精品解析：内蒙古自治区包头市2024届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题

试卷类型：A 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 （第三次模拟考试） 理科数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再求出真子集个数. 【详解】由集合，，得， 所以的真子集个数为. 故选：C 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，模的计算公式运算即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：. 3. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（ ） A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程，指对数互化求解即可． 【详解】由题意知，， 则，解得年. 故选：D． 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的坐标运算与向量平行定义计算即可得. 【详解】由，， 则，， 由，则有， 即，故. 故选：D. 5. 设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】依题意得，再由列不等式求解即可． 【详解】设等差数列的公差为d， 由，得，得，由于，得， 由，得， 得， 得， 得， 得，且， 则n的最大值为21， 故选：D 6. 设某工厂购进10盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.075 C. 0.07 D. 0.06 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式计算即可求解． 【详解】根据题意，设任取一个零件，分别来自甲，乙，丙三厂的事件分别为，设任取一个零件为次品为事件， 则，， 所以 ， 故选：C． 7. 设甲：，乙：在区间上单调递增，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，，显然函数单调递增， 即由甲能推出乙； 当在区间上单调递增， 当时，，因此有， 当时，，显然不一定成立， 即由乙不一定能推出甲， 所以甲是乙的充分不必要条件， 故选：A 8. 已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知四边形为菱形，从而求得，，再进行计算即可. 【详解】如图，连接交轴于. 根据题意易知点，关于轴对称，所以四边形为菱形，且， 故，且. 双曲线的渐近线 方程为，令，得. 在中，，解得， 所以. 故选：. 9. 一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ） A. 44种 B. 48种 C. 72种 D. 80种 【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法，首先将五个节目全排列，减去独唱类节目相邻，再减去歌舞类节目相邻，最后加上独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻的情况即可. 【详解】依题意五个节目全排列有种排法； 若独唱类节目相邻，则有种排法； 若歌舞类节目相邻，则有种排法； 若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有种排法； 综上可得同类节目不相邻的安排方式共有种. 故选：B 10. 已知函数（），若方程在区间上恰有5个实根，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得在区间上恰有5个实根，由求出的范围，然后作出和的图象，结合图象求解即可. 【详解】由，得， 因为方程在区间上恰有5个实根， 所以在区间上恰有5个实根， 由，得， 作出和的图象， 由图可知当时，在区间上恰有5个实根， 解得， 即 的取值范围是为. 故选：A 11. 如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的下底面的圆心为 ，由线面垂直的判定定理得出平面，再由可得答案. 【详解】如图设圆柱的下底面的圆心为 ，连接， 则，且平面， 平面，所以，又，， 所以，又，平面， 所以平面，且， ， 所以. 故选：B. 12. 设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点 是线段上靠近点的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则由题意可表示出、，结合垂直性质与在上计算即可得点横坐标，再利用两点间距离公式即可得解. 【详解】设，由题意可得，则， 则，， 由，则， 由在上，则有，即， 即有，整理得， 即，故或， 由可知，不符，故舍去，即有， 则. 故选：C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知，得，又，可得 ，则，即可求得. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，所以， 又，所以，解得 ， 经检验符合题意，所以，则. 故答案为：. 14. 设x，y满足约束条件，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出可行域，再平移目标函数，找出最优解即可求解． 【详解】画出可行域，如图所示： 目标函数可化为：， 平移目标函数，当目标函数过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小， 由，解得，得点， 所以z的最小值为：， 故答案为：-1 15. 正方体的棱长为4，点E在对角线上，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】三棱锥的外接球与正四棱锥外接球相同，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式求解即可. 【详解】正方体的棱长为4，点E在对角线上，,若，E是中点， 则三棱锥的外接球与正四棱锥的外接球相同， 设正四棱锥的底面中心为O，则在中， ，所以，， 因为为正四棱锥，所以其外接球球心在上，设球心为，半径为. 连接，则有.在中，，由得，，整理得，. 所以外接球表面积. 故答案为： 16. 在△ABC中，，，是上一点，为的平分线，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用，求出，然后利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，是上一点，为的平分线，所以 因为，， 所以，解得： 在中，，所以 故答案为： 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 记为数列的前n项和，已知，． （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）因为，又，所以 ， 整理得． 由题意得 ，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，即 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）先求出数列的通项，再利用错位相减的方法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得． 当 时，， 当 时，， 所以， ， 两式相减，得 即 ， 即， 综上， 18. 某旅游景区，为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，得到下面的频数分布表： 每天游客数（单位：千人） 天数（频数） 6 10 16 24 18 14 8 4 （1）记表示事件“每天游客数小于4（千人）”，估计的概率； （2）为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天统计出这5天的游客数（千人）分别为3.6，4.3，4.6，6，6.5，已知这5天的最高气温（单位：℃）依次为20，21，22，24，28． ①根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程（系数精确到0.1）； ②根据①中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20~26℃内的天数（保留整数）． 附注：参考数据：，， 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，． 【答案】（1） （2）①；②28天 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式即可求解； （2）①根据给出数据及公式分别计算即可求出线性回归方程；②由的范围求出的范围，再结合频数分布表求解即可． 【小问1详解】 每天游客数小于4（千人）的频率为， 所以事件的概率估计值为0.56． 【小问2详解】 ①由频数分布表格中数据和附注中参考数据得， ，． ，， 所以，游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程为． ②当最高气温在20~26℃内时， 若，则；若，则． 所以游客数在4.7~7.1内， 由频数分布表，得， 所以天数为， 所以，该景区这100天中最高气温在20~26℃内的天数约为28天． 19. 如图，平行六面体的体积为，，，，． （1）求点A到平面的距离； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理可以确定底面ABCD是菱形，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理和性质进行求解即可； （2）由（1）可知OD，0A，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，根据平面法向量的性质，结合空间向量夹角公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知底面是平行四边形，且O为底面的中心， 又因为，所以底面ABCD是菱形， 连结， 因为，， 所以，， 又平面ABCD， 所以底面ABCD，又平面， 所以平面底面ABCD， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以， 又根据底面ABCD是菱形，可知， 平面， 所以平面，故A0为点A到平面的距离． 因为，， 所以△ACD是边长为4的正三角形，所以． 即点A到平面的距离为2． 【小问2详解】 由（1）可知OD，0A，两两互相垂直， 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． 因为为平行六面体的高，又平行六面体的体积为， 所以，解得． 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即， 取，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设二面角的大小为 ，则， 所以， 故二面角的正弦值为． 20. 已知抛物线，直线与的交点为 （ 分别在x轴的上方和下方），与x轴的交点为，原点 在以线段为直径的圆M上． （1）求a的值； （2）若，①求直线l的方程；②当过点 的圆与直线相切时，求圆心的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设出直线的方程和 两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及向量的坐标运算即可求解； （2）①设 两点的坐标，根据题意得出（，），将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理进行求解即可；②由①知 两点的坐标，得出线段的中点坐标和，得出直线的垂直平分线方程，设圆的圆心坐标为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 设直线l的方程为，，， 由消去x，得，， 由根与系数的关系，得，，， 由原点O在以线段为直径的圆M上，可得， 又，，所以， 把，，代入，得，解得（舍）或． 【小问2详解】 ①设，， 由（1）可知，由，可得，即， 由题意可知，（，）， 由消去x，得， 由根与系数的关系，得，， 由，，得，，所以，，． 所以直线l的方程为． ②由①可知，点A的坐标为，点B的坐标为， 所以线段AB的中点坐标为，． 直线l的垂直平分线的方程为，即， 设圆D的圆心坐标为，则 消去，整理得，，即， 解得或 因此，所求圆心D的坐标为或． 21. 设函数 ， ． （1）证明：当 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当，且时，，求的取值范围． 【答案】（1） 当 时， ， ， 若 ，当时， ， ， 当时， ， ， 若，当时， ， ， 当时， ， ． 所以，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数后，分 及讨论其导函数的正负即可得； （2）由题意可得 ，构造函数，求出其导函数后，分 ， 及进行讨论，得出的单调性后结合其最值点计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当，且时， ， 由，得 ， 即 ，变形为 ， 令，则， 整理得， （ⅰ）若 ，即 ，则当时， ，所以在单调递增， 故当时， ，不合题意； （ⅱ）若 ，即 ，则当时， ； 故当时， ； 所以在，单调递减；在单调递增， 由于 ，为极大值， 所以 ，当且仅当 ，即， 所以当 时， ； （ⅲ）若 ，即，则， 由于，故由（ⅱ）可得 ， 故当时， ； 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键点在于构造函数后，求出其导函数，从而针对 与及 的大小关系进行讨论. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（ 为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）说明C是哪一种曲线，并将C的方程化为极坐标方程； （2）若l的倾斜角为，l与C相交于A，B两点，求线段AB的中点R的直角坐标． 【答案】（1）C是以为圆心，2为半径的圆， （2） 【解析】 【分析】（1）利用消参法求C的普通方程，进而可知C是以为圆心，2为半径的圆，结合，求极坐标方程； （2）将直线l的参数方程代入C的普通方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解. 【小问1详解】 将C的参数方程，消去参数 得到C的普通方程， C是以为圆心，2为半径的圆． 将，代入C的普通方程，得． 【小问2详解】 因为l的倾斜角为，所以l的参数方程为（t为参数）， 代入C的普通方程，整理得关于l的方程为， 则， 设A，B，R对应的参数分别为，则， 于是，， 设点R的直角坐标为，则有， 代入，可得，所以R的直角坐标为． [选修4-5；不等式选讲] 23. 设，函数． （1）求不等式的解集； （2）若曲线与直线所围成图形的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先将函数写成分段函数，再分段得到不等式，解得即可； （2）做出的大致图象，表示出 的面积，即可求出的值. 【小问1详解】 因为， 若，则由，得，解得，又，所以； 若，则由，得，解得，又，所以． 综上，不等式的解集为． 【小问2详解】 因为，做出的大致图象如图， 曲线与直线围成的图形即 ． 由已知可得，，， 所以， 的底边上的高为， 所以，解得或（舍去）， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试 （第三次模拟考试） 理科数学 注意事项： 1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 2 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 1 3. 冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（ ） A. 584年 B. 574年 C. 564年 D. 554年 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 20 D. 21 6. 设某工厂购进10盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.075 C. 0.07 D. 0.06 7. 设甲：，乙：在区间上单调递增，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ） A. 44种 B. 48种 C. 72种 D. 80种 10. 已知函数（），若方程在区间上恰有5个实根，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 12. 设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，则______． 14. 设x，y满足约束条件，则的最小值为___________． 15. 正方体的棱长为4，点E在对角线上，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 16. 在△ABC中，，，是上一点，为的平分线，若，则___________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 记为数列的前n项和，已知，． （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）求数列的前n项和． 18. 某旅游景区，为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，得到下面的频数分布表： 每天游客数（单位：千人） 天数（频数） 6 10 16 24 18 14 8 4 （1）记 表示事件“每天游客数小于4（千人）”，估计 的概率； （2）为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天统计出这5天的游客数（千人）分别为3.6，4.3，4.6，6，6.5，已知这5天的最高气温（单位：℃）依次为20，21，22，24，28． ①根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程（系数精确到0.1）； ②根据①中的回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20~26℃内的天数（保留整数）． 附注：参考数据：，， 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，． 19. 如图，平行六面体的体积为，，，，． （1）求点A到平面的距离； （2）求二面角的正弦值． 20. 已知抛物线，直线与的交点为 （ 分别在x轴的上方和下方），与x轴的交点为，原点 在以线段为直径的圆M上． （1）求a的值； （2）若，①求直线l的方程；②当过点 的圆与直线相切时，求圆心的坐标． 21. 设函数 ， ． （1）证明：当 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当，且时，，求的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（ 为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）说明C是哪一种曲线，并将C的方程化为极坐标方程； （2）若l的倾斜角为，l与C相交于A，B两点，求线段AB的中点R的直角坐标． [选修4-5；不等式选讲] 23. 设，函数． （1）求不等式的解集； （2）若曲线与直线所围成图形的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $