方法突破：建立空间直角坐标系的6种常见策略-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

方法突破：建立空间直角坐标系的6种常见策略 一、坐标系的建立 1、建立直角坐标系的原则 （1）轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点． （2），轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： ①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上； ②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件； ③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点． 【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略． 2、与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直； ②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直； ③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂直； ④直棱柱：侧棱与底面垂直． （2）线线垂直 ①正方形、矩形、直角梯形； ②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）； ③菱形的对角线互相垂直； ④勾股定理逆定理：若，则． 二、坐标的书写 1、能够直接写出坐标的点 （1）坐标轴上的点：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0； （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，建议在旁边作出底面的平面图进行参考． 2、空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么与的横纵坐标相同．由这条规律出发，在写空间中的点时，可先确定投影点的坐标，也就确定了的横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离． 3、需要计算的点 （1）中点坐标公式：，； （2）利用向量关系计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值． 题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 【例1】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求直线到平面的距离； (2)对于线段上一点，求三棱锥的体积． 【变式1-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离． (2)与平面平行吗？请说明理由． 【变式1-2】（23-24高二下·山西长治·期末）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【变式1-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）如图，在直三棱柱中，，，E是棱BC的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 题型二 利用线面垂直关系建系 【例2】（23-24高二上·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【变式2-1】（23-24高二下·江西·月考）已知四棱锥中，底面，，四边形是边长为4的菱形，点E，F分别为，的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式2-2】（23-24高二下·宁夏银川·月考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为PD中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【变式2-3】（23-24高二下·重庆·月考）如图，三棱台中，，，，侧棱平面，点D是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值 题型三 利用面面垂直关系建系 【例3】（23-24高二下·云南保山·月考）如图，在四棱锥中，平面平面. (1)证明：平面； (2)若到的距离为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式3-1】（23-24高二下·江苏扬州·月考）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，为等边三角形，F为线段的中点，平面平面为线段上一点. (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面夹角的正弦值为. 【变式3-2】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，. (1)证明：. (2)已知平面平面，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【变式3-3】（23-24高二下·广东惠州·月考）如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型四 利用正棱锥底面的中心与顶点所在的直线建系 【例4】（23-24高二上·重庆·月考）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【变式4-2】（23-24高二下·河南·月考）如图，在正四棱锥中，与交于点，是棱上的两个三等分点，与交于点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式4-3】（23-24高二上·安徽·期末）如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面经过且与平行，求点到平面的距离． 题型五 利用底面为正方形或菱形建系 【例5】（23-24高二下·河南·月考）如图，三棱柱的所有棱长均相等为的中点． (1)证明：AB⊥平面CDC1； (2)设·，求二面角的正弦值． 【变式5-1】（23-24高二下·福建泉州·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式5-2】（23-24高三下·山东青岛·三模）如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2. (1)证明:平面； (2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【变式5-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 题型六 利用底面为正三角形构建系 【例6】（23-24高二下·广东佛山·月考）在三棱柱中，平面平面，为正三角形，、分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 【变式6-1】（23-24高二下·江苏徐州·月考）如下图：在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成二面角的正弦值． 【变式6-2】（23-24高二下·湖北·月考）如图，在四面体中，平面是中点，，点在线段上，且. (1)若平面，求的值； (2)若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）如图，在四棱锥中，四边形为正方形为等边三角形分别是和的中点. (1)求证：直线平面； (2)若求平面与平面夹角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方法突破：建立空间直角坐标系的6种常见策略 一、坐标系的建立 1、建立直角坐标系的原则 （1）轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点． （2），轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： ①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上； ②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件； ③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点． 【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略． 2、与垂直相关的定理与结论 （1）线面垂直 ①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直； ②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直； ③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂直； ④直棱柱：侧棱与底面垂直． （2）线线垂直 ①正方形、矩形、直角梯形； ②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）； ③菱形的对角线互相垂直； ④勾股定理逆定理：若，则． 二、坐标的书写 1、能够直接写出坐标的点 （1）坐标轴上的点：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0； （2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，建议在旁边作出底面的平面图进行参考． 2、空间中在底面投影为特殊位置的点 如果在底面的投影为，那么与的横纵坐标相同．由这条规律出发，在写空间中的点时，可先确定投影点的坐标，也就确定了的横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离． 3、需要计算的点 （1）中点坐标公式：，； （2）利用向量关系计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值． 题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 【例1】（23-24高二上·贵州铜仁·月考）如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． (1)求直线到平面的距离； (2)对于线段上一点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）连接，因为，，所以， 又，得到， 又面，面，所以面， 故直线到平面的距离也即到平面的距离， 如图建立空间直角坐标系，因为棱长为， 则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由，得到， 取，得到，所以， 所以点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. （2）由（1）知，，， 所以， 在中，取的中点，连接，则， 所以， 因为，由（1）知面， 所以到平面的距离为， 故三棱锥的体积为. 【变式1-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离． (2)与平面平行吗？请说明理由． 【答案】(1)；(2)不平行，理由见解析. 【解析】（1）显然直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，同理，即四边形为平行四边形，有， 即，解得，即，则， 设平面的法向量， 则，取，得， 而， 则点到平面的距离为. （2）由（1）知，，而平面的法向量为 由，得与不垂直， 所以与平面不平行. 【变式1-2】（23-24高二下·山西长治·期末）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）如图建系，设 则,, 设平面法向量为, , , 可得，即得， 因为 所以,不在平面内，所以平面. （2）设平面法向量为, , ，可得,即得, 设二面角为， 则, 因为所以 【变式1-3】（23-24高二下·江苏南通·月考）如图，在直三棱柱中，，，E是棱BC的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接，与相交于点O， 在三角形中，， 因为平面，平面， 所以平面. （2），以A为原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴 建立空间直角坐标系，如图所示， 则A（0，0，0），（0，0，1），（2，0，1），E（1，1，0）， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，的， 设平面与平面的夹角为θ，则， 由图可知二面角为锐角，则二面角的大小为. 题型二 利用线面垂直关系建系 【例2】（23-24高二上·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 因为点M为中点，， 所以，又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得， 因为平面，所以， 即为平面PCD的一条法向量，， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 【变式2-1】（23-24高二下·江西·月考）已知四棱锥中，底面，，四边形是边长为4的菱形，点E，F分别为，的中点，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，且，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）可得，，两两垂直， 因为，，，所以， 以点A为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，即， 取，得，，故平面的一个法向量， 设平面的法向量， 则，即， 取，得，，故平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【变式2-2】（23-24高二下·宁夏银川·月考）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为PD中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）连接，交于点，连接， ∵为中点，为中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）由底面是矩形且平面， 故可以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 则点到平面的距离； （3）由轴平面，故平面的法向量可为， 设直线与平面所成角为，则， ∴， ∴，即直线与平面所成角的余弦值为. 【变式2-3】（23-24高二下·重庆·月考）如图，三棱台中，，，，侧棱平面，点D是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意可知：平面， 以A为原点，分别以、的方向为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，点是的中点， 则，， 可得. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又因为，即∥， 所以平面. （2）由（1）可知：， 设平面的法向量为，则， 令，得，可得. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值等于. 题型三 利用面面垂直关系建系 【例3】（23-24高二下·云南保山·月考）如图，在四棱锥中，平面平面. (1)证明：平面； (2)若到的距离为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：取的中点， 因为，所以， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，所以， 因为，即， 又平面，所以平面. （2）如图，取的中点， 又为的中点，所以，又， 所以， 所以平面即为平面， 平面平面， 取的中点，连接， 由（1）可知，两两垂直，， 如图建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，可得， 设直线与平面夹角为， 直线的方向向量为， ， ， 所以， 则， 故直线与平面夹角的正弦值为. 【变式3-1】（23-24高二下·江苏扬州·月考）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，为等边三角形，F为线段的中点，平面平面为线段上一点. (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面夹角的正弦值为. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为为等边三角形，F为线段的中点，则， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 可得平面ABCD，且平面， 所以. （2）过作，垂足为， 由题意知：为矩形，可得， 由（1）可知：平面ABCD， 取线段的中点，连接，则，， 又因为，可知， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为线段PF上一点，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得， 所以当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为. 【变式3-2】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，. (1)证明：. (2)已知平面平面，求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）设为的中点，连接，，，，如图， 因为，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则， 又平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， ，所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形为菱形，即. （2）因为平面平面，且平面平面， ，平面，所以平面； 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. ， 故平面与平面所成夹角的余弦值为. 【变式3-3】（23-24高二下·广东惠州·月考）如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）取的中点，连接， 则且， 又且，则且，即四边形是平行四边形． ，又平面平面， 平面． （2）取中点为，连接，因为为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面， 过点作直线的垂线交于点，则两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 为直径，． 在等腰梯形中，， 所以， ， ． 设平面的一个法向量为，则， ， 令则．， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 题型四 利用正棱锥底面的中心与顶点所在的直线建系 【例4】（23-24高二上·重庆·月考）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，△为边长为的等边三角形，且， 等边△的高为， 在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示， 则，且， 所以，，， 若为面PBC的法向量， 则，令，则， 又平面PBC，则且k为实数， ，故.故选：D 【变式4-1】（23-24高二下·江苏南京·期末）如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接交于，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，，， ∴，， ∴， ∴. （2），， 设平面的法向量为，则 ， 取. 取平面的法向量为， 所以，，， 设二面角的平面角为， . ∴由图可知二面角的余弦值为 【变式4-2】（23-24高二下·河南·月考）如图，在正四棱锥中，与交于点，是棱上的两个三等分点，与交于点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）是棱上的两个三等分点，即， 由题知四边形是正方形，所以，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以是的中位线，即是的中点， 因为，所以，，， 则， ． 设平面的法向量为，则 令，则，得． 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式4-3】（23-24高二上·安徽·期末）如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面经过且与平行，求点到平面的距离． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）如图，连接交于点，连接， 由四棱锥是正四棱锥 易得两两互相垂直， 在正四棱锥中，因为，所以， 因为，且，所以，． 以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，，． 所以，，． 设平面的法向量为，则， 即'取，得． 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． （2），． 设平面的法向量为， 则，即 取，得． 所以点到平面的距离. 题型五 利用底面为正方形或菱形建系 【例5】（23-24高二下·河南·月考）如图，三棱柱的所有棱长均相等为的中点． (1)证明：AB⊥平面CDC1； (2)设·，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：由， 得由余弦定理，得 因为为的中点，所以 又所以 又平面所以平面 （2）由（1）知，平面又平面所以 又所以则四边形为正方形． 由得 又所以 则所以四棱锥为正四棱锥． 连接则设连接易证平面 以为原点OB，OB1，OC所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 所以 设平面的法向量为 由取解得 所以设平面的法向量为 由取解得所以 所以故二面角的正弦值为 【变式5-1】（23-24高二下·福建泉州·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）如图，取的中点，连接， 因为， 所以四边形为平行四边形. 因为，所以四边形为菱形， 所以，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面 因为平面，所以. （2）由（1）可知平面， 因为，取中点为，连，所以. 因为，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的法向量为， 由得， 取，得，则， 设平面的法向量为，由得， 取，得，则， 所以. 设平面与平面的夹角为，则. 所以，平面与平面夹角的余弦值为. 【变式5-2】（23-24高三下·山东青岛·三模）如图所示，多面体，底面是正方形，点为底面的中心，点为的中点，侧面与是全等的等腰梯形，，其余棱长均为2. (1)证明:平面； (2)若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析；(2)1 【解析】（1）分别取中点，连接，则为的中点， 因为侧面是等腰梯形，所以，又，所以， 和都是边长为2的等边三角形，得，所以四边形为等腰梯形， 因为点为的中点，为的中点，所以. 因为是等边三角形，所以， 又，平面，， 所以平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，， 故平面. （2）在梯形中，，等腰梯形中由勾股定理得， 取中点，由（1）知，两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，得 设，， 设直线与平面所成角为， 所以. 解得（负值舍去)，所以点为棱的中点，所以的长为1. 【变式5-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 又因为，， 所以，所以， 点为线段中点，所以， 在中，，， 所以， 则， 又，平面，平面， 所以平面. （2）【方法一】：由题知正方形中，平面，所以建系如图所示， 则， 则， ， 设面的法向量为，面的法向量为， 则，取，则 取，则. 设二面角大小为， 则， 所以二面角的正弦值为. 【方法二】：以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设得，，，， ，， ，，． 设是平面的法向量， 则，即，可取． 设是平面的法向量， 则，即，可取． 所以． 因此二面角的正弦值为． 题型六 利用底面为正三角形构建系 【例6】（23-24高二下·广东佛山·月考）在三棱柱中，平面平面，为正三角形，、分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：如图，取的中点为，连接、， 则且， 在直三棱柱中，且， 又为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）由于平面平面，且交线为， 又，平面， 因此平面， 又平面，故， 又，，，平面， 故平面 故可建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴， 则由题意， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 【变式6-1】（23-24高二下·江苏徐州·月考）如下图：在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：取的中点，连接，在等边中，可得， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在中，因为，可得，且 因为为边长为的等边三角形，所以， 又由，所以，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 由（1）知，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面和平面所成的锐二面角的平面角为， 可得， 所以平面和平面所成的锐二面角的正弦值为. 【变式6-2】（23-24高二下·湖北·月考）如图，在四面体中，平面是中点，，点在线段上，且. (1)若平面，求的值； (2)若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）如图，取中点，连接， 因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，故， 平面，平面，故平面， 因为平面，且，，平面， 所以平面平面， 又因为平面，故平面， 平面，平面平面，所以， 为的中点，所以为的中点，因为，所以； （2）如图，取中点，连接，则， 因为平面，故平面，连接，由于是正三角形，故， 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由于，故，，设， 则， 所以，所以，即， 则，，， 设平面的法向量， 则，，令，则， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为，， 所以，即平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）如图，在四棱锥中，四边形为正方形为等边三角形分别是和的中点. (1)求证：直线平面； (2)若求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）取的中点，连结，而为的中点，则，， 在正方形中，由为的中点，得，， 因此，则四边形为平行四边形，于是， 又平面平面， 所以平面. （2）由正方形，得， 又，且平面， 则平面，取的中点， 又为的中点，则，有平面， 连接，由为等边三角形，得，即直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标，设， 则， ， 设平面的法向量， 由，令，得， 设平面的法向量， 由，令，得， 则，显然平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$