20．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，点是上一点，且点是弦的中点，利用尺规作图法作出弦．（不写作法，保留作图痕迹） 21．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）    A． B． C． D． 22．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 23．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，的半径是，是的弦，C是上一点，，点是上一动点，则点与点之间的最大距离是（    ）    A．6+ B． C．6+ D．不存在 25．（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，的直径，是上一点，点平分，，则弦 ． 27．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．    28．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的直径为10，弦的长为8，M是弦上的动点，则的长的取值范围为 ． 29．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的直径为10，A、B、C、D是上四个动点，且，，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是 ． 30．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）小明在学习圆的相关知识时，看到书本上提到可以用一把丁字尺（如图1）来找圆心，他想到爸爸的工具箱里有丁字尺，于是想利用丁字尺还原一个破损的圆，已知尺头，尺身刻度线垂直平分，他摆出的情况如图2，发现两次测量丁字尺的尺身交于刻度为6cm的位置，则这个破损的圆的直径是 cm. 31．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 32．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心、半径为4的圆，已知有一条直线与有两个交点、，则弦长的最小值为（    ）    A．4 B． C．8 D． 33．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练24.1圆的有关性质 24.1.2垂直于弦的直径 知识点1 圆的对称性 1．圆是轴对称图形，它的对称轴有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】D 【分析】根据圆的性质：沿经过圆心的任何一条直线对折，圆的两部分都能重合，即可得到经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴，据此即可判断． 【详解】圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条． 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆的性质，是需要熟记的内容． 2．（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．圆中最长的弦是直径 B．弦是直径 C．弧是半圆 D．圆只有一条对称轴 【答案】A 【分析】利用圆的有关概念及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、圆中最长的弦是直径，正确，符合题意； B、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意； C、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意； D、圆有无数条对称轴，故错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的了解有关概念及性质，难度不大． 3．下列叙述中不正确的是（　　） A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴 C．连接圆上两点的线段叫弦 D．圆上两点间的部分叫弧 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质、中心对称图形、以及弦、弧的概念进行判断后即可得到答案． 【详解】解：A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确； B.圆是轴对称图形，直径所在的直线为圆的对称轴，错误； C.连接圆上两点的线段叫弦，正确； D.圆上两点间的部分叫弧，正确； 故选B． 【点睛】本题考查了圆的对称性，圆是轴对称图形，也是中心对称图形． 知识点2 与圆有关的概念 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键．先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：是的直径，且， ． 在中， ， ． 故选：B． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，已知在中，半径垂直于弦，，，那么（　　） A．12 B． C．13 D．16 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据垂径定理得出，设设，则，，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：半径垂直于弦， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ． 故选：C． 6．（2024·广东广州·二模）如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（　　） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【详解】解：过O作于H，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是5． 故选：A． 7．（2024·广西南宁·模拟预测）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面宽，净高，则此圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键，先设此圆的半径为，则，，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设此圆的半径为，则，， ∵， ∴米， 在中， ∴， 即， 解得米， 故选：A． 8．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 9．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 10．（23-24九年级上·北京海淀·期末）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是 ． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，点A、B是上两点，，点P是上的动点（与A、B不重合），连接、，过点O分别作于E，于F，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形的中位线定理．运用垂径定理先证出是的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的与建立关系，从而解决问题．解答此类问题的关键是找到题目中的不变量． 【详解】解：在中，∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 知识点3 垂径定理推论 13．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图，是的弦，根据下列条件填空： （1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ； （2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ； （3）如果，且，那么有 ， ， ．    【答案】 是的直径 【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可； （）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可； （）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可． 【详解】解：（）∵是的直径，且于点， ∴，，； （）∵是的直径，且， ∴，，； （）∵，且， ∴是的直径，，． 【点睛】此题考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质．过点作于点，由点在的垂直平分线上可知，直线必过圆心，再根据直角三角形的性质求出的度数；根据得出的度数，根据等腰三角形的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，连接，   点在的垂直平分线上， ∴，直线必过圆心，， ， ， ， ， ． 故选：A． 15．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”． 【详解】解：A．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故A不符合题意； B．根据无法判断，故B符合题意； C．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故C不符合题意； D．∵，是的直径，是非直径的弦， ∴，故D不符合题意． 故选：B． 16．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 17．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 18．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、垂径定理的推论等知识，连接，作于点，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 【详解】解：如下图，连接，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，， 连接，当点在的延长线上时，的值最大， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的最大值为， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是的弦，点C在上，且，分别连接，并延长，交弦于点D，，，若点E在上，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，全等三角形的判定与性质，连接，证垂直平分，在中通过勾股定理求出半径，再由证明，即可得到． 【详解】连接，    ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中 ∴， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，点是上一点，且点是弦的中点，利用尺规作图法作出弦．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别与，交于点和点，再分别以这两点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线与圆交于点和点，则弦即为所求． 【详解】解：如图所示，弦即为所求． 【点睛】本题考查垂径定理，过直线上一点作已知直线的垂线，准确判别题目意图，掌握作图方法是解题的关键． 21．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度． 【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：    根据题意可得：， ∵， ∴， 在中， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 22．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵P是直径上的动点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∵（当D，P，F在一条直线上时取等号），点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合， ∴直径， ∴． 故选：C． 23．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、、，由垂径定理得到，，，，，由勾股定理得到，，当时，M、O、N三点共线时，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，分别求解即可． 【详解】解：连接、、、，如图所示，    ∵的直径为26， ∴， ∵点M、N分别是弦的中点，，， ∴，，，， ∴，， 当时，M、O、N三点共线， 当、位于点O的同侧时，线段的长度最短， 当、位于点O的两侧时，线段的长度最长， ∴线段的长度的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 24．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，的半径是，是的弦，C是上一点，，点是上一动点，则点与点之间的最大距离是（    ）    A．6+ B． C．6+ D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理以及三角形三边关系；过点作于点，连接、、、，根据勾股定理求得，进一步得到的取值范围得出结果． 【详解】解：过点作于点，连接、、、，    ， ， 由勾股定理得： ， 即， 解得， 又， 则点与点之间的最大距离是 故选：A． 25．（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点设的半径为证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点T，设的半径为， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型． 26．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，的直径，是上一点，点平分，，则弦 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题主要考查垂径定理的推论，三角形中位线定理．判断点E是的中点是解题的关键．先根据垂径定理的推论得出点E是的中点，然后利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点平分， ∴， ∴E是的中点， 又O是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ．    【答案】 【分析】直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用点A坐标得出原点位置即可得出答案．本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键． 【详解】解：如图：分别作与的垂直平分线，相交于点O，    则点O即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点A的坐标为，∴点O的坐标为． 28．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的直径为10，弦的长为8，M是弦上的动点，则的长的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、以及垂线段最短，过点作于点，连接，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，根据垂线段最短可知，当运动到点时，取得最小值，当运动到点或点时，取得最大值，即可解题． 【详解】解：过点作于点，连接， 的直径为10， , 弦的长为8， , , M是弦上的动点，根据垂线段最短可知，当运动到点时，取得最小值，当运动到点或点时，取得最大值， 的长的取值范围为， 故答案为：． 29．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的直径为10，A、B、C、D是上四个动点，且，，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】连接、、、，利用垂径定理求出、，再根据在圆心的同侧和两侧，以及E、O、F三点共线时线段最长或最短进行求解即可． 【详解】连接、、、，如图所示： ∵的直径为10， ∴， ∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，，， ∴，， ∴， 当AB、CD位于O的同侧时，， E、O、F三点共线时，线段EF的长度最短， 当AB、CD位于O的两侧时，， E、O、F三点共线时，线段EF的长度最长， ∴线段EF的长度的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，以及线段的最值问题．熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 30．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）小明在学习圆的相关知识时，看到书本上提到可以用一把丁字尺（如图1）来找圆心，他想到爸爸的工具箱里有丁字尺，于是想利用丁字尺还原一个破损的圆，已知尺头，尺身刻度线垂直平分，他摆出的情况如图2，发现两次测量丁字尺的尺身交于刻度为6cm的位置，则这个破损的圆的直径是 cm. 【答案】 【分析】依题意，确定圆心位置，利用垂径定理构造直角三角形，求解即可． 【详解】如图：确定圆心O，依题意： 在直角中： 故答案为． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，关键是根据题意建立圆的模型，利用垂径定理确定线段长度，从而求解． 31．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 【答案】(1)为中点位置； (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理； （1）连接，如图，利用勾股定理得，利用垂线段最短得到当时，最小； （2）根据（1）得出、重合进而根据，求出即可． 【详解】（1）解：连接 又为半径是一个定值， 越小，越大 当为垂线段时，为最小值，则取最大值 为中点位置时，的长取得最大值． （2）由（1）知 、重合 的最大值是． 32．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心、半径为4的圆，已知有一条直线与有两个交点、，则弦长的最小值为（    ）    A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】设交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，连接，过点作于点，先根据垂径定理可得点为的中点，，再求出，根据直线经过定点可得当直线与直线重合时，弦的值最小，由此即可得． 【详解】解：如图，设交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，连接，过点作于点，    则点为的中点，， ，即， 又∵直线经过定点，， ∴当直线与直线重合时，弦的值最小，其值等于， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、一次函数的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键． 33．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心13为半径画圆，直线与交于两点，则弦长的最小值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．运用过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短这个经验是解决该题的关键． 【详解】解：对于直线， 当时，， 故直线恒经过点，记为点D， 过点D作轴于点H， 则有， ， 由于过圆内定点D的所有弦中，与垂直的弦最短， 连接， ， 因此运用垂径定理及勾股定理可得： 的最小值为， 故答案为：24．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$