2.3有理数乘除法（第3课时）讲义2024-2025学年北师大版数学七年级上册

2.3有理数乘除法（第3课时） 【知识梳理】 知识点一 有理数的乘法 1、 多个非0有理数相乘的结果： 1 先定号：数负号个数，奇负偶正 2 再定值：绝对值相乘 注意：0×任何数＝0 知识点二 有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘上这个数的倒数。 倒数的求法：①转化分数形式 ②负号不变，分子和分母上下颠倒 知识点三 有理数的乘除混合 化除法为乘法，再按照乘法法则进行连乘计算 小数化分数、带分数化假分数、除法化乘法、算连乘 【例题精讲与精练】 知识点一 有理数的乘法 【例题1】计算（－2）×（－3）×（－1）的结果是（ ） A．－6 B．－5 C．－8 D．5 答案：C 【例题精练】 1、计算 （1）（-10）×（-）×（-）×6 （2）（－85）×（－25）×（－4） 答案：（1）-2 （2）-8500 2、绝对值不小于3且小于5的所有整数的和是______，所有整数的积是_______； 答案：解：绝对值不小于3且小于5的所有整数有：±3，±4， 所以，（-3）+（-4）+3+4=0， （-3）×（-4）×3×4 =3×4×3×4 =144． 故答案为0，144． 【例题2】用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab　 　0，若a＞0，b＜0，则ab　 　0 （2）若a＜0，b＞0，则ab　 　0，若a＜0，b＜0，则ab　 　0 （3）若a＞0，b＝0，则ab　 　0． 答案：解：（1）∵a＞0，b＞0，∴ab＞0， ∵a＞0，b＜0，则ab＜0； （2）∵a＜0，b＞0，∴ab＜0， ∵a＜0，b＜0，∴ab＞0； （3）∵a＞0，b＝0，∴ab＝0； 故答案为＞，＜，＜，＞，＝． 【例题精练】 1、如果、异号，那么c 0. 答案：＜ 2、下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 答案：解：A、若ab=0，则a，b中至少一个为0，即a=0或b=0或a=b=0，故本选项正确； B、若ab＞0，则a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项错误； C、若ab＜0，则a，b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，故本选项错误； D、若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大，故本选项错误； 【例题3】计算 （1） （2） . ． 答案： （1）解： . 【点睛】本题考查乘法分配律，掌握运算法则和乘法分配律是解题的关键. （2）解：． 【例题精练】 1、 计算 ． 答案： 解： ． 2、利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 答案：解：， 故选B． 3、计算的结果是 ． 答案： 解： 故答案为： 4、（2023广东佛山）利用运算律有时能进行简便计算： 例1、； 例2、． 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）； （2）． 答案：【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【例题4】在数﹣5，﹣3，﹣1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是　90　． 解：选择三个最大的正数乘积为2×4×6＝48， 两负一正乘积最大为（﹣5）×（﹣3）×6＝90， 所以所得的积中最大的是90． 故答案为：90． 【例题精练】 1、在3，﹣4，5，﹣6这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是　　． 解：∵（﹣4）×（﹣6）＝24＞3×5． 故答案为：24． 2、若，则（x+1）（y-2）（z+3）的值是多少？ 答案：因为，所以x=1 , y=2 ,z=3 所以（x+1）（y-2）（z+3）＝0 【例题5】如图，在一块长20m，宽10m的长方形草地上，修建两条宽为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m²． 答案：解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：20×10-20×1-（10﹣1）×1 =200-20-9 =171（m2）． 故答案为：171． 【例题精练】 1、司机小陈在一条南北向的马路上开出租车，如果规定向南为正，向北为负，记录小陈上午连续接送7位乘客的行程（单位：千米）如下：，，，，，，． （1）小陈上午接送这7位乘客到达目的地时，问：小陈是否回到第一位乘客的出发点？并说明理由． （2）若该出租车耗油量为每千米升，求这天上午出租车一共耗油多少升？ （3）若规定出租车的起步价为10元，起步行程为3千米（包括3千米），超过的部分每千米2元，请问小陈上午一共收入多少车费？ 答案：【小问1详解】 （千米）， ∴小陈上午接送这7位乘客到达目的地时，小陈没有回到第一位乘客的出发点，在出发点的北边4千米处； 【小问2详解】 （升） 故：这天上午出租车一共耗油升 【小问3详解】 故：小陈上午一共收入车费106元． 2、每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是 ． 答案：解： ， ， （kg）， 故答案为：904kg 知识点二 有理数的除法 【例题1】计算： （1）；    （2）；    （3）； （4）；    （5）；    （6）． 答案：（1）；     （2）；     （3）； （4）；     （5）；     （6） 【例题精练】 1、计算： 答案：（1）-2 （2）0 （3）-4 （4） （5）- 【例题2】若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 答案：解：∵，异号， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【例题精练】 1、已知，则的值是 (    ) A. B. C. D. 答案：A 【例题3】（2022毕节七星关区期中）阅读下面材料，然后回答问题： 计算：计算 解法一 原式=-+-＝-+-+= 解法二：原式=÷[（）+（-）]= ÷（）=-×5=- 解法三：原式的倒数为（）÷（-）＝（）×（-30）＝-20+3-5+12＝-10 故原式=- （1） 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？ （2） 请选择适当的方法计算：（）÷（+-） 答案： 解（1）解法一和解法二是错误的 （3） （2）原式的倒数为 （+-）÷（）=（+-）×（-42）＝-14 故原式= 【例题精练】 1、[（+）-（-）-（+）]÷（-） 答案：-29 2、（23-24七年级·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 答案：解：∵ ， ∴原式． 3、阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 答案：解：根据题意得：[（）2×（﹣6）]÷（） ＝[（﹣6）]×（﹣42） ＝﹣21+14﹣30+112 ＝75， 则原式． 知识点三 有理数的乘除混合 【例题1】（2023广东佛山）计算：（ ） A. 1 B. 25 C. -5 D. 35 答案：解：． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是掌握有理数乘除法运算法则． 【例题精练】 1、计算的结果是(    ) A. B. C. D. 答案：B 2、下列各式的计算结果是负数的是(    ) A. B. C. D. 答案：D 3、计算的结果是          ． 答案：-4 【例题2】计算 （1）|﹣10|×（）÷（）． （2）． （3）﹣56×（）÷（﹣1）． 答案： （1）解：原式（）×（）． （2）解：原式 ＝1． （3）解：原式＝﹣56×（）×（）＝﹣15． 【例题精练】 1、 计算 （1）． （2）． 答案： （1）解：45×（﹣25）（）（﹣1） ＝﹣（45×254） ＝﹣（4525×4） ＝﹣3300． （2）解：原式9． 2、（23-24七年级·福建厦门·期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算： 解：原式=……第一步      =……第二步      =……第三步 解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程． 答案：解：解答过程有错．错在第二步和第三步． 第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算； 第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除，同号得正． 正确过程： 解：原式= = = 【例题3】（2023广东佛山） 如图，是数值转换机的示意图．若输入x的值是7，则输出y的值等于______． 答案：解：由题意可知：当时， ， 故答案为：19． 【例题精练】 1、如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（　　） A．15 B．13 C．11 D．﹣5 答案：解：当x＝﹣1时，（﹣1）×（﹣2）+1＝2+1＝3＜10， 当x＝3时，3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5＜10， 当x＝﹣5时，（﹣5）×（﹣2）+1＝10+1＝11＞10，输出11． 故选：C． 2、如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数，则输出的结果为（ ） A. 15 B. 13 C. 11 D. 答案：解：当时，， 当时，，输出11， 故选：C． 【例题4】（2023广东佛山）有16筐白菜，以每筐30千克为标准，超过或不足的分别用正、负来表示，记录如下： 与标准质量的差（单位：千克） 0 1 25 筐数 1 4 2 3 2 4 （1）16筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克？ （2）与标准质量比较，16筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）若白菜每千克售价2元，则出售这16筐白菜可卖多少元？ 答案：解：（1）最重的一筐与标准质量的差为2.5，最轻的一筐与标准质量的差为-3，可得： （千克）， ∴最重的一筐比最轻的一筐要重5.5千克 （2）（千克） 答：不足1千克； （3）（元） 答：若白菜每千克售价2元，则出售这16筐白菜可卖958元． 【点睛】此题主要考查有理数混合运算的实际应用，解题的关键是根据题意得到数量关系进行求解． 【例题精练】 1、“二十四点”的游戏是同学们常玩的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除的四则运算，使其结果为24．例如对1，2，3，4，要作如下运算：（1+2+3）×4＝24（上述运算为4×（1+2+3）视为相同方法的运算，现有3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同的运算式，可以使用括号，使其结果等于24．运算式如下： （1）3×[4+（－6）+10]； （2）10－4－3×（－6）； （3）4－（－6）×10÷3； 另有四个有理数3，－5，7，－13，想一下，你通过什么算式，使其结果等于24． 答案：根据题意得：[（－5）×（－13）+7]÷3． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3有理数乘除法（第3课时） 【知识梳理】 知识点一 有理数的乘法 1、 多个非0有理数相乘的结果： 1 先定号：数负号个数，奇负偶正 2 再定值：绝对值相乘 注意：0×任何数＝0 知识点二 有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘上这个数的倒数。 倒数的求法：①转化分数形式 ②负号不变，分子和分母上下颠倒 知识点三 有理数的乘除混合 化除法为乘法，再按照乘法法则进行连乘计算 小数化分数、带分数化假分数、除法化乘法、算连乘 【例题精讲与精练】 知识点一 有理数的乘法 【例题1】计算（－2）×（－3）×（－1）的结果是（ ） A．－6 B．－5 C．－8 D．5 【例题精练】 1、计算 （1）（-10）×（-）×（-）×6 （2）（－85）×（－25）×（－4） 2、绝对值不小于3且小于5的所有整数的和是______，所有整数的积是_______； 【例题2】用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab　 　0，若a＞0，b＜0，则ab　 　0 （2）若a＜0，b＞0，则ab　 　0，若a＜0，b＜0，则ab　 　0 （3）若a＞0，b＝0，则ab　 　0． 【例题精练】 1、如果、异号，那么c 0. 2、下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 【例题3】计算 （1） （2） . ． 【例题精练】 1、 计算 ． 2、利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 4、（2023广东佛山）利用运算律有时能进行简便计算： 例1、； 例2、． 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）； （2）． 【例题4】在数﹣5，﹣3，﹣1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是　90　． 【例题精练】 1、在3，﹣4，5，﹣6这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是　　． 2、若，则（x+1）（y-2）（z+3）的值是多少？ 【例题5】如图，在一块长20m，宽10m的长方形草地上，修建两条宽为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m²． 【例题精练】 1、司机小陈在一条南北向的马路上开出租车，如果规定向南为正，向北为负，记录小陈上午连续接送7位乘客的行程（单位：千米）如下：，，，，，，． （1）小陈上午接送这7位乘客到达目的地时，问：小陈是否回到第一位乘客的出发点？并说明理由． （2）若该出租车耗油量为每千米升，求这天上午出租车一共耗油多少升？ （3）若规定出租车的起步价为10元，起步行程为3千米（包括3千米），超过的部分每千米2元，请问小陈上午一共收入多少车费？ 2、每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是 ． 知识点二 有理数的除法 【例题1】计算： （1）；    （2）；    （3）； （4）；    （5）；    （6）． 【例题精练】 1、计算： 【例题2】若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【例题精练】 1、已知，则的值是 (    ) A. B. C. D. 【例题3】（2022毕节七星关区期中）阅读下面材料，然后回答问题： 计算：计算 解法一 原式=-+-＝-+-+= 解法二：原式=÷[（）+（-）]= ÷（）=-×5=- 解法三：原式的倒数为（）÷（-）＝（）×（-30）＝-20+3-5+12＝-10 故原式=- （1） 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？ （2） 请选择适当的方法计算：（）÷（+-） 【例题精练】 1、[（+）-（-）-（+）]÷（-） 2、（23-24七年级·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 3、阅读下题解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 知识点三 有理数的乘除混合 【例题1】（2023广东佛山）计算：（ ） A. 1 B. 25 C. -5 D. 35 【例题精练】 1、计算的结果是(    ) A. B. C. D. 2、下列各式的计算结果是负数的是(    ) A. B. C. D. 3、计算的结果是          ． 【例题2】计算 （1）|﹣10|×（）÷（）． （2）． （3）﹣56×（）÷（﹣1）． 【例题精练】 1、 计算 （1）． （2）． 2、（23-24七年级·福建厦门·期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题． 计算： 解：原式=……第一步      =……第二步      =……第三步 解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程． 【例题3】（2023广东佛山） 如图，是数值转换机的示意图．若输入x的值是7，则输出y的值等于______． 【例题精练】 1、如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（　　） A．15 B．13 C．11 D．﹣5 2、如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数，则输出的结果为（ ） A. 15 B. 13 C. 11 D. 【例题4】（2023广东佛山）有16筐白菜，以每筐30千克为标准，超过或不足的分别用正、负来表示，记录如下： 与标准质量的差（单位：千克） 0 1 25 筐数 1 4 2 3 2 4 （1）16筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克？ （2）与标准质量比较，16筐白菜总计超过或不足多少千克？ （3）若白菜每千克售价2元，则出售这16筐白菜可卖多少元？ 【例题精练】 1、“二十四点”的游戏是同学们常玩的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1～13之间的自然数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除的四则运算，使其结果为24．例如对1，2，3，4，要作如下运算：（1+2+3）×4＝24（上述运算为4×（1+2+3）视为相同方法的运算，现有3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同的运算式，可以使用括号，使其结果等于24．运算式如下： （1）3×[4+（－6）+10]； （2）10－4－3×（－6）； （3）4－（－6）×10÷3； 另有四个有理数3，－5，7，－13，想一下，你通过什么算式，使其结果等于24． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$