专题4.30 图形的相似（全章专项练习）（培优练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.30 图形的相似（全章专项练习）（培优练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期中）根据，可以组成的比例有（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，，若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．4 3．（2024九年级·全国·竞赛）已知一个矩形的长为，宽为，现沿着其中一边的平行线剪去一个矩形后，使得留下来的矩形与原矩形相似，则留下来的矩形面积为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 7．（2015九年级上·山东泰安·学业考试）如图，直角梯形中，，，，E为梯形内一点，且，将绕C 点旋转使与重合，得到，连交于M．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 9．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（    ） A． B． C． D． 10．（2021·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（18-19九年级上·上海闵行·期末）已知线段，点是线段的黄金分割点（），则线段的长为 ． 12．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ． 13．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 14．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，，与的周长之比是，那么点A到的距离与点E到的距离之比是 ． 15．（20-21八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 16．（20-21九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N． （1）当AB＝4时，AN＝ ． （2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积） 17．（20-21九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，在边上取点P，使得，与两两相似，则长为 ．（结果用含的代数式表示）    18．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，正方形边长为3，G，F是对角线的三等分点，点E在边上，，连接． （1）求的长． （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 20．（8分）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB； （2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 21．（10分）（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，与相交于点G． （1）求证：； （2）延长与的延长线交于点H，求证：． 22．（10分）（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即米），测得自己影子的长为2米．已知路灯A的高度为7.2米，求小明的身高． 23．（10分）（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．   （1）求证：； （2）求证：点D是线段的黄金分割点； （3）求线段的长． 24．（12分）（20-21九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，且AB＝4cm，BC＝8cm，对角线AC＝cm． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图2，点Q是AC上一点，点P是BC上一点，点P不与点B重合，，连接BQ、AP，若AP⊥BQ，求BP的值； （3）如图3，若动点Q从点C出发，以每秒cm的速度在对角线AC上运动至点A止，过点Q作BC垂线于点P，连接PQ，将△PQC沿PQ折叠，使点C落在直线BC上的点E处，得△PQE，是否存在某一时刻t，使得△EAQ为直角三角形？请求出所有可能的结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到的关系，再根据可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设留下来的矩形的宽为，由留下来的矩形与原矩形相似可得，解得，再由题意可知留下来的矩形长为原矩形的宽，利用矩形面积公式计算即可求解，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 【详解】解：设留下来的矩形的宽为， 则， 解得， ∵留下来的矩形长为原矩形的宽， ∴留下来的矩形面积为， 故选：． 4．D 【分析】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．根据题意画出草图，结合相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可． 【详解】解：根据题意作图如下： A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、，， ，不符合题意； D、根据和不能判断，符合题意； 故选：D． 5．A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；由旋转的性质得 ，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理求出，即可求解；掌握相关是判定方法及性质，证出是解题的关键． 【详解】解：将绕C 点旋转使与重合， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 先证明，再根据相似三角形的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故选B． 9．C 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． （法二：同理，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C．） 10．C 【分析】作，交于点，则有，根据 ，，可得，，再根据是边上的中线，得到，；根据可得，则，化简即可得到结果． 【详解】解：如图，作，交于点， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． 11．/ 【分析】本题考查了黄金分割点，线段成比例的计算，公式法解一元二次方程，掌握黄金分割点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，设，则， ∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 12． 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 【详解】， 设，则，， 四边形与矩形相似， ，则， 解得，（不合题意舍去）， 经检验是原方程的解． 故答案为：． 13．20 【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】如图，延长交的延长线于点G． 四边形为平行四边形， ． ，． 点E为边的中点， ． 在和中，， ， ． ，， ． ， ． ， ，即， 解得． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 14． 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：，， ， 与的周长之比是， 点A到的距离与点E到的距离之比是， 故答案为：． 15．． 【分析】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可． 【详解】解：过F作MN⊥BC， ∵BE=，BC=10， ∴BE=6， ∵翻折 ∴△ABE≌△AFE， ∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8， ∴∠AFN+∠EFM=90°， ∵∠AFN+∠FAN=90°， ∴∠FAN=∠EFM， ∴△AFN∽△FEM， ∴， 设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6， ∴FN=8-3x，EM=4x-6， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似． 16． 1∶11 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． （2）设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可得S四边形CNFB=11m，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD ∴， ∵AF：FB＝1：2， ∴AF：AB＝AF：CD＝1：3， ∴， ∴， ∵ACAB， ∴， ∴ANAB； ∵AB=4 ∴AN= 故答案为； （2）设△ANF的面积为m， ∵AF∥CD， ∴，△AFN∽△CDN， ∴△AFN和△CDN高的比= ∴△AFN和△ADN高的比= ∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m， ∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m， ∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11， 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题． 17．或 【分析】根据△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可； 【详解】∵△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC两两相似， ∴△PDC是直角三角形， 当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴，此时CD∥AB，，四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，与题意矛盾，故不存在这种情况； 当时， ∴，， ∴， 过点P作于M， ∴，，    在△PAD和△PMD中， ， ∴， ∴PA=PM， 在△PBC和△PMC中， ， ∴， ∴PB=PM， ∴， ∵， ∴； 当时， 当时， ， ∴， ∴， 在△DPC和△BPC中， ， ∴， ∴PD=PB， ∴， ∴； ∴AP的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键． 18． 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 19．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理的逆定理等： （1）过点F作于点M，于点N，先证四边形为正方形，根据得出，最后由勾股定理解即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，即可得出． 【详解】（1）解：过点F作于点M，于点N， ∵四边形为正方形， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点F为三等分点， ∴， ∴， 又∵G为中点，， ∴， ∴， 在中，． （2）解：， 理由：连接， 在中，， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 20．（1）详见解析；（2）6． 【分析】（1）先证明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可证明∠A＝∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB． （2）由相似三角形的性质得到 ，根据等边三角形的性质得到PC＝PD＝CD，等量代换得到 ，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°． ∴∠ACP＝∠PDB＝120°． ∵∠APB＝120°， ∴∠A+∠B＝60°． ∵∠PDB＝120°， ∴∠DPB+∠B＝60°． ∴∠A＝∠DPB． ∴△ACP∽△PDB． （2）解：由（1）得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC•BD． ∵AC＝4，BD＝9， ∴CD＝6． 【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的判定的理解，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键. 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等； （1）由菱形的性质得，由等边三角形的判定得为等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可得证； （2）由两角对应相等的三角形相似得，由相似三角形的性质得，由全等三角形的性质得，即可得证； 掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， （）， ， ， ； （2）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ． 22．小明的身高是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点C作交于点M，过点E作交于点N，设小明的身高为米，米，根据题意可得出，，再根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：过点C作交于点M，过点E作交于点N， 设小明的身高为米，米，则米，米， 由题意得：，，米， ，， ，， 即， ， 解得， 则，解得： 经检验，是所列分式方程组的解， 答：小明的身高是米． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，黄金分割： （1）根据等边对等角，角平分线的定义，推出，，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，推出，即可得出结论； （3）根据黄金分割，得到，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是线段的黄金分割点． （3）∵点D是线段的黄金分割点， ∴， 又∵， ∴． 24．（1）见解析；（2）BP=6；（3）存在，t=或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后在根据勾股定理证明直角三角形即可； （2）过点Q作于点E，得到，得到，再证明，得到，代入数据计算即可； （3）先证明，得到，由折叠可得到，根据和两种情况进行讨论计算即可； 【详解】（1）∵AB∥DC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在△ABC中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC＝cm， ， ∴△ABC是直角三角形且， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）设， ∵， ∴， 过点Q作于点E， 易证：， ∴， 即， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 得：， 又， ∴， 故的值为6． （3）由题意可得：， ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 由折叠可得：， ∴，，， 当，即时， ， ∴， 若△EAQ是直角三角形，则， ∴， ∴， ， ， 得：（舍），； 当，即时， ， 若△EAQ是直角三角形，则， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ，， 当时，，不符合题意，舍去，故； 综上所述，t的值为或时，△EAQ为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$